Equazione con seno e coseno del numero complesso

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Equazione con seno e coseno del numero complesso #63000

avt
kukaaa
Cerchio
Salve, ho un'equazione in campo complesso con il coseno e il seno della incognita complessa. E' la seguente :

11\cos(z)-9i\sin(z) = 6

Come si ragiona in questo caso?
 
 

Equazione con seno e coseno del numero complesso #63001

avt
Omega
Amministratore
Ciao Kukaaa emt

una precisazione necessaria per poter risolvere l'equazione: il testo si esprime in merito al campo cui appartiene z ?

Vale a dire: z\in\ ...

Equazione con seno e coseno del numero complesso #63002

avt
kukaaa
Cerchio
No non dice niente riguardo a Z emt

Equazione con seno e coseno del numero complesso #63003

avt
Omega
Amministratore
Va bene, vediamo come risolvere. emt Dovremo fare riferimento a due identità che derivano dalla definizione come serie di potenze per seno e coseno e dalla formula di Taylor dell'esponenziale. Supponiamo z\in\mathbb{C}.

Puoi prendere per buone le seguenti identità per seno e coseno di numeri complessi

\cos(z)=\frac{e^{-iz}+e^{+iz}}{2}

\sin(z)=\frac{i\cdot (e^{-iz}-e^{+iz})}{2}

Sostituiamo entrambe le espressioni nell'equazione assegnata

11\cos(z)-9i\sin(z) = 6

otteniamo

11\cdot \frac{e^{-iz}+e^{+iz}}{2} -9i \cdot \frac{i\cdot (e^{-iz}-e^{+iz})}{2} = 6

Ora facciamo un paio di conticini. Sappiamo che il quadrato dell'unità immaginaria è i^2=-1, dunque passiamo all'equazione nella forma

11(e^{-iz}+e^{+iz}) +9 (e^{-iz}-e^{+iz}) = 12

da cui

20e^{-iz}+2e^{+iz} = 12

dividiamo tutto per 2

10e^{-iz}+e^{+iz} = 6

Un po' meglio, non trovi? emt Ora la cosa migliore da fare è scrivere e^{-iz} come rapporto

\frac{10}{e^{iz}}+e^{+iz} = 6

e moltiplicare entrambi i membri per e^{iz}

10+e^{2iz} = 6e^{iz}

Effettuiamo la sostituzione t:=e^{iz}, dove naturalmente t è una variabile complessa

t^2-6t+10=0

Ci troviamo di fronte ad un'equazione di secondo grado. Risolviamola con la solita formuletta del discriminante

t_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-40}}{2}=\frac{6\pm 2i}{2}=\begin{cases}3+i\\ 3-i\end{cases}

Nota che le due soluzioni sono complesse coniugate (com'era ragionevole aspettarsi). Riscriviamo la variabile nella sua forma originaria. Abbiamo due equazioni:

Prima equazione: e^{iz}=3+i

Seconda equazione: e^{iz}=3-i


Vediamo come risolvere la PRIMA EQUAZIONE COMPLESSA

e^{iz}=3+i

applichiamo il logaritmo ad entrambi i membri. Dato che siamo in campo complesso non dimentichiamoci di prendere tutte le possibili soluzioni ( \mbox{soluzione}+2k\pi)

iz=\log(3+i)

dividiamo entrambi i membri per i

z=\frac{1}{i}\log(3+i)

Naturalmente il reciproco dell'unità immaginaria vale -1, infatti \frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=-i

z=-i\log(3+i)

Naturalmente \log(3+i) ha argomento complesso, quindi dobbiamo prendere in considerazione il logaritmo complesso:

\log(3+i)= \log|3+i|+[\mbox{arg}(3+i)+2k\pi]i \mbox{ con }k\in \mathbb{Z}

dove |\cdot| è il modulo e \mbox{arg} è l'argomento del numero complesso 3+i.
Ora il modulo e l'argomento di 3+i sono rispettivamente:

|3+i|=\sqrt{10}

\mbox{arg}(3+i)= \arctan\left(\frac{1}{3}\right)

Dunque:

z=-i\log(3+i)=-i ( \log|3+i|+[\mbox{arg}(3+i)+2k\pi]i)=

 -\log(\sqrt{10})i+ \arctan\left(\frac{1}{3}\right)+2k\pi\mbox{ con }k\in\mathbb{Z}


Con la SECONDA EQUAZIONE COMPLESSA ci comportiamo in modo del tutto analogo

e^{iz}=3-i

da cui

iz=\log(3-i)\ \to\ z=-i\log(3-i)

e dunque

z=-i\log(3-i)

Procedi come ho fatto prima, così da ottenere:

z= - i\ln(3-i)=

= -\arctan\left(\frac{1}{3}\right)+2k\pi- i \log(\sqrt{10})\mbox{ con }k\in\mathbb{Z}

In sintesi tutte e sole le soluzioni dell'equazione assegnata inizialmente sono date da

z= -\log(\sqrt{10})i+ \arctan\left(\frac{1}{3}\right)+2k\pi

oppure

 z= -\arctan\left(\frac{1}{3}\right)+2k\pi- i \log(\sqrt{10}) al variare di k\in\mathbb{Z}.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby
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