Studio di funzione con 2 valori assoluti

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Studio di funzione con 2 valori assoluti #62848

avt
kukaaa
Cerchio
Salve ho riscontrato diversi problemi per studi di funzioni dove ci sono uno o due valori assoluti e se potete spiegarmi meglio quand'è che bisogna fare il limite da sinistra o da destra.

L'esercizio chiede di studiare la seguente funzione:

f(x) = (x^2 + 2 |x| - 1) e^{-|x - 3|}
 
 

Studio di funzione con 2 valori assoluti #62849

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao kukaaa. emt

Prima di tutto leggi la lezione riguardante lo studio di funzione (questa è solo la prima, utilizza le frecce di navigazione per continuare lo studio).

Seguiremo tutti gli step necessari:

Dominio

In questo caso la funzione non presenta funzioni problematiche, abbiamo valori assoluti, funzioni esponenziali, insomma, funzioni mansuete dal punto di vista del dominio. Possiamo asserire senza dubbi che il dominio della funzione è:

\mbox{dom}(f)= \mathbb{R}

Studio della parità e della disparità

f(x) non è né una funzione pari né una funzione dispari.

Nota infatti che:

f(-x)= ((-x)^2+2|-x|-1) e^{-|-x-3|}= (x^2+2|x|-1)e^{-|x+3|}

L'ultima espressione, al terzo membro, non coincide né con la funzione di partenza, né con la sua opposta.

Intersezione con gli assi

Vediamo un po' le intersezioni con gli assi, separando ovviamente i due casi.

Per l'intersezione con l'asse y, è sufficiente considerare il sistema:

\begin{cases}y= f(x)\\ x=0\end{cases}

Il punto di intersezione con l'asse y è:

(0, f(0))= (0, -e^{-3})

Per l'intersezione con l'asse x dobbiamo invece considerare il sistema:

\begin{cases}y= f(x)\\ y=0\end{cases}

Da cui si ottiene l'equazione

f(x)=0\implies (x^2+2|x|-1)e^{-|x-3|}=0

Osserva che al primo membro hai un prodotto, possiamo fare intervenire la legge di annullamento del prodotto: Un prodotto è zero se e solo se almeno uno dei fattori è zero:

Osserva che i fattori sono due:

\bullet\,\, x^2+2|x|-1

\bullet\,\, e^{-|x-3|}

Il secondo fattore non può essere mai zero, perché per definizione, una funzione esponenziale è mai nulla. L'unico fattore che può annullarsi è il primo, controlliamo quindi per quali valori lo fa:

x^2+2|x|-1=0

Questa è una equazione con valore assoluto. Essa è equivalente all'unione dei sistemi:

\begin{cases}x\ge 0\\ x^2+ 2x-1=0\end{cases}\cup \begin{cases}x<0\\ x^2-2x-1=0\end{cases}

Risolviamo il primo sistema:

\begin{cases}x\ge 0\\ x^2+2x-1=0\end{cases}

Concentriamoci sull' equazione di secondo grado:

x^2+2x-1=0\iff x_{1,2}= \frac{-2\pm \sqrt{4+4}}{2}=-1\pm \sqrt{2}

Abbiamo ottenuto due soluzioni: x_1= -1-\sqrt{2} e x_2= -1+\sqrt{2}

ma attenzione, solo una rispetta la condizione x\ge 0 ed è x_2= -1+\sqrt{2}

Quindi il primo sistema ha per soluzione x_2= -1+\sqrt{2}

Adesso controlliamo il secondo sistema:

\begin{cases}x<0\\ x^2-2x-1=0\end{cases}

Avrai capito l'antifona no? emt Risolvi l'equazione di secondo grado:

x^2-2x-1=0\iff x= 1-\sqrt{2}\vee x= 1+\sqrt{2}

e prendi solo quella negativa, ovvero x= 1-\sqrt{2}

In definitiva la funzione incontra l'asse delle x in due punti:

(-1+\sqrt{2}, 0) e in (1-\sqrt{2},0)

Fine prima parte: ti lascio leggere un po' questa parte, a breve la seconda parte. emt

Studio di funzione con 2 valori assoluti #62855

avt
Ifrit
Amministratore
Segno di una funzione

Studiamo il segno della funzione.

In soldoni dobbiamo studiare la disequazione

f(x)>0\iff (x^2+ 2|x|-1)e^{-|x-3|} >0

Abbiamo più fattori, studieremo il segno di ognuno, cominciando da:

\bullet\,\, e^{-|x-3|} >0\mbox{ soddisfatta per ogni }x\in\mathbb{R}

Siamo contenti! emt

x^2+2|x|-1 >0

Questa è un po' più delicata perché è una disequazione con valore assoluto

Essa è equivalente all'unione dei due insiemi:

\begin{cases}x\ge 0\\ x^2+2x-1 >0\end{cases}\cup\begin{cases}x<0\\ x^2-2x-1>0\end{cases}

Risolviamo il primo sistema:

\begin{cases}x\ge 0\\ x^2+2x-1 >0\end{cases}

occupandoci della disequazione di secondo grado, facilmente si ottiene che:

x^2+2x-1 >0\iff x<-1-\sqrt{2}\vee x >-1+\sqrt{2}

attenzione dobbiamo imporre la prima condizione ovvero x \ge 0. Otterremo immediatamente che la soluzione del primo sistema è:

x >-1+\sqrt{2}

Risolviamo il secondo sistema:

\begin{cases}x <0\\ x^2-2x-1 >0\end{cases}

Risolvi la disequazione di secondo grado e imponi la condizione x<0, otterrai che la soluzione del secondo sistema è:

x <1-\sqrt{2}

Tutto questo per dire che:

Il fattore x^2+ 2|x|- 1 è

\bullet positivo se x <1-\sqrt{2}\vee x>-1+\sqrt{2}

\bullet negativo se 1 -\sqrt{2}<x<-1+\sqrt{2}

Il fattore e^{- |x-3|} è positivo sempre, quindi la funzione f(x) è:

\bullet positiva se x< 1-\sqrt{2}\vee x>-1+\sqrt{2}

\bullet negativa se 1- \sqrt{2}<x<-1+\sqrt{2}

Studio di funzione con 2 valori assoluti #62856

avt
Ifrit
Amministratore
Limiti e asintoti

Abbiamo visto che la funzione ha per dominio \mathbb{R}, quindi non presenta certamente asintoti verticali. Siamo contenti emt

Dobbiamo controllare i agli estremi dell'insieme di definizione, ovvero:

\lim_{x\to -\infty}f(x)

e

\lim_{x\to +\infty}f(x)

Cominciamo con il primo:

\lim_{x\to -\infty}f(x)= \lim_{x\to -\infty} (x^2+2|x|-1)e^{-|x-3|}

Adesso delle osservazioni di tipo qualitativo:

x tende a meno infinito, quindi prima o posi sarà più piccola di zero e pertanto:

|x|= -x

mentre |x-3|= - x+3

di conseguenza il limite diventa:

\lim_{x\to -\infty} (x^2-2x-1)e^{-(-x+3)}= \lim_{x\to -\infty}\frac{x^2-2x-1}{e^{-x+3}}


Ci siamo ricondotti ad una forma indeterminata \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che può essere risolta con il teorema di De l'Hopital o con il confronto di infiniti.

Io procedo con l'ordine di infinito perché è il più veloce: sappiamo che l'esponenziale è un infinito di ordine superiore a qualunque polinomio, quindi "l'infinito al denominatore vince su quello al numeratore" di conseguenza il limite è zero.

Anche con De l'Hopital (da applicare due volte) il limite è zero (ovviamente), è dunque presente un asintoto orizzontale destro di equazione:

y=0

Vediamo l'altro limite ovvero:

\lim_{x\to +\infty} f(x)= \lim_{x\to +\infty}(x^2+2|x|-1)e^{-|x-3|}

Altra analisi qualitativa, x tende a + infinito e di conseguenza prima o poi sarà più grande di 3, di conseguenza:

|x|= x (tanto x diverrà sempre più grande di zero)

|x-3|= x-3 (tanto x diverrà sempre più grande di 3)

Il limite si riscrive come:

 \lim_{x\to +\infty}(x^2+2x-1)e^{-(x-3)}

e dunque:

 \lim_{x\to +\infty}(x^2+2x-1)e^{3-x}

Con un ragionamento simile al precedente otterremo che questo limite è zero, abbiamo un asintoto orizzontale sinistro di equazione y=0, esso è dunque un asintoto orizzontale bilatero.

Non abbiamo asintoti obliqui.

Studio di funzione con 2 valori assoluti #62861

avt
Ifrit
Amministratore
Calcolo della derivata prima

Per calcolare la derivata prima, bisogna "espandere il valore assoluto". Cosa intendo? Intendo dire che è cosa buona e giusta scrivere la funzione per casi, che si ottengono espandendo il valore assoluto.

A tal proposito conviene studiare il segno degli argomenti di ciascun valore assoluto:

Studio del segno dell'argomento di |x|
x\ge 0 [questo è facile]

Studio del segno dell'argomento di |x-3|

x-3\ge 0\implies x\ge 3

Costruiamo una piccola tabella in cui riportiamo i segni:

\begin{matrix}x:&---&0&+++&3&+++\\ x-3:&---&0&---&3&+++\end{matrix}

Questo semplice schemino ci aiuterà a scrivere la funzione di partenza per casi:

Quando x<0:

- l'argomento di |x| è negativo, così come quello di |x-3| quindi:

|x|=-x

|x-3|= 3-x

e la funzione diventa:

f(x)= (x^2- 2x -1)e^{-(3-x)}= (x^2-2x-1)e^{x-3}\mbox{ con }x<0

Se 0\le x<3

- l'argomento di |x| è nonnegativo, mentre continua ad essere negativo l'argomento di |x-3|

la funzione si scrive quindi:

f(x)= (x^2+2x-1)e^{x-3}

Infine per x\ge 3

- sia l'argomento di |x| che l'argomento di |x-3| sono non negativi di conseguenza:

f(x)= (x^2+2x-1)e^{3-x}

Possiamo asserire che:

f(x)=\begin{cases}(x^2-2x-1)e^{x-3}&\mbox{ con }x<0\\  (x^2+2x-1)e^{x-3}&\mbox{ con }0\le x<3\\  (x^2+2x-1)e^{3-x}&\mbox{ se }x\ge 3\end{cases}

Adesso possiamo calcolare la derivata prima con le tecniche note, hai che:

f'(x)= \begin{cases}e^{x-3}(x^2-3)&\mbox{ se }x<0\\ e^{x-3}(x^2+4x+1)&\mbox{ se }0<x<3\\ e^{3-x}(3-x^2)&\mbox{ se }x>3\end{cases}

x=0 e x=3 si candidano come punti di non derivabilità perché sono "punti di raccordo". Se osservi bene nella espressione alternativa della funzione di partenza, ti accorgerai che x= 0 e x=3 sono i punti in cui la funzione cambia la sua espressione analitica, per studiare la derivabilità procederemo a mano, calcolando i limiti destri e sinistri della derivata prima, ovvero:


\lim_{x\to 0^{-}}f'(x) e \lim_{x\to 0^{+}}f'(x)

\lim_{x\to 3^{-}}f'(x) e \lim_{x\to 3^{+}}f'(x)

Cominciamo con i primi due:

\lim_{x\to 0^{+}}f'(x)= \lim_{x\to 0^{+}}e^{x-3}(x^2+4x+1)=e^{-3}

mentre

\lim_{x\to 0^{+}}f'(x)= \lim_{x\to 0^{-}}e^{x-3}(x^2-3)=-3e^{-3}

Il limite destro e il limite sinistro della derivata prima esistono finiti ma non coincidono abbiamo quindi che

x=0 è un punto angoloso.

Facciamo lo stesso per x=3

\lim_{x\to 3^{-}}f'(x)= 22

\lim_{x\to 3^{+}}f'(x)= -6

anche in questo caso i limiti sono finiti ma non coincidono:

x=3 è un altro punto angoloso.

Studio di funzione con 2 valori assoluti #62864

avt
Ifrit
Amministratore
Zeri della derivata prima

Studieremo gli zeri della derivata prima, così da determinare i candidati punti stazionari.

f'(x)=0

La derivata prima si presenta in modo un po' particolare (per casi) e dunque lavoreremo per casi al fine di risolvere l'equazione appena scritta:



f'(x)= \begin{cases}e^{x-3}(x^2-3)&\mbox{ se }x<0\\ e^{x-3}(x^2+4x+1)&\mbox{ se }0<x<3\\ e^{3-x}(3-x^2)&\mbox{ se }x>3\end{cases}

Zeri del primo ramo:

Il primo ramo della derivata prima è definito per x<0, dunque dovremo studiare il sistema:

\begin{cases}e^{x-3}(x^2-3)=0\\ x<0\end{cases}

Banalmente dalla prima equazione otteniamo due soluzioni

x= -\sqrt{3}\vee x=\sqrt{3}

ma solo una rispetta la seconda condizione, ovvero x<0, e la soluzione da prendere in considerazione è:

x=-\sqrt{3}.


Secondo ramo

Il secondo ramo è definito per 0<x<3, dovremo quindi risolvere il sistema:

\begin{cases} 0<x<3\\ e^{x-3}(1+4x+x^2)=0\end{cases}

Banalmente l'equazione ha due soluzioni:

x= -2-\sqrt{3}\vee x= -2+\sqrt{3}

ma attenzione, nessuna delle due rispetta la condizione 0<x<3, quindi questo ramo non produce punti stazionari.

Terzo ramo

Il terzo ramo della derivata prima è definito per x>3, dovremo quindi impostare il sistema:

\begin{cases}x>3\\ e^{3-x}(3-x^2)=0\end{cases}

L'equazione ammette come soluzioni x=-\sqrt{3}\vee x= \sqrt{3} ma nessuna delle due è accettabile perché non rispettano la condizione x>3.


In definitiva tutta 'sta tarantella di conti per dire che l'unico punto stazionario è

x=-\sqrt{3}. A breve lo studio del segno della derivata prima, con la quale capiremo la natura del punto stazionario e dei punti angolosi emt

Studio di funzione con 2 valori assoluti #62865

avt
Ifrit
Amministratore
Ricapitoliamo un po' la situazione:

x= 0,\,\,x=3 sono punti angolosi, x= -\sqrt{3} è un punto stazionario.

Il prossimo passo è lo studio del segno della derivata prima per comprendere se essi punti di massimo o di minimo. Al contempo studieremo la monotonia della funzione.

Studiamo il segno di ciascun ramo della derivata prima:

Primo ramo

Come sempre dobbiamo stare attenti alle condizioni da imporre:

\begin{cases}x<0\\ e^{x-3}(x^2-3)>0\end{cases}


Studiamo la disequazione

e^{x-3}(x^2-3)>0

x^2-3>0\iff x<-\sqrt{3}\vee x>\sqrt{3}

Ovviamente dobbiamo tenere in considerazione la condizione x<0, dunque:

x<-\sqrt{3}

Il primo ramo della derivata prima è:

- positivo se x<-\sqrt{3}
- nullo se x=-\sqrt{3}
- negativo se -\sqrt{3}<x<0

dunque la funzione f(x) è:

-crescente in (-\infty, -\sqrt{3})
-ha un punto di massimo in x= -\sqrt{3}, il massimo vale M=(2+2\sqrt{3})e^{-3-\sqrt{3}}
- decresce in (-\sqrt{3}, 0)

Studiamo il segno del secondo ramo:

\begin{cases}0\le x<3\\ e^{x-3}(x^2+4x+1)>0\end{cases}

Risolvi la disequazione ricordando la condizione 0\le x <3

Otterrai che la derivata prima è positiva in (0, 3) e dunque la funzione f(x) è crescente.

Il punto angoloso x=0 è anche punto di minimo relativo, il minimo è m=f(0)= -e^{-3}.

Osserva infatti che per -\sqrt{3}<x<0 la funzione decresce e per 0<x<3 la funzione cresce e proprio per questo motivo il punto angoloso è punto di massimo.

Studiamo l'ultimo ramo


\begin{cases}x>3\\ e^{3-x}(3-x^2)>0\end{cases}

Questo sistema non è mai soddisfatto, quindi la derivata prima è sempre negativa, di conseguenza la funzione decresce nell'intervallo (3, +\infty)

x=3 è un punto di massimo relativo, il massimo relativo associato è:

M_{3}= f(3)= 14.

Ricapitolando:

\bulletx=-\sqrt{3} è punto di massimo relativo, il massimo associato è M= (2+2\sqrt{3})e^{-3-\sqrt{3}}

\bulletx=0 è punto di minimo, il minimo associato è m=-e^{-3}

\bulletx=3 è punto di massimo, il massimo associato è M_3=14


Inoltre la funzione f(x) è:

\bullet crescente in (-\infty, -\sqrt{3}) e in (0, 3)

\bullet decrescente in (-\sqrt{3}, 0) e in (3,+\infty)

Studio di funzione con 2 valori assoluti #62866

avt
Ifrit
Amministratore
Studio della derivata seconda:

Il calcolo della derivata seconda segue le regole delle derivate. Otterrai qualcosa del genere:

g''(x)= \begin{cases}e^{x-3}(x^2+2x-3)&\mbox{ se }x<0\\ e^{x-3}(x^2+6x+5)&\mbox{ se } 0<x<3\\ e^{3-x}(x^2-2x-3)&\mbox{ se }x>3\end{cases}


Studiamo gli zeri della derivata seconda seguendo l'esempio della derivata prima

f''(x)=0\iff x= -3

x= -3 si candida come punto di flesso, ovvero quel punto in cui la funzione cambia di concavità.

Studiamo il segno della derivata seconda seguendo il metodo visto per la derivata prima, arriverai a scoprire che la derivata seconda è:

\bullet positiva in (-\infty, -3), \mbox{ in }(0, 3) e in (3, +\infty)

\bullet negativa in (-3,0)

Dunque la funzione f(x) è:

\bullet convessa in (-\infty, -3), in (0, 3) e in (3,+\infty)

\bullet concava in (-3,0).
Ringraziano: Pi Greco

Studio di funzione con 2 valori assoluti #62868

avt
Ifrit
Amministratore
E dulcis in fundo il grafico della funzione:

studio di funzione per kukaaa
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois
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Os