Integrale fratto con al denominatore una radice quadrata

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Integrale fratto con al denominatore una radice quadrata #62925

avt
kukaaa
Cerchio
Salve ho riscontrato dei problemi nel calcolo degli integrali fratti con una radice quadrata al denominatore. Per questo eccomi qua:

\int_{2}^{3} \frac{x^3+3x}{\sqrt{x^4+5x^2-6}}dx

Grazie
 
 

Integrale fratto con al denominatore una radice quadrata #62935

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok, la prima cosa che mi balza all'occhio è che al numeratore della funzione intagranda abbiamo quasi la derivata dell'argomento della radice al denominatore.

Infatti:

\frac{d}{dx} [x^4+5x^2-6]= 4x^3+10x

Dobbiamo fare in modo che al numeratore della funzione integranda compaia quel polinomio, ma in che modo? Trucchi algebrici a go- go.

\int_{2}^{3} \frac{x^3+3x}{\sqrt{x^4+5x^2-6}}dx

Mi serve un quattro che moltiplica x^3... IDEA: moltiplico e divido per 4 (utilizzo così la proprietà invariantiva della divisione).

\frac{1}{4}\int_{2}^{3} \frac{4(x^3+3x)}{\sqrt{x^4+5x^2-6}}dx

sviluppiamo il prodotto al numeratore della funzione integranda:

\frac{1}{4}\int_{2}^{3} \frac{4x^3+12x}{\sqrt{x^4+5x^2-6}}dx

Ancora non ci siamo, voglio un 10x non un 12x, poco male, scrivo 12x come:

12x= 10x+2x

L'integrale diventerà quindi:

\frac{1}{4}\int_{2}^{3} \frac{4x^3+10x+2x}{\sqrt{x^4+5x^2-6}}dx

Siamo a cavallo! Spezziamo la frazione in somma di due frazioni:

\frac{1}{4}\int_{2}^{3} \frac{4x^3+10x}{\sqrt{x^4+5x^2-6}}+\frac{2x}{\sqrt{x^4+5x^2-6}}dx

Sfruttiamo ora la proprietà additiva degli integrali, ci permetterà di scrivere l'integrale della somma come somma degli integrali.

\frac{1}{4}\left[\color{red}\int_{2}^{3} \frac{4x^3+10x}{\sqrt{x^4+5x^2-6}}dx\color{black}+\color{blue}\int_{2}^{3}\frac{2x}{\sqrt{x^4+5x^2-6}}dx\right]

Perfetto, abbiamo ottenuto due integrali.

Risolviamo il primo integrale, quello in rosso

\int_{2}^{3} \frac{4x^3+10x}{\sqrt{x^4+5x^2-6}}dx

Come si fa? Be' abbiamo fatto tanta fatica per costruirci la derivata al numeratore per un solo motivo: innescare il metodo di sostituzione per gli integrali.

Poniamo

t= \sqrt{x^4+5x^2-6}

e determiniamo i nuovi estremi:

t_1= \sqrt{2^4+ 5\cdot 2^2- 6}=\sqrt{30}

t_2= \sqrt{3^4+ 5\cdot 3^2-6}= \sqrt{120}= 2\sqrt{30}

Adesso calcoliamo il nuovo differenziale:

dt=\frac{1}{2}\frac{4x^3+ 10 x}{\sqrt{x^4+5 x^2-6}} dx

da cui, moltiplicando membro a membro per 2:

2 dt=\frac{4x^3+ 10 x}{\sqrt{x^4+5 x^2-6}} dx

Ottimo! Grazie alla sostituzione scelta l'integrale si riscrive come:

\int_{\sqrt{30}}^{2\sqrt{30}}2dt= 2[t]_{\sqrt{30}}^{2\sqrt{30}}=2[2\sqrt{30}-\sqrt{30}]= 2\sqrt{30}

Il primo integrale è andato. Leggi questo, intanto scrivo il procedimento del secondo integrale, quello in blu per intenderci emt
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby, Iusbe

Integrale fratto con al denominatore una radice quadrata #62936

avt
Ifrit
Ambasciatore
Questo integrale sembra davvero un osso duro,

\int_{2}^{3}\frac{2x}{\sqrt{x^4+5x^2-6}}dx

Il trucco qui consiste nel costruirci un quadrato dentro la radice sempre tramite trucchetti algebrici. Vediamo un po':

x^4+\color{red}5\color{black}x^2- 6

quello che ti salta all'occhio è il coefficiente di x^2 che rappresenterà il doppio prodotto dei termini del "quadrato di binomio" che andremo a costruire. Uno dei termini del quadrato di binomio ce l'abbiamo già, è la radice quadrata del coefficiente di x^4, ovvero 1, l'altro deve essere necessariamente \frac{5}{2}. Affinché si completi il quadrato di binomio, però dobbiamo sommare e sottrarre per il quadrato di \frac{5}{2} ovvero \frac{25}{4}.

\overbrace{x^4+5x^2+\frac{25}{4}}^{= \left(x^2+\frac{5}{2}\right)^2}-\overbrace{\left(\frac{25}{4}+ 6\right)}^{=\frac{49}{4}}=

= \left(x^2+ \frac{5}{2}\right)^{2}- \frac{49}{4}

Benissimo, l'integrale diventerà quindi:

\int_{2}^{3} \frac{2x}{\sqrt{ \left(x^2+ \frac{5}{2}\right)^{2}- \frac{49}{4}}}dx

Mmm è ancora troppo bruttino :\, procediamo per sostituzione, ponendo:

s= x^2+\frac{5}{2}

Gli estremi di integrazione diventano:

s_1=2^2+ \frac{5}{2}= \frac{13}{2}

s_2= 3^2+ \frac{5}{2}=\frac{23}{2}

Il nuovo differenziale sarà

ds= 2x dx GRANDE coincide con il numeratore dell'integrale!!!

\int_{2}^{3} \frac{2x}{\sqrt{ \left(x^2+ \frac{5}{2}\right)^{2}- \frac{49}{4}}}dx=

\int_{2}^{3}\overbrace{ \frac{1}{\sqrt{ \left(x^2+ \frac{5}{2}\right)^{2}- \frac{49}{4}}}}^{= \frac{1}{s^2- \frac{49}{4}}}\cdot \overbrace{2xdx}^{=ds}=

Sostituiamo anche gli estremi:

\int_{\frac{13}{2}}^{\frac{23}{2}} \frac{1}{s^2- \frac{49}{4}} ds=

Siamo contenti perché ci siamo ricondotti ad un integrale notevole:

\int \frac{1}{\sqrt{x^2- a^2}}dx= \ln|x+ \sqrt{x^2- a^2}|

Pertanto:

\int_{\frac{13}{2}}^{\frac{23}{2}} \frac{1}{s^2- \frac{49}{4}} ds=

= \left[\ln|s+ \sqrt{s^2- \frac{49}{4}}|\right]_{\frac{13}{2}}^{\frac{23}{2}}=

= \ln\left(\frac{23}{2}+2\sqrt{30}\right)- \ln\left(\frac{13}{2}+\sqrt{30}\right).

In definitiva:



\frac{1}{4}\left[\color{red}\overbrace{\int_{2}^{3} \frac{4x^3+10x}{\sqrt{x^4+5x^2-6}}dx}^{=2\sqrt{30}}\color{black}+\color{blue}\overbrace{\int_{2}^{3}\frac{2x}{\sqrt{x^4+5x^2-6}}dx}^{ \ln\left(\frac{23}{2}+2\sqrt{30}\right)- \ln\left(\frac{13}{2}+\sqrt{30}\right)}\right]=

\frac{1}{4}\left[2\sqrt{30}+ \ln\left(\frac{23}{2}+2\sqrt{30}\right)- \ln\left(\frac{13}{2}+\sqrt{30}\right)\right]
Ringraziano: CarFaby, Iusbe
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