Serie parametrica con tangente e coseno iperbolico

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Serie parametrica con tangente e coseno iperbolico #62886

avt
kukaaa
Cerchio
Il mio topic odierno è dedicato ad una serie parametrica con tangente e coseno iperbolico, chiedo il vostro aiuto!

Determinare a appartenente a \mathbb{R}^+ in modo che converga la serie

\sum_{n=1}^{\infty}\left[n \tan\left(\frac{1}{n}\right)-\cosh\left(\frac{a}{n}\right)\right]^{\frac{1}{2}}

Grazie!
 
 

Serie parametrica con tangente e coseno iperbolico #62890

avt
Ifrit
Ambasciatore
Eccoci: per capire per quali valori di a positivi la serie converge utilizzeremo il criterio del confronto asintotico. Ovviamente dobbiamo determinare la stima asintotica per il termine n-esimo:

a_n= \left[n\tan\left(\frac{1}{n}\right)-\cosh\left(\frac{a}{n}\right)\right]^{\frac{1}{2}} per n che tende a infinito. Come facciamo? Interverrà lo sviluppo di Taylor (che ultimamente ti sta perseguitando emt).

Alcune osservazioni preliminari: per n che tende a infinito l'argomento della funzione tangente tende a zero, quindi possiamo utilizzare lo sviluppo notevole di Taylor- McLaurin per la tangente,

\tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5+o(x^5)\mbox{ con }x\to 0

Grazie ad esso possiamo asserire che:

\tan\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}+\frac{1}{3n^3}+\frac{2}{15 n^5}+ o\left(\frac{1}{n^5}\right)\mbox{ con }n\to +\infty

(in sostanza ho sostituito al posto di x la successione infinitesima \frac{1}{n})

Moltiplichiamo membro a membro per n:

n\tan\left(\frac{1}{n}\right)=1+\frac{1}{3n^2}+\frac{2}{15 n^4}+ o\left(\frac{1}{n^4}\right)\mbox{ con }n\to +\infty

Procediamo allo stesso modo per la funzione coseno iperbolico. Anche in questo caso interverrà lo sviluppo notevole di Taylor. Ci fermeremo al 4 ordine:

\cosh(x)=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\mbox{ per }x\to 0

Poiché quando n tende a infinito \frac{a}{n}, per ogni a>0, tende a zero (e coincide con il centro dello sviluppo notevole) allora:

\cosh\left(\frac{a}{n}\right)= 1+\frac{a^2}{2n^2}+\frac{a^4}{24 n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)


Adesso non ci rimane che sottrarre i due sviluppi appena trovati:

n\tan\left(\frac{1}{n}\right)-\cosh\left(\frac{a}{n}\right)=

\color{red}\left(\frac{1}{3}-\frac{a^2}{2}\right)\color{black} \frac{1}{n^2}+ \color{blue}\left(\frac{2}{15}-\frac{a^4}{24} \right)\color{black}\frac{1}{n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)

Ottimo! Un passaggio un po' delicato, ma non perdiamoci d'animo.
Determiniamo il valore di a per il quale si annulla la parentesi in rosso:

\frac{1}{3}-\frac{a^2}{2}=0\iff a=-\sqrt{\frac{2}{3}}\vee a= \sqrt{\frac{2}{3}}

Poiché a>0 allora considereremo solo a= \sqrt{\frac{2}{3}}. Per esso vale la fighissima stima asintotica:

n\tan\left(\frac{1}{n}\right)- \cosh\left(\frac{a}{n}\right)\sim_{n\to \infty}\frac{31}{270 n^4}

Estraendo membro a membro la radice:

\left(n\tan\left(\frac{1}{n}\right)- \cosh\left(\frac{a}{n}\right)\right)^{\frac{1}{2}}\sim_{n\to \infty}\sqrt{\frac{31}{270}} \frac{1}{n^2}

E poiché la serie:

\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{\frac{31}{270}}\frac{1}{n^2}

converge allora convergerà la serie di partenza. Osserva che:

\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{\frac{31}{270}}\frac{1}{n^2}

non è altro che una serie armonica generalizzata con esponente uguale a 2, a meno di una costante moltiplicativa \sqrt{\frac{31}{270}} ovviamente.

(in parole povere, ho fatto in modo di annullare il primo termine dello sviluppo, e tra poco comprenderai il perché )

Se a>0 ed è diverso da \sqrt{\frac{2}{3}} allora vale la seguente stima asintotica:

n\tan\left(\frac{1}{n}\right)- \cosh\left(\frac{a}{n}\right)\sim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{a^2}{2}\right) \frac{1}{n^2}\mbox{ con }a>0 \mbox{ e }a\ne \sqrt{\frac{2}{3}}

Estraendo membro a membro la radice abbiamo che vale la stima asintotica:

\left(n\tan\left(\frac{1}{n}\right)- \cosh\left(\frac{a}{n}\right)\right)\sim_{n\to \infty}\left[\left(\frac{1}{3}-\frac{a^2}{2}\right)\right]^{\frac{1}{2}} \frac{1}{n}\mbox{ con }a>0 \mbox{ e }a\ne \sqrt{\frac{2}{3}}

e poiché la serie:

\sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(\frac{1}{3}-\frac{a^2}{2}\right)\right]^{\frac{1}{2}} \frac{1}{n}

non converge (è la serie armonica divergente, a meno di una costante moltiplicativa) allora non convergerà nemmeno la serie di partenza.

Faccio osservare che se \frac{1}{3}-\frac{a^2}{2}<0 allora la serie di partenza non è nemmeno definita perché abbiamo una radice quadrata con radicando negativo. emt

In definitiva possiamo asserire che la serie di partenza converge se e solo se

a= \sqrt{\frac{2}{3}}

Nota: alcuni insegnanti non considerano notevoli né lo sviluppo della tangente né lo sviluppo del coseno iperbolico.
Ringraziano: Omega
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Os