Limite fratto con parametro reale

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Limite fratto con parametro reale #62758

avt
kukaaa
Cerchio
Ho un problema con un limite con un parametro reale, il testo esatto dell'esercizio è il seguente:

Determinare α∈R tale che sia finito e diverso da 0 il seguente limite parametrico:

lim_(x → 0^(+))(arctan(e^(x)-1)+ln(1-x))/(x^(α))

Determinare inoltre tale limite. Grazie.
 
 

Limite fratto con parametro reale #62761

avt
Ifrit
Amministratore
Per studiare il limite

lim_(x → 0^(+))(arctan(e^x-1)+ln(1-x))/(x^(α))

al variare del parametro reale α possiamo utilizzare lo sviluppo di Taylor ed in particolare intervengono gli sviluppi notevoli.

Sviluppiamo le funzioni in gioco

Cominciamo con la funzione esponenziale fermandoci al terzo ordine

e^(x) = 1+x+(x^2)/(2)+(x^3)/(6)+o(x^3)

Sottraendo membro a membro 1 otteniamo

e^(x)-1 = x+(x^2)/(2)+(x^3)/(6)+o(x^3)

Utilizziamo lo sviluppo notevole dell'arcotangente sempre al terzo ordine

arctan(t) = t-(t^3)/(3)+o(t^3)

Ora componiamo i due sviluppi, sostituendo a t dello sviluppo dell'arcotangente, lo sviluppo di e^(x)-1

arctan(e^(x)-1) = x+(x^2)/(2)+(x^3)/(6)+o(x^3)-((x+(x^2)/(2)+(x^3)/(6)+o(x^3))^3)/(3)+o(x^3)


ed eseguiamo il cubo di trinomio, trascurando tutti i termini il cui grado supera 3:

(x+(x^2)/(2)+(x^3)/(6)+o(x^3))^3 = x^3+o(x^3)

A questo punto rimpiazziamo il risultato nello sviluppo di arctan(e^(x)-1)

arctan(e^(x)-1) = x+(x^2)/(2)+(x^3)/(6)-(x^3)/(3)+o(x^3)

e sommiamo i termini simili:

arctan(e^(x)-1) = x+(x^2)/(2)-(x^3)/(6)+o(x^3)

Adesso ci occupiamo del logaritmo

ln(1-x) = -x-(x^2)/(2)-(x^3)/(3)+o(x^3)

grazie al quale possiamo ottenere lo sviluppo del numeratore.

arctan(e^(x)-1)+ln(1-x) = x+(x^2)/(2)-(x^3)/(6)-x-(x^2)/(2)-(x^3)/(3)+o(x^3)

Elidiamo i termini opposti, e scriviamo:

arctan(e^(x)-1)+ln(1-x) = -(x^3)/(2)+o(x^3)

Alla luce delle informazioni ottenute possiamo asserire che il limite di partenza è equivalente al limite

lim_(x → 0^(+))(-(x^3)/(2)+o(x^3))/(x^(α)) = lim_(x → 0^(+))-(x^(3-α))/(2)

il cui risultato dipende dal comportamento della funzione potenza nell'intorno destro di 0:


• se 3-α > 0 ⇔ α < 3 il limite è 0;

• se 3-α = 0 ⇔ α = 3 il limite è -(1)/(2);

• se 3-α < 0 ⇔ α > 3 il limite è -∞.

Il caso che ci interessa è α = 3 e il limite vale -(1)/(2).

Leggi la lezione su come si affrontano i limiti con Taylor.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Dachifra

Limite fratto con parametro reale #62767

avt
kukaaa
Cerchio
Grazie.

C'è un modo per imparare a fare bene gli sviluppi in serie di Taylor? Al momento non saprei proprio da dove partire, ho letto il link a riguardo ma non ho capito granché. Se potete spiegarmelo per bene, ve ne sarei grato.

Limite fratto con parametro reale #62769

avt
Ifrit
Amministratore
Il trucco consiste nel ricondursi agli sviluppi delle funzioni elementari, quelle che devi conoscere. In particolare devi conoscere:

- l'esponenziale

e^(x) = 1+x+(x^2)/(2)+...+(x^n)/(n!)+o(x^n) [nota il termine n-esimo]

- il logaritmo

ln(1+x) = x-(x^2)/(2)+(x^3)/(3)+...+((-1)^(n+1))/(n)x^n+o(x^n)

- la funzione seno:

sin(x) = x-(x^3)/(6)+(x^5)/(120)-(x^7)/(5040)+...+((-1)^n x^(2n+1))/((2n+1)!)+o(x^(2n+1))

- la funzione coseno:

cos(x) = 1-(x^2)/(2)+(x^4)/(24)-(x^6)/(720)+(x^8)/(40320)+...+((-1)^n x^(2n))/((2n)!)+o(x^(2n))

- l'arcotangente:

arctan(x) = x-(x^3)/(3)+(x^5)/(5)-(x^7)/(7)+(x^9)/(9)+o(x^9)

Facendo moltissimi esercizi, alla lunga, ti entrano in testa volente o nolente. Se però non ti va di imparare a memoria tutti questi sviluppi, allora puoi utilizzare la formula generale.

Se abbiamo una funzione f sufficientemente derivabile in x = 0 possiamo costruire quello che si chiama polinomio di Taylor centrato x = 0 di grado n, mediante la formula

T_(n)(x) = f(0)+f'(0)x+(f''(0))/(2)x^2+...+(f^(n) (0))/(n!)x^n

dove f', f'',..., f^(n) sono le derivate della funzione f.

Una volta costruito il polinomio di Taylor, e sotto le ipotesi del teorema di Taylor, possiamo dire che:

f(x) = polinomio di Taylor+o(x^n)

ossia

f(x) = f(0)+f'(0)x+(f''(0))/(2)x^2+...+(f^(n) (0))/(n!) x^n+o(x^n)

Un esempio di applicazione.

Vogliamo determinare lo sviluppo di Taylor centrato in zero di ordine 4 della funzione

f(x) = e^(x)

Cosa facciamo? Ci calcoliamo la derivata prima, seconda, terza e quarta:

f'(x) = e^(x) ; f''(x) = e^(x) ; f'''(x) = e^(x) ; f^(4)(x) = e^(x)

Valutiamo la funzione e le sue derivate in zero:

f(0) = e^(0) = 1 ; f'(0) = e^(0) = 1 ; f''(x) = e^(0) = 1 ; f'''(x) = e^(0) = 1 ; f^(4)(x) = e^(0) = 1

Abbiamo gli ingredienti per scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine 4 della funzione esponenziale centrato in 0:

e^(x) = f(0)+f'(0)x+(f''(0))/(2)x^2+(f'''(0))/(3!)x^3+(f^(4)(0))/(4!)x^4+o(x^4) = 1+x+(x^2)/(2)+(x^3)/(3!)+(x^4)/(4!)+o(x^4)

Ottimo, come vedi però è un metodo davvero dispendioso. Se la funzione fosse un pochetto più elaborata le derivate diverrebbero via via sempre più difficili. È preferibile invece utilizzare quelli che sono considerati gli sviluppi notevoli e comporli tra loro.

Giusto per farti un esempio. Se volessimo calcolare lo sviluppo di ordine 8, centrato in 0, della funzione

f(x) = e^(x^2)

dovresti derivare 8 volte la funzione (nemmeno nei peggiori film dell'orrore...).

Cosa si fa? Si utilizza lo sviluppo dell'esponenziale:

e^(t) = 1+t+(t^2)/(2)+(t^3)/(3!)+(t^4)/(4!)+o(t^4)

al posto di t inseriamo x^2 così da ottenere

e^(x^2) = 1+x^2+((x^2)^2)/(2)+((x^2)^3)/(3!)+((x^2)^4)/(4!)+o(x^8)

e sviluppiamo le potenze

e^(x^2) = 1+x^2+(x^4)/(2)+(x^6)/(3!)+(x^8)/(4!)+o(x^8)

finito.

Hai notato? Questo metodo è praticamente indolore, richiede solamente un po' di memoria.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Dachifra

Limite fratto con parametro reale #62770

avt
kukaaa
Cerchio
E se avessi e^((1)/(x^2)), come mi comporto in questo caso? Posso scrivere:

e^((1)/(x^2)) = 1+(1)/(x^2)+(2)/(x^4)

e così via?

E nel caso di e^((-1)/(x^2)) ?

Scusami se ti tormento di domande ma vorrei capirlo bene.

Limite fratto con parametro reale #62771

avt
Ifrit
Amministratore
Non posso rispondere alla tua domanda finché non specifichi il centro dello sviluppo.

Se per caso il centro fosse x = 0 allora sarebbe impossibile procedere perché la funzione in gioco, f(x) = e^((1)/(x^2)) non è nemmeno definita e dunque non è nemmeno derivabile, non potrai dunque costruire lo sviluppo.
Ringraziano: CarFaby

Limite fratto con parametro reale #62774

avt
kukaaa
Cerchio
Nel caso e^(-(x^2)/(2)) volevo sapere se è giusto come ho fatto io:

e^(-(x^2)/(2)) = 1-xe^(-(x^2)/(2))-(x^2)/(2!)e^(-(x^2)/(2))+...

etc etc

f'(0) = e^(-(x^2)/(2))D[-(x^2)/(2)] = e^(-(x^2)/(2))* [(-x^2 D[0]-2x·2)/(4)] = -x *e^(-(x^2)/(2))

etc...

Limite fratto con parametro reale #62777

avt
Ifrit
Amministratore
Cerca di essere un po' più preciso.

Vogliamo calcolare lo sviluppo di Taylor di ordine 4 (ad esempio) e centrato in x = 0 (è importante, non puoi sottintenderlo) della funzione f(x) = e^((x^2)/(2)).

Passo uno: calcolo le derivate fino all'ordine indicato

Abbiamo bisogno della derivata prima, seconda, terza e quarta:

f'(x) = x e^((x^2)/(2)) ; f''(x) = (1+x^2) e^((x^2)/(2)) ; f'''(x) = x (3+x^2)e^((x^2)/(2)) ; f^(4)(x) = x (3+x^2)e^((x^2)/(2))

[Non pensare che sia stato facile, dietro queste derivate ci sono un bel po' di conti]

Passo 2: valuto la funzione e le sue derivate nel centro dello sviluppo

In questo caso il centro è zero: x_0 = 0

f(0) = 1 ; f'(0) = 0 ; f''(0) = 1 ; f'''(0) = 0 ; f^(4)(0) = 3

Questi valori ci aiuteranno a costruire lo sviluppo di cui abbiamo bisogno

e^((x^2)/(2)) = f(0) (= 1)+ f'(0) (= 0)x+(f''(0))/(2) (= (1)/(2))x^2+(f'''(0))/(3!) (= 0)x^3+(f^(4)(0))/(4!) (= (3)/(4!))x^4+o(x^4)

Scriviamo per bene lo sviluppo

e^((x^2)/(2)) = 1+(1)/(2)x^2+(1)/(8)x^4+o(x^4)

Ok, abbiamo lo sviluppo, ma che fatica!

Proviamo in questo modo: scriviamo lo sviluppo notevole dell'esponenziale

e^(t) = 1+t+(t^2)/(2)+o(t^2)

e al posto di t inseriamo (x^2)/(2) così da ottenere

e^((x^2)/(2)) = 1+(x^2)/(2)+(((x^2)/(2))^2)/(2) (= (x^4)/(8))+o(x^4) = 1+(x^2)/(2)+(x^4)/(8)+o(x^4)

Ho ottenuto lo stesso sviluppo, solo che per scrivere il primo ho impiegato mezz'ora, qualche minuto per il secondo.
Ringraziano: CarFaby
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