Serie parametrica con tangente e coseno iperbolico

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Serie parametrica con tangente e coseno iperbolico #62886

avt
kukaaa
Cerchio
Il mio topic odierno è dedicato ad una serie parametrica con tangente e coseno iperbolico, chiedo il vostro aiuto!

Determinare a appartenente a R^+ in modo che converga la serie

Σ_(n = 1)^(∞)[n tan((1)/(n))-cosh((a)/(n))]^((1)/(2))

Grazie!
 
 

Serie parametrica con tangente e coseno iperbolico #62890

avt
Ifrit
Amministratore
Eccoci: per capire per quali valori di a positivi la serie converge utilizzeremo il criterio del confronto asintotico. Ovviamente dobbiamo determinare la stima asintotica per il termine n-esimo:

a_n = [ntan((1)/(n))-cosh((a)/(n))]^((1)/(2)) per n che tende a infinito. Come facciamo? Interverrà lo sviluppo di Taylor (che ultimamente ti sta perseguitando emt).

Alcune osservazioni preliminari: per n che tende a infinito l'argomento della funzione tangente tende a zero, quindi possiamo utilizzare lo sviluppo notevole di Taylor- McLaurin per la tangente,

tan(x) = x+(x^3)/(3)+(2)/(15)x^5+o(x^5) con x → 0

Grazie ad esso possiamo asserire che:

tan((1)/(n)) = (1)/(n)+(1)/(3n^3)+(2)/(15 n^5)+o((1)/(n^5)) con n → +∞

(in sostanza ho sostituito al posto di x la successione infinitesima (1)/(n))

Moltiplichiamo membro a membro per n:

ntan((1)/(n)) = 1+(1)/(3n^2)+(2)/(15 n^4)+o((1)/(n^4)) con n → +∞

Procediamo allo stesso modo per la funzione coseno iperbolico. Anche in questo caso interverrà lo sviluppo notevole di Taylor. Ci fermeremo al 4 ordine:

cosh(x) = 1+(x^2)/(2)+(x^4)/(24)+o(x^4) per x → 0

Poiché quando n tende a infinito (a)/(n), per ogni a>0, tende a zero (e coincide con il centro dello sviluppo notevole) allora:

cosh((a)/(n)) = 1+(a^2)/(2n^2)+(a^4)/(24 n^4)+o((1)/(n^4))


Adesso non ci rimane che sottrarre i due sviluppi appena trovati:

ntan((1)/(n))-cosh((a)/(n)) =

((1)/(3)-(a^2)/(2)) (1)/(n^2)+((2)/(15)-(a^4)/(24))(1)/(n^4)+o((1)/(n^4))

Ottimo! Un passaggio un po' delicato, ma non perdiamoci d'animo.
Determiniamo il valore di a per il quale si annulla la parentesi in rosso:

(1)/(3)-(a^2)/(2) = 0 ⇔ a = -√((2)/(3)) ∨ a = √((2)/(3))

Poiché a > 0 allora considereremo solo a = √((2)/(3)). Per esso vale la fighissima stima asintotica:

ntan((1)/(n))-cosh((a)/(n)) ~ _(n → ∞)(31)/(270 n^4)

Estraendo membro a membro la radice:

(ntan((1)/(n))-cosh((a)/(n)))^((1)/(2)) ~ _(n → ∞)√((31)/(270)) (1)/(n^2)

E poiché la serie:

Σ_(n = 1)^(∞)√((31)/(270))(1)/(n^2)

converge allora convergerà la serie di partenza. Osserva che:

Σ_(n = 1)^(∞)√((31)/(270))(1)/(n^2)

non è altro che una serie armonica generalizzata con esponente uguale a 2, a meno di una costante moltiplicativa √((31)/(270)) ovviamente.

(in parole povere, ho fatto in modo di annullare il primo termine dello sviluppo, e tra poco comprenderai il perché )

Se a > 0 ed è diverso da √((2)/(3)) allora vale la seguente stima asintotica:

ntan((1)/(n))-cosh((a)/(n)) ~ _(n → ∞)((1)/(3)-(a^2)/(2)) (1)/(n^2) con a > 0 e a ne √((2)/(3))

Estraendo membro a membro la radice abbiamo che vale la stima asintotica:

(ntan((1)/(n))-cosh((a)/(n))) ~ _(n → ∞)[((1)/(3)-(a^2)/(2))]^((1)/(2)) (1)/(n) con a > 0 e a ne √((2)/(3))

e poiché la serie:

Σ_(n = 1)^(∞)[((1)/(3)-(a^2)/(2))]^((1)/(2)) (1)/(n)

non converge (è la serie armonica divergente, a meno di una costante moltiplicativa) allora non convergerà nemmeno la serie di partenza.

Faccio osservare che se (1)/(3)-(a^2)/(2) < 0 allora la serie di partenza non è nemmeno definita perché abbiamo una radice quadrata con radicando negativo. emt

In definitiva possiamo asserire che la serie di partenza converge se e solo se

a = √((2)/(3))

Nota: alcuni insegnanti non considerano notevoli né lo sviluppo della tangente né lo sviluppo del coseno iperbolico.
Ringraziano: Omega
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Os