Equazione di sesto grado con numeri complessi

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Equazione di sesto grado con numeri complessi #62951

avt
kukaaa
Cerchio
Ho qualche problema nel risolvere un'equazione di sesto grado nel campo complesso. Il testo è il seguente:

Risolvere in \mathbb{C} la seguente equazione:

z^6+ (i - 1)z^3 - i = 0.

Grazie.
 
 

Equazione di sesto grado con numeri complessi #62953

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Kukaaa emt

Abbiamo l'equazione complessa:

z^6+(i-1)z^3-i=0

Poniamo w= z^3 cosicché l'equazione complessa si possa scrivere:

w^2+ (i-1)w-i=0

Espandiamo il prodotto:

w^2+ i w - w-i=0

Adesso mettiamo in evidenza parziale w tra i primi due termini.

w(w+i)-(w+i)=0

Mettiamo in evidenza totale w+i

(w+i)(w-1)=0

Per la legge di annullamento del prodotto, il prodotto è nullo se almeno uno dei fattori è nullo:

w+i=0\implies \color{blue}w= -i

w-1= 0\implies \color{red}w= 1

Ricordiamo che w= z^3 quindi l'equazione in blu si scriverà:

z^3= -i

Scriviamo -i in forma trigonometrica e per farlo abbiamo bisogno del modulo e argomento, leggi come fare, ti assicuro che non è difficile:

\rho= 1

\theta= -\frac{\pi}{2}

Ottimo! emt Siamo a cavallo:

z^3=\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+ i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)

si ha che:

z_k=\sqrt[3]{1}\left(\cos\left(\frac{-\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)+i \sin\left(\frac{-\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)\right) \mbox{ con }k=0, 1, 2

Ora

Se k=0 allora

z_0= \sqrt[3]{1}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)=

= \frac{\sqrt{3}}{2}- \frac{i}{2}

Se k=1

z_1= \sqrt[3]{1}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=

= i

Se k=2

z_2= \sqrt[3]{1}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)+i \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right)=

-\frac{\sqrt{3}}{2}- \frac{i}{2}


Abbiamo risolto la prima equazione. Ci rimane da risolvere la seconda:

z^3= 1

Troviamo il modulo e l'argomento di 1:

\rho= 1

\theta=0

Dunque:

z_k= \sqrt[3]{1}\left(\cos\left(\frac{0+2k\pi}{3}\right)+i \sin\left(\frac{0+2k\pi}{3}\right)\right) \mbox{ con }k=0, 1, 2

Sostituiamo k nella formula:

Se k=0

z_0= 1

Se k=1

z_1=\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=

= -\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i

Se k=2

z_1=\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)+i \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)=

= -\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i
__________________-

In generale, per trovare la radice n-esima di un numero complesso, devi seguire i seguenti passaggi:

1. Trovi il modulo \rho e l'argomento \theta del numero complesso di cui vuoi calcolare la radice n-esima.

2. Otterrai n soluzioni date dalla relazione:

z_{k}= \sqrt[n]{\rho}\left(\cos\left(\frac{\theta+ 2k\pi}{n}\right)+ i \sin\left(\frac{\theta+ 2k\pi}{n}\right)\right)\mbox{ con }k=0,..., n-1

3. Sostituisci i valori 0, 1, 2, 3, 4... fino a n-1 a k. Fai i conti, utilizzando i valori notevoli del seno e del coseno per esprimere il numero che ottieni in forma cartesiana, se possibile. emt

Leggi la lezione su come calcolare la radice n-esima di un numero complesso
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby
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Os