Equazione con seno e coseno del numero complesso

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#63000
avt
kukaaa
Cerchio

Salve, ho un'equazione in campo complesso con il coseno e il seno della incognita complessa. E' la seguente :

11cos(z)−9isin(z) = 6

Come si ragiona in questo caso?

#63001
avt
Omega
Amministratore

Ciao Kukaaa emt

una precisazione necessaria per poter risolvere l'equazione: il testo si esprime in merito al campo cui appartiene z ?

Vale a dire: z∈ ...

#63002
avt
kukaaa
Cerchio

No non dice niente riguardo a Z emt

#63003
avt
Omega
Amministratore

Va bene, vediamo come risolvere. emt Dovremo fare riferimento a due identità che derivano dalla definizione come serie di potenze per seno e coseno e dalla formula di Taylor dell'esponenziale. Supponiamo z∈C.

Puoi prendere per buone le seguenti identità per seno e coseno di numeri complessi

cos(z) = (e^(−iz)+e^(+iz))/(2)

sin(z) = (i·(e^(−iz)−e^(+iz)))/(2)

Sostituiamo entrambe le espressioni nell'equazione assegnata

11cos(z)−9isin(z) = 6

otteniamo

11·(e^(−iz)+e^(+iz))/(2)−9i·(i·(e^(−iz)−e^(+iz)))/(2) = 6

Ora facciamo un paio di conticini. Sappiamo che il quadrato dell'unità immaginaria è i^2 = −1, dunque passiamo all'equazione nella forma

11(e^(−iz)+e^(+iz))+9 (e^(−iz)−e^(+iz)) = 12

da cui

20e^(−iz)+2e^(+iz) = 12

dividiamo tutto per 2

10e^(−iz)+e^(+iz) = 6

Un po' meglio, non trovi? emt Ora la cosa migliore da fare è scrivere e^(−iz) come rapporto

(10)/(e^(iz))+e^(+iz) = 6

e moltiplicare entrambi i membri per e^(iz)

10+e^(2iz) = 6e^(iz)

Effettuiamo la sostituzione t: = e^(iz), dove naturalmente t è una variabile complessa

t^2−6t+10 = 0

Ci troviamo di fronte ad un'equazione di secondo grado. Risolviamola con la solita formuletta del discriminante

t_(1,2) = (6±√(36−40))/(2) = (6±2i)/(2) = 3+i ; 3−i

Nota che le due soluzioni sono complesse coniugate (com'era ragionevole aspettarsi). Riscriviamo la variabile nella sua forma originaria. Abbiamo due equazioni:

Prima equazione: e^(iz) = 3+i

Seconda equazione: e^(iz) = 3−i

Vediamo come risolvere la PRIMA EQUAZIONE COMPLESSA

e^(iz) = 3+i

applichiamo il logaritmo ad entrambi i membri. Dato che siamo in campo complesso non dimentichiamoci di prendere tutte le possibili soluzioni ( soluzione+2kπ)

iz = log(3+i)

dividiamo entrambi i membri per i

z = (1)/(i)log(3+i)

Naturalmente il reciproco dell'unità immaginaria vale −1, infatti (1)/(i) = (i)/(i^2) = −i

z = −ilog(3+i)

Naturalmente log(3+i) ha argomento complesso, quindi dobbiamo prendere in considerazione il logaritmo complesso:

log(3+i) = log|3+i|+[arg(3+i)+2kπ]i con k∈ Z

dove |·| è il modulo e arg è l'argomento del numero complesso 3+i.

Ora il modulo e l'argomento di 3+i sono rispettivamente:

|3+i| = √(10)

arg(3+i) = arctan((1)/(3))

Dunque:

z = −ilog(3+i) = −i (log|3+i|+[arg(3+i)+2kπ]i) =

−log(√(10))i+arctan((1)/(3))+2kπ con k∈Z

Con la SECONDA EQUAZIONE COMPLESSA ci comportiamo in modo del tutto analogo

e^(iz) = 3−i

da cui

iz = log(3−i) → z = −ilog(3−i)

e dunque

z = −ilog(3−i)

Procedi come ho fatto prima, così da ottenere:

z = −iln(3−i) =

= −arctan((1)/(3))+2kπ−i log(√(10)) con k∈Z

In sintesi tutte e sole le soluzioni dell'equazione assegnata inizialmente sono date da

z = −log(√(10))i+arctan((1)/(3))+2kπ

oppure

z = −arctan((1)/(3))+2kπ−i log(√(10)) al variare di k∈Z.

Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby
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