Convergenza puntuale e totale serie con modulo

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Convergenza puntuale e totale serie con modulo #63013

avt
kukaaa
Cerchio
Ciao, ho qualche problema nello studio della convergenza puntuale e totale di una serie di funzioni in cui è presente il valore assoluto. Il testo recita:

Studiare la convergenza puntuale e totale della serie di funzioni

Σ_(n = 1)^(∞) (1+|x|^(n))/(x^(2n)) con x ne 0

Grazie.
 
 

Convergenza puntuale e totale serie con modulo #63020

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, iniziamo. Dobbiamo in sostanza studiare la convergenza puntuale e totale della serie di funzioni:

Σ_(n = 1)^(∞)(1+|x|^n)/(x^(2n)) con x ne 0

Il termine n-esimo della serie lo indicheremo con f_n(x), porremo cioè

f_n(x) = (1+|x|^n)/(x^(2n)) con x ne 0

Fissato n∈N, f_n è una funzione pari, osserva infatti che per ogni x reale diverso da zero:

f_n(-x) = (1+|-x|^n)/((-x)^(2n)) = (1+|x|^n)/(x^(2n)) = f(x)

E' importante ricordare che

- la funzione valore assoluto è pari

|-x| = |x| ∀ x∈R

- la funzione potenza con esponente intero pari è pari

(-x)^(2n) = x^(2n) ∀ x∈R

Il fatto che il termine n-esimo della serie sia pari è una cosa positivissima, perché ci permette di studiare la serie di funzioni per x > 0 e, in un secondo momento sfruttare la simmetria tipica delle funzioni pari.

Per x>0 il termine n-esimo si scrive come:

f_n(x) = (1+x^n)/(x^(2n)) con x > 0

Hai capito perché è vantaggioso? Abbiamo la possibilità di togliere il valore assoluto! Un pensiero in meno! emt

Studiamo la

Convergenza puntuale

Per studiare la convergenza puntuale è necessario fissare x > 0 e considerare la serie

Σ_(n = 1)^(∞)(1+x^n)/(x^(2n))

Abbiamo una serie a termini positivi, possiamo utilizzare il criterio di convergenza della radice n-esima.

Dobbiamo studiare dunque il limite:

lim_(n → ∞) [n]√((1+x^n)/(x^(2n))) =

Sfruttiamo la proprietà della radice n-esima per un quoziente:

Il radice n-esima del quoziente è il quoziente delle radici:

[n]√((a)/(b)) = ([n]√(a))/([n]√(b)) con a ≥ 0, b > 0.

Grazie a questa relazione, possiamo scrivere:

lim_(n → ∞)[n]√((1+x^n)/(x^(2n))) = lim_(n → ∞)([n]√(1+x^n))/([n]√(x^(2n))) =

Nota che [n]√(x^(2n)) = x^(2) ∀ x > 0

Il limite si riscrive come:

lim_(n → ∞)([n]√(1+x^n))/(x^2)

Il denominatore del limite non dipende da n, quindi possiamo trasportare fuori dal limite tale elemento:

(1)/(x^2)lim_(n → ∞)[n]√(1+x^n)

Bene! Dobbiamo risolvere il limite:

lim_(n → ∞)[n]√(1+x^n) = 1 se 0 < x < 1 ; 1 se x = 1 ; x se x > 1


In definitiva:

(1)/(x^2)lim_(n → ∞)[n]√(1+x^n) = (1)/(x^2) se 0 < x < 1 ; 1 se x = 1 ; (1)/(x) se x > 1

La serie converge puntualmente per tutti gli x per il quale il suddetto (simpatico) limite è minore di 1.

Ragioniamo un po':

Per x>1, il limite è (1)/(x), e questa quantità sarà sicuramente minore di 1.

Per x=1, il limite è 1, abbiamo un caso dubbio, non possiamo concludere nulla.

Se però proviamo a sostituire x=1 nella serie di funzioni otterremo la serie numerica:

Σ_(n = 1)^(∞)2

Questa serie non converge, perché non viene soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza di una serie.

Per 0<x<1, il limite è (1)/(x^2) ed è maggiore di 1, dunque la serie non converge.

In definitiva abbiamo convergenza puntuale per x > 1.

Per la parità, possiamo concludere che la serie di partenza converge puntualmente nell'insieme:

S = (-∞,-1) U (1,+∞)
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby

Convergenza puntuale e totale serie con modulo #63022

avt
Ifrit
Amministratore
Studiamo la convergenza totale:

Ricorda che una serie di funzioni converge totalmente in un insieme I, contenuto nell'insieme di convergenza, se riusciamo a determinare una successione numerica (M_n)_(n) tale che valgono le due condizioni:

1. |f_n(x)| ≤ M_n ∀ x∈ I

(l'n-esima funzione della successione di funzioni viene dominata dall'n-esimo termine della successione numerica)

2. Σ_(n = 1)^(∞)M_n è convergente.

(la serie degli M_n deve essere convergente)

Come facciamo a trovare M_n?

Fissiamo n∈N e calcoliamo la derivata prima della funzione f_n(x).

f_n'(x) = n x^(-1-n)-2n x^(-1-2n)(1+x^n)

(ho utilizzato la formula di derivazione del prodotto)

Scriviamo meglio la funzione:

f_n'(x) = -n x^(-1-2n) (2+x^n) ∀ x > 1

Per x>1 la derivata prima della funzione è negativa, di conseguenza essa è una funzione strettamente decrescente.

L'estremo superiore della funzione nell'intervallo (1,+∞) è:

M_n = sup_(x∈ (1,+∞))f_n(x) = f_n(1) = 2

Ma attenzione:

Σ_(n = 1)^(∞)M_n = Σ_(n = 1)^(∞)2 non converge

(viene meno la condizione necessaria per la convergenza).

Pertanto non abbiamo convergenza totale nell'insieme (1,+∞) e per la parità nemmeno in (-∞,-1).

Non abbiamo finito. Forse esiste convergenza totale negli intervalli del tipo [a,+∞) con a > 1!

Controlliamo :)

Sempre per quello che abbiamo detto prima, abbiamo che, fissato n naturale, la funzione f_n(x) è decrescente per x > 1, di conseguenza:

f_n(x) ≤ f_n(a) = (1+a^n)/(a^(2n)) = M_n con a > 1

Attenzione ora: la serie

Σ_(n = 1)^(∞)M_n = Σ_(n = 1)^(∞)(1+a^n)/(a^(2n))

converge, proprio perché a>1 (ti riconduci quindi allo studio puntuale che abbiamo fatto nel messaggio precedente)

Ottimo! Abbiamo convergenza totale negli intervalli del tipo [a,+∞) con a > 1 e per la parità, abbiamo aggratis anche la convergenza totale negli intervalli del tipo (-∞,-a] con a > 1.
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby

Re: Convergenza puntuale e totale serie con modulo #63793

avt
kukaaa
Cerchio
Non mi sono chiari alcuni punti riguardo questo esercizio:

1) innanzitutto quando scopriamo che la funzione è pari e quindi togliamo il valore assoluto otteniamo (1+x^n)/(x^(2n)). Non possiamo dividere la frazione in due parti e quindi otteniamo (1)/(x^(2n))+(1)/(x^2) ?

E' un errore?

2) Non ho capito bene come si calcola il limite per n che tende a infinito di (1+x^n)^((1)/(n)); potete mostrarmi tutti i passaggi?

E perché fai i diversi casi, cioè 0 < x < 1, x = 1, x > 1?

Re: Convergenza puntuale e totale serie con modulo #63798

avt
Ifrit
Amministratore
Ok iniziamo con la prima domanda. L'espressione:

(1+x^n)/(x^(2n)) = (1)/(x^(2n))+(x^n)/(x^(2n)) con x ne 0

Per la proprietà delle potenze potremo scrivere:

(1)/(x^(2n))+(1)/(x^(2n-n)) = (1)/(x^(2n))+(1)/(x^(n))

Scritto così, il termine n-esimo della serie non ci guadagna in bellezza sinceramente. emt

Domanda 2.

Adesso concentriamoci sul limite:

lim_(n → ∞)[n]√(1+x^(n))

che possiamo scrivere ovviamente come:

lim_(n → ∞)(1+x^n)^((1)/(n))

Adesso mettiamo in campo il logaritmo in combo con la funzione esponenziale:

a^b = e^(bln(a)) con a > 0

Passiamo da una potenza alla funzione esponenziale. Grazie ad essa il limite si esprimerà come:

lim_(n → ∞)(1+x^n)^((1)/(n)) = lim_(n → ∞) e^((ln(1+x^n))/(n)) con x > 0

(la x maggiore di zero segue dal fatto che la funzione è pari, e per eliminare il valore assoluto abbiamo imposto che x>0)

Ora però devi ricordarti il limite fondamentale per successioni:



lim_(n → ∞)x^n = +∞ se x > 1 ; 1 se x = 1 ; 0 se -1 < x < 1 ; non esiste se x ≤ -1

In particolare a noi interessa per x>0, gli altri casi ce li possiamo dimenticare emt

Quando 0<x<1 hai che x^n tende a zero, pertanto:

ln(1+x^n) ~ _(n → ∞)x^n

Questa stima asintotica per successioni deriva dal limite notevole del logaritmo

Tornando al limite

lim_(n → ∞)(1+x^n)^((1)/(n)) = lim_(n → ∞) e^((ln(1+x^n))/(n))

Si riscrive come:

= lim_(n → ∞) e^((x^n)/(n))

e poiché 0 < x < 1 allora x^n tende a zero, pertanto

= lim_(n → ∞) e^((x^n)/(n)) = e^(0) = 1 con 0 < x < 1

Per x=1 è immediato:

lim_(n → ∞)[n]√(1+1) = lim_(n → ∞)2^((1)/(n)) = 2^(0) = 1

Infine per x>1, dobbiamo tornare alla forma esponenziale:

lim_(n → ∞)(1+x^n)^((1)/(n)) = lim_(n → ∞) e^((ln(1+x^n))/(n))

In questo caso, poiché x > 1 allora x^n tende a infinito quando n tende a infinito.

Utilizzeremo in questo caso la stima asintotica:

ln(1+x^n) ~ _(n → ∞) log(x^n) con x > 1

Abbiamo in pratica trascurato l'uno.

Per la proprietà dei logaritmi abbiamo che:

ln(x^n) = nln(x) con x > 1

Quindi il limite diventa:

lim_(n → ∞) e^((ln(1+x^n))/(n)) =

lim_(n → ∞) e^((nln(x))/(n))

Semplifichiamo n:

lim_(n → ∞) e^(ln(x))

Per definizione di logaritmo e^(ln(x)) = x quando x > 0

In definitiva

lim_(n → ∞) e^(ln(x)) = x per ogni x > 1

Sembra difficile, ma ti assicuro che non è così, bisogna ricordarsi un bel po' di cose purtroppo, l'esercizio continuo ti aiuterà. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
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Os