Convergenza puntuale e totale serie con modulo
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Convergenza puntuale e totale serie con modulo #63013
![]() kukaaa Cerchio | Ciao, ho qualche problema nello studio della convergenza puntuale e totale di una serie di funzioni in cui è presente il valore assoluto. Il testo recita: Studiare la convergenza puntuale e totale della serie di funzioni ![]() Grazie. |
Convergenza puntuale e totale serie con modulo #63020
![]() Ifrit Amministratore | Ok, iniziamo. Dobbiamo in sostanza studiare la convergenza puntuale e totale della serie di funzioni: ![]() Il termine n-esimo della serie lo indicheremo con ![]() Fissato ![]() E' importante ricordare che - la funzione valore assoluto è pari - la funzione potenza con esponente intero pari è pari ![]() Il fatto che il termine n-esimo della serie sia pari è una cosa positivissima, perché ci permette di studiare la serie di funzioni per Per x>0 il termine n-esimo si scrive come: ![]() Hai capito perché è vantaggioso? Abbiamo la possibilità di togliere il valore assoluto! Un pensiero in meno! ![]() Studiamo la Convergenza puntuale Per studiare la convergenza puntuale è necessario fissare ![]() Abbiamo una serie a termini positivi, possiamo utilizzare il criterio di convergenza della radice n-esima. Dobbiamo studiare dunque il limite: ![]() Sfruttiamo la proprietà della radice n-esima per un quoziente: Il radice n-esima del quoziente è il quoziente delle radici: ![]() Grazie a questa relazione, possiamo scrivere: ![]() Nota che Il limite si riscrive come: ![]() Il denominatore del limite non dipende da n, quindi possiamo trasportare fuori dal limite tale elemento: ![]() Bene! Dobbiamo risolvere il limite: ![]() In definitiva: ![]() La serie converge puntualmente per tutti gli x per il quale il suddetto (simpatico) limite è minore di 1. Ragioniamo un po': Per x>1, il limite è Per x=1, il limite è 1, abbiamo un caso dubbio, non possiamo concludere nulla. Se però proviamo a sostituire x=1 nella serie di funzioni otterremo la serie numerica: ![]() Questa serie non converge, perché non viene soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza di una serie. Per 0<x<1, il limite è In definitiva abbiamo convergenza puntuale per Per la parità, possiamo concludere che la serie di partenza converge puntualmente nell'insieme: |
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby |
Convergenza puntuale e totale serie con modulo #63022
![]() Ifrit Amministratore | Studiamo la convergenza totale: Ricorda che una serie di funzioni converge totalmente in un insieme 1. (l'n-esima funzione della successione di funzioni viene dominata dall'n-esimo termine della successione numerica) 2. ![]() (la serie degli M_n deve essere convergente) Come facciamo a trovare Fissiamo ![]() (ho utilizzato la formula di derivazione del prodotto) Scriviamo meglio la funzione: ![]() Per x>1 la derivata prima della funzione è negativa, di conseguenza essa è una funzione strettamente decrescente. L'estremo superiore della funzione nell'intervallo ![]() Ma attenzione: ![]() (viene meno la condizione necessaria per la convergenza). Pertanto non abbiamo convergenza totale nell'insieme Non abbiamo finito. Forse esiste convergenza totale negli intervalli del tipo Controlliamo :) Sempre per quello che abbiamo detto prima, abbiamo che, fissato n naturale, la funzione ![]() Attenzione ora: la serie ![]() converge, proprio perché a>1 (ti riconduci quindi allo studio puntuale che abbiamo fatto nel messaggio precedente) Ottimo! Abbiamo convergenza totale negli intervalli del tipo |
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby |
Re: Convergenza puntuale e totale serie con modulo #63793
![]() kukaaa Cerchio | Non mi sono chiari alcuni punti riguardo questo esercizio: 1) innanzitutto quando scopriamo che la funzione è pari e quindi togliamo il valore assoluto otteniamo ![]() ![]() E' un errore? 2) Non ho capito bene come si calcola il limite per n che tende a infinito di ![]() E perché fai i diversi casi, cioè |
Re: Convergenza puntuale e totale serie con modulo #63798
![]() Ifrit Amministratore | Ok iniziamo con la prima domanda. L'espressione: ![]() Per la proprietà delle potenze potremo scrivere: ![]() Scritto così, il termine n-esimo della serie non ci guadagna in bellezza sinceramente. ![]() Domanda 2. Adesso concentriamoci sul limite: ![]() che possiamo scrivere ovviamente come: ![]() Adesso mettiamo in campo il logaritmo in combo con la funzione esponenziale: Passiamo da una potenza alla funzione esponenziale. Grazie ad essa il limite si esprimerà come: ![]() (la x maggiore di zero segue dal fatto che la funzione è pari, e per eliminare il valore assoluto abbiamo imposto che x>0) Ora però devi ricordarti il limite fondamentale per successioni: ![]() In particolare a noi interessa per x>0, gli altri casi ce li possiamo dimenticare ![]() Quando 0<x<1 hai che Questa stima asintotica per successioni deriva dal limite notevole del logaritmo Tornando al limite ![]() Si riscrive come: ![]() e poiché ![]() Per x=1 è immediato: ![]() Infine per x>1, dobbiamo tornare alla forma esponenziale: ![]() In questo caso, poiché Utilizzeremo in questo caso la stima asintotica: ![]() Abbiamo in pratica trascurato l'uno. Per la proprietà dei logaritmi abbiamo che: ![]() Quindi il limite diventa: ![]() ![]() Semplifichiamo n: ![]() Per definizione di logaritmo ![]() In definitiva ![]() Sembra difficile, ma ti assicuro che non è così, bisogna ricordarsi un bel po' di cose purtroppo, l'esercizio continuo ti aiuterà. ![]() |
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby |
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