Integrale fratto con al denominatore una radice quadrata
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#62925
![]() kukaaa Cerchio | Salve ho riscontrato dei problemi nel calcolo degli integrali fratti con una radice quadrata al denominatore. Per questo eccomi qua: ![]() Grazie |
#62935
![]() Ifrit Amministratore | Ok, la prima cosa che mi balza all'occhio è che al numeratore della funzione intagranda abbiamo quasi la derivata dell'argomento della radice al denominatore. Infatti: ![]() Dobbiamo fare in modo che al numeratore della funzione integranda compaia quel polinomio, ma in che modo? Trucchi algebrici a go- go. ![]() Mi serve un quattro che moltiplica ![]() sviluppiamo il prodotto al numeratore della funzione integranda: ![]() Ancora non ci siamo, voglio un 10x non un 12x, poco male, scrivo 12x come: L'integrale diventerà quindi: ![]() Siamo a cavallo! Spezziamo la frazione in somma di due frazioni: ![]() Sfruttiamo ora la proprietà additiva degli integrali, ci permetterà di scrivere l'integrale della somma come somma degli integrali. ![]() Perfetto, abbiamo ottenuto due integrali. Risolviamo il primo integrale, quello in rosso ![]() Come si fa? Be' abbiamo fatto tanta fatica per costruirci la derivata al numeratore per un solo motivo: innescare il metodo di sostituzione per gli integrali. Poniamo e determiniamo i nuovi estremi: ![]() ![]() Adesso calcoliamo il nuovo differenziale: ![]() da cui, moltiplicando membro a membro per 2: ![]() Ottimo! Grazie alla sostituzione scelta l'integrale si riscrive come: ![]() Il primo integrale è andato. Leggi questo, intanto scrivo il procedimento del secondo integrale, quello in blu per intenderci ![]() |
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby, Iusbe |
#62936
![]() Ifrit Amministratore | Questo integrale sembra davvero un osso duro, ![]() Il trucco qui consiste nel costruirci un quadrato dentro la radice sempre tramite trucchetti algebrici. Vediamo un po': quello che ti salta all'occhio è il coefficiente di ![]() ![]() Benissimo, l'integrale diventerà quindi: ![]() Mmm è ancora troppo bruttino :\, procediamo per sostituzione, ponendo: ![]() Gli estremi di integrazione diventano: ![]() ![]() Il nuovo differenziale sarà ![]() ![]() Sostituiamo anche gli estremi: ![]() Siamo contenti perché ci siamo ricondotti ad un integrale notevole: ![]() Pertanto: ![]() ![]() ![]() In definitiva: ![]() ![]() |
Ringraziano: CarFaby, Iusbe |
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