Convergenza puntuale e totale serie con modulo

Ciao, ho qualche problema nello studio della convergenza puntuale e totale di una serie di funzioni in cui è presente il valore assoluto. Il testo recita:

Studiare la convergenza puntuale e totale della serie di funzioni

con

Grazie.

Ok, iniziamo. Dobbiamo in sostanza studiare la convergenza puntuale e totale della serie di funzioni:



Il termine n-esimo della serie lo indicheremo con , porremo cioè



Fissato , è una funzione pari, osserva infatti che per ogni x reale diverso da zero:



E' importante ricordare che

- la funzione valore assoluto è pari



- la funzione potenza con esponente intero pari è pari



Il fatto che il termine n-esimo della serie sia pari è una cosa positivissima, perché ci permette di studiare la serie di funzioni per e, in un secondo momento sfruttare la simmetria tipica delle funzioni pari.

Per x>0 il termine n-esimo si scrive come:



Hai capito perché è vantaggioso? Abbiamo la possibilità di togliere il valore assoluto! Un pensiero in meno!

Studiamo la

Convergenza puntuale

Per studiare la convergenza puntuale è necessario fissare e considerare la serie



Abbiamo una serie a termini positivi, possiamo utilizzare il criterio di convergenza della radice n-esima.

Dobbiamo studiare dunque il limite:



Sfruttiamo la proprietà della radice n-esima per un quoziente:

Il radice n-esima del quoziente è il quoziente delle radici:

.

Grazie a questa relazione, possiamo scrivere:



Nota che

Il limite si riscrive come:



Il denominatore del limite non dipende da n, quindi possiamo trasportare fuori dal limite tale elemento:



Bene! Dobbiamo risolvere il limite:




In definitiva:



La serie converge puntualmente per tutti gli x per il quale il suddetto (simpatico) limite è minore di 1.

Ragioniamo un po':

Per x>1, il limite è , e questa quantità sarà sicuramente minore di 1.

Per x=1, il limite è 1, abbiamo un caso dubbio, non possiamo concludere nulla.

Se però proviamo a sostituire x=1 nella serie di funzioni otterremo la serie numerica:



Questa serie non converge, perché non viene soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza di una serie.

Per 0<x<1, il limite è ed è maggiore di 1, dunque la serie non converge.

In definitiva abbiamo convergenza puntuale per .

Per la parità, possiamo concludere che la serie di partenza converge puntualmente nell'insieme:

Studiamo la convergenza totale:

Ricorda che una serie di funzioni converge totalmente in un insieme , contenuto nell'insieme di convergenza, se riusciamo a determinare una successione numerica tale che valgono le due condizioni:

1.

(l'n-esima funzione della successione di funzioni viene dominata dall'n-esimo termine della successione numerica)

2. è convergente.

(la serie degli M_n deve essere convergente)

Come facciamo a trovare ?

Fissiamo e calcoliamo la derivata prima della funzione .



(ho utilizzato la formula di derivazione del prodotto)

Scriviamo meglio la funzione:



Per x>1 la derivata prima della funzione è negativa, di conseguenza essa è una funzione strettamente decrescente.

L'estremo superiore della funzione nell'intervallo è:



Ma attenzione:

non converge

(viene meno la condizione necessaria per la convergenza).

Pertanto non abbiamo convergenza totale nell'insieme e per la parità nemmeno in .

Non abbiamo finito. Forse esiste convergenza totale negli intervalli del tipo con !

Controlliamo :)

Sempre per quello che abbiamo detto prima, abbiamo che, fissato n naturale, la funzione è decrescente per , di conseguenza:



Attenzione ora: la serie



converge, proprio perché a>1 (ti riconduci quindi allo studio puntuale che abbiamo fatto nel messaggio precedente)

Ottimo! Abbiamo convergenza totale negli intervalli del tipo con e per la parità, abbiamo aggratis anche la convergenza totale negli intervalli del tipo .

Non mi sono chiari alcuni punti riguardo questo esercizio:

1) innanzitutto quando scopriamo che la funzione è pari e quindi togliamo il valore assoluto otteniamo . Non possiamo dividere la frazione in due parti e quindi otteniamo ?

E' un errore?

2) Non ho capito bene come si calcola il limite per n che tende a infinito di ; potete mostrarmi tutti i passaggi?

E perché fai i diversi casi, cioè ?

Ok iniziamo con la prima domanda. L'espressione:



Per la proprietà delle potenze potremo scrivere:



Scritto così, il termine n-esimo della serie non ci guadagna in bellezza sinceramente.

Domanda 2.

Adesso concentriamoci sul limite:



che possiamo scrivere ovviamente come:



Adesso mettiamo in campo il logaritmo in combo con la funzione esponenziale:



Passiamo da una potenza alla funzione esponenziale. Grazie ad essa il limite si esprimerà come:



(la x maggiore di zero segue dal fatto che la funzione è pari, e per eliminare il valore assoluto abbiamo imposto che x>0)

Ora però devi ricordarti il limite fondamentale per successioni:





In particolare a noi interessa per x>0, gli altri casi ce li possiamo dimenticare

Quando 0<x<1 hai che tende a zero, pertanto:



Questa stima asintotica per successioni deriva dal limite notevole del logaritmo

Tornando al limite



Si riscrive come:



e poiché allora tende a zero, pertanto



Per x=1 è immediato:



Infine per x>1, dobbiamo tornare alla forma esponenziale:



In questo caso, poiché allora tende a infinito quando n tende a infinito.

Utilizzeremo in questo caso la stima asintotica:



Abbiamo in pratica trascurato l'uno.

Per la proprietà dei logaritmi abbiamo che:



Quindi il limite diventa:





Semplifichiamo n:



Per definizione di logaritmo

In definitiva



Sembra difficile, ma ti assicuro che non è così, bisogna ricordarsi un bel po' di cose purtroppo, l'esercizio continuo ti aiuterà.