Serie parametrica con seno e coseno

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Serie parametrica con seno e coseno #63041

avt
kukaaa
Cerchio
Salve a tutti, dovrei studiare la convergenza di una serie con parametro in cui sono presenti sia il seno che il coseno.

Determinare per quali valori reali del parametro α converge la serie

Σ_(n = 1)^(+∞)|cos((1)/(n^2))-sin((1)/(n^2))-cos^2((1)/(n))|^(α)
 
 

Serie parametrica con seno e coseno #63045

avt
Ifrit
Amministratore
Abbiamo la serie numerica con parametro reale α∈R

Σ_(n = 1)^(+∞)|cos((1)/(n^2))-sin((1)/(n^2))-cos^2((1)/(n))|^(α)

Per rispondere al quesito faremo uso dello sviluppo di Taylor applicato alle successioni.

Varranno quindi le seguenti stime asintotiche:

• , ,cos((1)/(n^2)) = 1-(1)/(2n^4)+o((1)/(n^4))

• , ,sin((1)/(n^2)) = (1)/(n^2)+o((1)/(n^4))

• , , cos^2((1)/(n)) = 1-(1)/(n^2)+(1)/(3n^4)+o((1)/(n^4))

Come costruire queste stime asintotiche

Si parte sempre dagli sviluppi di Taylor notevoli per le funzioni elementari. L'ordine che ho scelto è il quarto, perché in base ai miei tentativi, ho capito che esso è il migliore:

Per la funzione coseno:

cos(t) = 1-(t^2)/(2)+(t^4)/(24)+o(t^4) per t → 0

Per la funzione seno:

sin(t) = t-(t^3)/(6)+o(t^4)

Bene, adesso non ci rimane che sostituire in modo opportuno:

cos((1)/(n^2)) = 1-(1)/(2 n^4)+(1)/(24 n^8)+o((1)/(n^4))?

= 1-(1)/(2n^4)+o((1)/(n^4))

Il termine all'ottava potenza è stato inglobato dall'o-piccolo.

sin((1)/(n^2)) = (1)/(n^2)-(1)/(3 n^6)+o((1)/(n^4))

= (1)/(n^2)+o((1)/(n^4))

Il termine di sesto grado è stato inglobato nell'o-piccolo.

Adesso l'ultima, utilizziamo la definizione di potenza:

cos^2((1)/(n)) = cos((1)/(n))cos((1)/(n))

Interviene lo sviluppo di cos((1)/(n)).

cos((1)/(n)) = 1-(1)/(2n^2)+(1)/(24n^4)+o((1)/(n^4))

Pertanto:

cos((1)/(n))cos((1)/(n)) =

[1-(1)/(2n^2)+(1)/(24n^4)+o((1)/(n^4))][1-(1)/(2n^2)+(1)/(24n^4)+o((1)/(n^4))]

sviluppa il prodotto sopprimendo tutti i termini di grado superiore a quattro:

= 1-(1)/(n^2)+(1)/(3n^4)+o((1)/(n^4))

Possiamo ora sostituire le stime determinate al posto dell'espressione originale:

|cos((1)/(n^2))-sin((1)/(n^2))-cos^2((1)/(n)) (= -(5)/(6n^4)+o((1)/(n^4)))|^(α) ~ _(n → ∞) (5^(α))/(6^(α)n^(4α))

La serie di partenza converge se e solo se converge la serie:

Σ_(n = 1)^(∞) (5^(α))/(6^(α)n^(4α))

e questo lo possiamo asserire grazie al criterio del confronto asintotico.

Osserva inoltre che

Σ_(n = 1)^(∞) (5^(α))/(6^(α)n^(4α))

è, a meno di una costante moltiplicativa, una serie armonica generalizzata che converge quando l'esponente di n è maggiore di uno, e questa informazione ci permette di costruire la disequazione di primo grado

4α > 1 ⇒ α > (1)/(4)

La serie di partenza converge se e solo se α > (1)/(4)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
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Os