Convergenza puntuale e totale serie con modulo

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Convergenza puntuale e totale serie con modulo #63013

avt
kukaaa
Cerchio
Ciao, ho qualche problema nello studio della convergenza puntuale e totale di una serie di funzioni in cui è presente il valore assoluto. Il testo recita:

Studiare la convergenza puntuale e totale della serie di funzioni

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+|x|^{n}}{x^{2n}} con x\ne 0

Grazie.
 
 

Convergenza puntuale e totale serie con modulo #63020

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok, iniziamo. Dobbiamo in sostanza studiare la convergenza puntuale e totale della serie di funzioni:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+|x|^n}{x^{2n}}\mbox{ con }x\ne 0

Il termine n-esimo della serie lo indicheremo con f_n(x), porremo cioè

f_n(x)= \frac{1+|x|^n}{x^{2n}}\mbox{ con }x\ne 0

Fissato n\in\mathbb{N}, f_n è una funzione pari, osserva infatti che per ogni x reale diverso da zero:

f_n(-x)= \frac{1+|-x|^n}{(-x)^{2n}}= \frac{1+|x|^n}{x^{2n}}= f(x)

E' importante ricordare che

- la funzione valore assoluto è pari

|-x|= |x|\quad\forall x\in\mathbb{R}

- la funzione potenza con esponente intero pari è pari

(-x)^{2n}= x^{2n}\quad\forall x\in\mathbb{R}

Il fatto che il termine n-esimo della serie sia pari è una cosa positivissima, perché ci permette di studiare la serie di funzioni per x>0 e, in un secondo momento sfruttare la simmetria tipica delle funzioni pari.

Per x>0 il termine n-esimo si scrive come:

f_n(x)= \frac{1+x^n}{x^{2n}}\mbox{ con }x>0

Hai capito perché è vantaggioso? Abbiamo la possibilità di togliere il valore assoluto! Un pensiero in meno! emt

Studiamo la

Convergenza puntuale

Per studiare la convergenza puntuale è necessario fissare x>0 e considerare la serie

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+x^n}{x^{2n}}

Abbiamo una serie a termini positivi, possiamo utilizzare il criterio di convergenza della radice n-esima.

Dobbiamo studiare dunque il limite:

\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{1+x^n}{x^{2n}}}=

Sfruttiamo la proprietà della radice n-esima per un quoziente:

Il radice n-esima del quoziente è il quoziente delle radici:

\sqrt[n]{\frac{a}{b}}= \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\mbox{ con }a\ge 0, b>0.

Grazie a questa relazione, possiamo scrivere:

\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{1+x^n}{x^{2n}}}= \lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt[n]{1+x^n}}{\sqrt[n]{x^{2n}}}=

Nota che \sqrt[n]{x^{2n}}= x^{2}\quad\forall x>0

Il limite si riscrive come:

\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt[n]{1+x^n}}{x^2}

Il denominatore del limite non dipende da n, quindi possiamo trasportare fuori dal limite tale elemento:

\frac{1}{x^2}\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{1+x^n}

Bene! Dobbiamo risolvere il limite:

\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{1+x^n}= \begin{cases}1&\mbox{ se }0<x<1\\ 1 &\mbox{ se }x=1\\ x&\mbox{ se }x>1\end{cases}


In definitiva:

\frac{1}{x^2}\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{1+x^n}= \begin{cases}\frac{1}{x^2}&\mbox{ se }0<x<1\\ 1 &\mbox{ se }x=1\\ \frac{1}{x}&\mbox{ se }x>1\end{cases}

La serie converge puntualmente per tutti gli x per il quale il suddetto (simpatico) limite è minore di 1.

Ragioniamo un po':

Per x>1, il limite è \frac{1}{x}, e questa quantità sarà sicuramente minore di 1.

Per x=1, il limite è 1, abbiamo un caso dubbio, non possiamo concludere nulla.

Se però proviamo a sostituire x=1 nella serie di funzioni otterremo la serie numerica:

\sum_{n=1}^{\infty}2

Questa serie non converge, perché non viene soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza di una serie.

Per 0<x<1, il limite è \frac{1}{x^2} ed è maggiore di 1, dunque la serie non converge.

In definitiva abbiamo convergenza puntuale per x>1.

Per la parità, possiamo concludere che la serie di partenza converge puntualmente nell'insieme:

S=(-\infty, -1)\cup (1, +\infty)
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby

Convergenza puntuale e totale serie con modulo #63022

avt
Ifrit
Ambasciatore
Studiamo la convergenza totale:

Ricorda che una serie di funzioni converge totalmente in un insieme I, contenuto nell'insieme di convergenza, se riusciamo a determinare una successione numerica (M_n)_{n} tale che valgono le due condizioni:

1. |f_n(x)|\le M_n\quad\forall x\in I

(l'n-esima funzione della successione di funzioni viene dominata dall'n-esimo termine della successione numerica)

2. \sum_{n=1}^{\infty}M_n è convergente.

(la serie degli M_n deve essere convergente)

Come facciamo a trovare M_n?

Fissiamo n\in\mathbb{N} e calcoliamo la derivata prima della funzione f_n(x).

f_n'(x)=n x^{-1-n}- 2n x^{-1-2n}(1+x^n)

(ho utilizzato la formula di derivazione del prodotto)

Scriviamo meglio la funzione:

f_n'(x)=-n x^{-1-2n} (2+x^n)\quad\forall x>1

Per x>1 la derivata prima della funzione è negativa, di conseguenza essa è una funzione strettamente decrescente.

L'estremo superiore della funzione nell'intervallo (1,+\infty) è:

M_n=\sup_{x\in (1,+\infty)}f_n(x)=f_n(1)= 2

Ma attenzione:

\sum_{n=1}^{\infty}M_n= \sum_{n=1}^{\infty}2 non converge

(viene meno la condizione necessaria per la convergenza).

Pertanto non abbiamo convergenza totale nell'insieme (1,+\infty) e per la parità nemmeno in (-\infty, -1).

Non abbiamo finito. Forse esiste convergenza totale negli intervalli del tipo [a, +\infty) con a>1!

Controlliamo :)

Sempre per quello che abbiamo detto prima, abbiamo che, fissato n naturale, la funzione f_n(x) è decrescente per x>1, di conseguenza:

f_n(x)\le f_n(a)=\frac{1+a^n}{a^{2n}}= M_n \mbox{ con }a>1

Attenzione ora: la serie

\sum_{n=1}^{\infty}M_n= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+a^n}{a^{2n}}

converge, proprio perché a>1 (ti riconduci quindi allo studio puntuale che abbiamo fatto nel messaggio precedente)

Ottimo! Abbiamo convergenza totale negli intervalli del tipo [a, +\infty) con a>1 e per la parità, abbiamo aggratis anche la convergenza totale negli intervalli del tipo (-\infty, -a]\mbox{ con }a>1.
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby

Re: Convergenza puntuale e totale serie con modulo #63793

avt
kukaaa
Cerchio
Non mi sono chiari alcuni punti riguardo questo esercizio:

1) innanzitutto quando scopriamo che la funzione è pari e quindi togliamo il valore assoluto otteniamo \frac{1+x^n}{x^{2n}}. Non possiamo dividere la frazione in due parti e quindi otteniamo \frac{1}{x^{2n}} + \frac{1}{x^2} ?

E' un errore?

2) Non ho capito bene come si calcola il limite per n che tende a infinito di (1+x^n)^{\frac{1}{n}}; potete mostrarmi tutti i passaggi?

E perché fai i diversi casi, cioè 0<x<1,\ x=1,\ x>1?

Re: Convergenza puntuale e totale serie con modulo #63798

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok iniziamo con la prima domanda. L'espressione:

\frac{1+x^n}{x^{2n}}= \frac{1}{x^{2n}}+\frac{x^n}{x^{2n}}\mbox{ con }x\ne 0

Per la proprietà delle potenze potremo scrivere:

\frac{1}{x^{2n}}+\frac{1}{x^{2n-n}}= \frac{1}{x^{2n}}+\frac{1}{x^{n}}

Scritto così, il termine n-esimo della serie non ci guadagna in bellezza sinceramente. emt

Domanda 2.

Adesso concentriamoci sul limite:

\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{1+x^{n}}

che possiamo scrivere ovviamente come:

\lim_{n\to \infty}(1+x^n)^{\frac{1}{n}}

Adesso mettiamo in campo il logaritmo in combo con la funzione esponenziale:

a^b= e^{b\ln(a)}\mbox{ con }a>0

Passiamo da una potenza alla funzione esponenziale. Grazie ad essa il limite si esprimerà come:

\lim_{n\to \infty}(1+x^n)^{\frac{1}{n}}= \lim_{n\to \infty} e^{\frac{\ln(1+x^n)}{n}}\mbox{ con }x>0

(la x maggiore di zero segue dal fatto che la funzione è pari, e per eliminare il valore assoluto abbiamo imposto che x>0)

Ora però devi ricordarti il limite fondamentale per successioni:



\lim_{n\to \infty}x^n=\begin{cases}+\infty&\mbox{ se }x\textgreater 1\\ 1 &\mbox{ se }x=1\\0&\mbox{ se } -1\textless x\textless 1\\ \mbox{non esiste }&\mbox{ se } x\le -1\end{cases}

In particolare a noi interessa per x>0, gli altri casi ce li possiamo dimenticare emt

Quando 0<x<1 hai che x^n tende a zero, pertanto:

\ln(1+x^n)\sim_{n\to \infty}x^n

Questa stima asintotica per successioni deriva dal limite notevole del logaritmo

Tornando al limite

\lim_{n\to \infty}(1+x^n)^{\frac{1}{n}}= \lim_{n\to \infty} e^{\frac{\ln(1+x^n)}{n}}

Si riscrive come:

= \lim_{n\to \infty} e^{\frac{x^n}{n}}

e poiché 0<x<1 allora x^n tende a zero, pertanto

= \lim_{n\to \infty} e^{\frac{x^n}{n}}= e^{0}=1\mbox{ con }0<x<1

Per x=1 è immediato:

\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{1+1}= \lim_{n\to \infty}2^{\frac{1}{n}}= 2^{0}= 1

Infine per x>1, dobbiamo tornare alla forma esponenziale:

\lim_{n\to \infty}(1+x^n)^{\frac{1}{n}}= \lim_{n\to \infty} e^{\frac{\ln(1+x^n)}{n}}

In questo caso, poiché x>1 allora x^n tende a infinito quando n tende a infinito.

Utilizzeremo in questo caso la stima asintotica:

\ln(1+x^n)\sim_{n\to \infty} \log(x^n)\mbox{ con }x>1

Abbiamo in pratica trascurato l'uno.

Per la proprietà dei logaritmi abbiamo che:

\ln(x^n)= n\ln(x) \mbox{ con }x>1

Quindi il limite diventa:

 \lim_{n\to \infty} e^{\frac{\ln(1+x^n)}{n}}=

\lim_{n\to \infty} e^{\frac{n\ln(x)}{n}}

Semplifichiamo n:

\lim_{n\to \infty} e^{\ln(x)}

Per definizione di logaritmo e^{\ln(x)}= x\mbox{ quando }x>0

In definitiva

\lim_{n\to \infty} e^{\ln(x)}=x\mbox{ per ogni }x>1

Sembra difficile, ma ti assicuro che non è così, bisogna ricordarsi un bel po' di cose purtroppo, l'esercizio continuo ti aiuterà. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
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Os