Serie parametrica con seno e coseno

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Serie parametrica con seno e coseno #63041

avt
kukaaa
Cerchio
Salve a tutti, dovrei studiare la convergenza di una serie con parametro in cui sono presenti sia il seno che il coseno.

Determinare per quali valori reali del parametro \alpha converge la serie

\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)-\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)-\cos^2\left(\frac{1}{n}\right)\right|^{\alpha}
 
 

Serie parametrica con seno e coseno #63045

avt
Ifrit
Amministratore
Abbiamo la serie numerica con parametro reale \alpha\in\mathbb{R}

\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)-\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)-\cos^2\left(\frac{1}{n}\right)\right|^{\alpha}

Per rispondere al quesito faremo uso dello sviluppo di Taylor applicato alle successioni.

Varranno quindi le seguenti stime asintotiche:

\bullet\,\,\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)=1-\frac{1}{2n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)

\bullet\,\,\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)=\frac{1}{n^2}+ o\left(\frac{1}{n^4}\right)

\bullet\,\, \cos^2\left(\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{3n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)

Come costruire queste stime asintotiche

Si parte sempre dagli sviluppi di Taylor notevoli per le funzioni elementari. L'ordine che ho scelto è il quarto, perché in base ai miei tentativi, ho capito che esso è il migliore:

Per la funzione coseno:

\cos(t)=1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}+o(t^4) \mbox{ per }t\to 0

Per la funzione seno:

\sin(t)=t-\frac{t^3}{6}+o(t^4)

Bene, adesso non ci rimane che sostituire in modo opportuno:

\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)= 1-\frac{1}{2 n^4}+\frac{1}{24 n^8}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)?

= 1-\frac{1}{2n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)

Il termine all'ottava potenza è stato inglobato dall'o-piccolo.

\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{3 n^6}+ o\left(\frac{1}{n^4}\right)

= \frac{1}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)

Il termine di sesto grado è stato inglobato nell'o-piccolo.

Adesso l'ultima, utilizziamo la definizione di potenza:

\cos^2\left(\frac{1}{n}\right)=\cos\left(\frac{1}{n}\right)\cos\left(\frac{1}{n}\right)

Interviene lo sviluppo di \cos\left(\frac{1}{n}\right).

\cos\left(\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{24n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)

Pertanto:

\cos\left(\frac{1}{n}\right)\cos\left(\frac{1}{n}\right)=

\left[1-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{24n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)\right]\left[1-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{24n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)\right]

sviluppa il prodotto sopprimendo tutti i termini di grado superiore a quattro:

=1-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{3n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)

Possiamo ora sostituire le stime determinate al posto dell'espressione originale:

\left|\overbrace{\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)- \sin\left(\frac{1}{n^2}\right)-\cos^2\left(\frac{1}{n}\right)}^{= -\frac{5}{6n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)}\right|^{\alpha}\sim_{n\to \infty} \frac{5^{\alpha}}{6^{\alpha}n^{4\alpha}}

La serie di partenza converge se e solo se converge la serie:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{\alpha}}{6^{\alpha}n^{4\alpha}}

e questo lo possiamo asserire grazie al criterio del confronto asintotico.

Osserva inoltre che

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{\alpha}}{6^{\alpha}n^{4\alpha}}

è, a meno di una costante moltiplicativa, una serie armonica generalizzata che converge quando l'esponente di n è maggiore di uno, e questa informazione ci permette di costruire la disequazione di primo grado

4\alpha>1\implies \alpha>\frac{1}{4}

La serie di partenza converge se e solo se \alpha>\frac{1}{4}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
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Os