Integrale fratto con al denominatore una radice quadrata

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Integrale fratto con al denominatore una radice quadrata #62925

avt
kukaaa
Cerchio
Salve ho riscontrato dei problemi nel calcolo degli integrali fratti con una radice quadrata al denominatore. Per questo eccomi qua:

∫_(2)^(3) (x^3+3x)/(√(x^4+5x^2-6))dx

Grazie
 
 

Integrale fratto con al denominatore una radice quadrata #62935

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, la prima cosa che mi balza all'occhio è che al numeratore della funzione intagranda abbiamo quasi la derivata dell'argomento della radice al denominatore.

Infatti:

(d)/(dx) [x^4+5x^2-6] = 4x^3+10x

Dobbiamo fare in modo che al numeratore della funzione integranda compaia quel polinomio, ma in che modo? Trucchi algebrici a go- go.

∫_(2)^(3) (x^3+3x)/(√(x^4+5x^2-6))dx

Mi serve un quattro che moltiplica x^3... IDEA: moltiplico e divido per 4 (utilizzo così la proprietà invariantiva della divisione).

(1)/(4)∫_(2)^(3) (4(x^3+3x))/(√(x^4+5x^2-6))dx

sviluppiamo il prodotto al numeratore della funzione integranda:

(1)/(4)∫_(2)^(3) (4x^3+12x)/(√(x^4+5x^2-6))dx

Ancora non ci siamo, voglio un 10x non un 12x, poco male, scrivo 12x come:

12x = 10x+2x

L'integrale diventerà quindi:

(1)/(4)∫_(2)^(3) (4x^3+10x+2x)/(√(x^4+5x^2-6))dx

Siamo a cavallo! Spezziamo la frazione in somma di due frazioni:

(1)/(4)∫_(2)^(3) (4x^3+10x)/(√(x^4+5x^2-6))+(2x)/(√(x^4+5x^2-6))dx

Sfruttiamo ora la proprietà additiva degli integrali, ci permetterà di scrivere l'integrale della somma come somma degli integrali.

(1)/(4)[∫_(2)^(3) (4x^3+10x)/(√(x^4+5x^2-6))dx+∫_(2)^(3)(2x)/(√(x^4+5x^2-6))dx]

Perfetto, abbiamo ottenuto due integrali.

Risolviamo il primo integrale, quello in rosso

∫_(2)^(3) (4x^3+10x)/(√(x^4+5x^2-6))dx

Come si fa? Be' abbiamo fatto tanta fatica per costruirci la derivata al numeratore per un solo motivo: innescare il metodo di sostituzione per gli integrali.

Poniamo

t = √(x^4+5x^2-6)

e determiniamo i nuovi estremi:

t_1 = √(2^4+5·2^2-6) = √(30)

t_2 = √(3^4+5·3^2-6) = √(120) = 2√(30)

Adesso calcoliamo il nuovo differenziale:

dt = (1)/(2)(4x^3+10 x)/(√(x^4+5 x^2-6)) dx

da cui, moltiplicando membro a membro per 2:

2 dt = (4x^3+10 x)/(√(x^4+5 x^2-6)) dx

Ottimo! Grazie alla sostituzione scelta l'integrale si riscrive come:

∫_(√(30))^(2√(30))2dt = 2[t]_(√(30))^(2√(30)) = 2[2√(30)-√(30)] = 2√(30)

Il primo integrale è andato. Leggi questo, intanto scrivo il procedimento del secondo integrale, quello in blu per intenderci emt
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby, Iusbe

Integrale fratto con al denominatore una radice quadrata #62936

avt
Ifrit
Amministratore
Questo integrale sembra davvero un osso duro,

∫_(2)^(3)(2x)/(√(x^4+5x^2-6))dx

Il trucco qui consiste nel costruirci un quadrato dentro la radice sempre tramite trucchetti algebrici. Vediamo un po':

x^4+5x^2-6

quello che ti salta all'occhio è il coefficiente di x^2 che rappresenterà il doppio prodotto dei termini del "quadrato di binomio" che andremo a costruire. Uno dei termini del quadrato di binomio ce l'abbiamo già, è la radice quadrata del coefficiente di x^4, ovvero 1, l'altro deve essere necessariamente (5)/(2). Affinché si completi il quadrato di binomio, però dobbiamo sommare e sottrarre per il quadrato di (5)/(2) ovvero (25)/(4).

x^4+5x^2+(25)/(4) (= (x^2+(5)/(2))^2)-((25)/(4)+6) (= (49)/(4)) =

= (x^2+(5)/(2))^(2)-(49)/(4)

Benissimo, l'integrale diventerà quindi:

∫_(2)^(3) (2x)/(√((x^2+(5)/(2))^(2)-(49)/(4)))dx

Mmm è ancora troppo bruttino :\, procediamo per sostituzione, ponendo:

s = x^2+(5)/(2)

Gli estremi di integrazione diventano:

s_1 = 2^2+(5)/(2) = (13)/(2)

s_2 = 3^2+(5)/(2) = (23)/(2)

Il nuovo differenziale sarà

ds = 2x dx GRANDE coincide con il numeratore dell'integrale!!!

∫_(2)^(3) (2x)/(√((x^2+(5)/(2))^(2)-(49)/(4)))dx =

∫_(2)^(3) (1)/(√((x^2+(5)/(2))^(2)-(49)/(4))) (= (1)/(s^2-(49)/(4)))·2xdx (= ds) =

Sostituiamo anche gli estremi:

∫_((13)/(2))^((23)/(2)) (1)/(s^2-(49)/(4)) ds =

Siamo contenti perché ci siamo ricondotti ad un integrale notevole:

∫ (1)/(√(x^2-a^2))dx = ln|x+√(x^2-a^2)|

Pertanto:

∫_((13)/(2))^((23)/(2)) (1)/(s^2-(49)/(4)) ds =

= [ln|s+√(s^2-(49)/(4))|]_((13)/(2))^((23)/(2)) =

= ln((23)/(2)+2√(30))-ln((13)/(2)+√(30)).

In definitiva:



(1)/(4)[∫_(2)^(3) (4x^3+10x)/(√(x^4+5x^2-6))dx (= 2√(30))+∫_(2)^(3)(2x)/(√(x^4+5x^2-6))dx (ln((23)/(2)+2√(30))-ln((13)/(2)+√(30)))] =

(1)/(4)[2√(30)+ln((23)/(2)+2√(30))-ln((13)/(2)+√(30))]
Ringraziano: CarFaby, Iusbe
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