Integrale definito fratto con seno e coseno

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Integrale definito fratto con seno e coseno #62723

avt
kukaaa
Cerchio
Ho avuto difficoltà nel risolvere questo integrale trigonometrico fratto con seno e coseno, dunque eccomi qui!

\int_{0}^{\pi}\frac{3\cos(x)\sin(x)+4\sin(x)}{\sin^2(x)+2\cos^2(x)-\cos(x)}dx

Come sempre grazie mille!
 
 

Integrale definito fratto con seno e coseno #62731

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, Abbiamo l'integrale:

\int_{0}^{\pi}\frac{3\cos(x)\sin(x)+4\sin(x)}{\sin^2(x)+2\cos^2(x)-\cos(x)}dx

Come facciamo? Per prima cosa utilizziamo la relazione fondamentale della trigonometria:

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1

grazie alla quale scriveremo che

\sin^2(x)=1-\cos^2(x)

Essa ci permette di scrivere il denominatore della funzione integranda come:

\\ \sin^2(x)+2\cos^2(x)-\cos(x)= \\ \\ = 1-\cos^2(x)+2\cos^2(x)-\cos(x)= \\ \\ = \cos^2(x)-\cos(x)+1

Scriviamo meglio il numeratore:

3\cos(x)\sin(x)+4\sin(x)= \sin(x)(3\cos(x)+ 4)

L'integrale diventa:

\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(x)(3\cos(x)+4)}{\cos^2(x)-\cos(x)+1}dx

Adesso procediamo con l'integrazione per sostituzione, porremo

t=\cos(x)

il nuovo differenziale è:

dt=-\sin(x)dx

Ovviamente dobbiamo determinare i nuovi estremi:

- se x=0 otterremo t_1= \cos(0)= 1

- se x=\pi otterremo t_2= \cos(\pi)= -1

Per facilitare la sostituzione scriviamo l'integrale come:

\int_{0}^{\pi}-\overbrace{\frac{(3\cos(x)+4)}{\cos^2(x)-\cos(x)+1}}^{\frac{3t+4}{t^2-t+1}}\overbrace{(-\sin(x))dx}^{dt}

dunque:

\int_{1}^{-1}- \frac{3t+4}{t^2-t+1}dt=-\int_{1}^{-1} \frac{3t+4}{t^2-t+1}dt

Invertiamo gli estremi di integrazione utilizzando la formula:

\int_{a}^{b}f(t)dt= -\int_{b}^{a}f(t)dt

Pertanto:

-\int_{1}^{-1} \frac{3t+4}{t^2-t+1}dt=\int_{-1}^{1} \frac{3t+4}{t^2-t+1}dt

Oh finalmente! Ci siamo ricondotti ad un integrale di una funzione razionale. Come procediamo? Semplicemente spezziamo la frazione così da poter poi utilizzare una delle proprietà degli integrali

 \int_{-1}^{1} \frac{3t+4}{t^2-t+1}dt=\int_{-1}^{1}\left(\frac{3t}{t^2-t+1}+\frac{4}{t^2-t+1}\right)dt=

Utilizziamo la linearità dell'integrale

=\int_{-1}^{1}\frac{3t}{t^2-t+1}dt+\int_{-1}^{1}\frac{4}{t^2-t+1}dt

Occupiamoci del primo integrale:

\int_{-1}^{1}\frac{3t}{t^2-t+1}dt

Portiamo fuori la costante moltiplicativa 3:

3\int_{-1}^{1}\frac{t}{t^2-t+1}dt

Moltiplichiamo e dividiamo per 2:

\frac{3}{2}\int_{-1}^{1}\frac{2t}{t^2-t+1}dt

Se avessimo un meno 1 al numeratore, staremmo a cavallo, perché egli sarebbe esattamente la derivata del denominatore, nulla di più facile, sommiamo e sottraiamo 1:

\frac{3}{2}\int_{-1}^{1}\frac{2t-1+1}{t^2-t+1}dt

Ok! Continuiamo:

\\ \frac{3}{2}\int_{-1}^{1}\frac{2t-1}{t^2-t+1}+\frac{1}{t^2-t+1}dt=\\ \\ \\ =\frac{3}{2}\left[\int_{-1}^{1}\frac{2t-1}{t^2-t+1}+\int_{-1}^{1}\frac{1}{t^2-t+1}\right]

Porca pupazza questo integrale sta diventando lunghissimo! Non perdiamoci d'animo, risolviamo l'integrale rosso:

\\ \int_{-1}^{1}\frac{2t-1}{t^2-t+1}dt= \\ \\ = \left[\ln|t^2-t+1|\right]_{-1}^{1}= \\ \\ =\ln|1-1+1|- \ln|1+1+1|= \ln(1)-\ln(3)= -\ln(3)

Ok, il primo è andato! Adesso risolviamo l'integrale in blu:

\int_{-1}^{1}\frac{1}{t^2-t+1}dt

Qui dobbiamo utilizzare un trucco, dobbiamo completare il quadrato al denominatore:

t^2-t+1= t^2-t+\frac{1}{4}- \frac{1}{4}+1= t^2-t+\frac{1}{4} + \frac{3}{4}

Da cui si ottiene sempre:

= \left(t- \frac{1}{2}\right)^{2}+ \frac{3}{4}= \frac{3}{4}\left[\frac{\left(t- \frac{1}{2}\right)^2}{\frac{3}{4}}+1\right]

Ancora non abbiamo finito, trasportiamo \frac{3}{4} all'interno del quadrato:

\\ =\frac{3}{4}\left[\left(\frac{t-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right )^2+1 \right ]\\ \\ \\ \int_{-1}^{1}\frac{1}{t^2-t+1}dt= \int_{-1}^{1}\frac{1}{\frac{3}{4}\left[\left(\frac{t-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right )^2+1 \right ]}dt

portiamo dal simbolo di integrale \frac{1}{\frac{3}{4}}= \frac{4}{3}

\frac{4}{3} \int_{-1}^{1}\frac{1}{\left(\frac{t-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right )^2+1 }dt

Adesso procediamo con un altra sostituzione, poniamo:

s=\frac{t-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\implies ds= \frac{2}{\sqrt{3}}dt

I nuovi estremi sono:

t=-1\implies s_1= -\sqrt{3}
t=1\implies s_2= \frac{1}{\sqrt{3}}

In questo modo l'integrale diventa:

\frac{2}{\sqrt{3}} \int_{-\sqrt{3}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{1}{s^2+1 }ds

e questo è un integrale fondamentale

\\ \frac{2}{\sqrt{3}} \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{s^2+1 }ds= \frac{2}{\sqrt{3}}\left[\arctan(s)\right]_{-\sqrt{3}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\\ \\ \\ =\frac{2}{\sqrt{3}}\left[\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)- \arctan\left(-\sqrt{3}\right)\right]=\\ \\ \\ =\frac{2}{\sqrt{3}} \frac{\pi}{2}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}

Occupiamoci del secondo integrale:

\int_{-1}^{1}\frac{4}{t^2-t+1}dt

Beh, questo si risolve come il caso precedente (e meno male, altrimenti sarebbe un integrale infernale)

\int_{-1}^{1}\frac{4}{t^2-t+1}dt=4\frac{\pi}{\sqrt{3}}

Adesso non ti rimane altro che ricomporre l'integrale e giungere al risultato:


\int_{0}^{\pi}\frac{3\cos(x)\sin(x)+4\sin(x)}{\sin^2(x)+2\cos^2(x)-\cos(x)}dx=\frac{11\sqrt{3}}{6}\pi - \frac{3}{2}\ln(3)

Fatto!
Ringraziano: Omega, CarFaby

Integrale definito fratto con seno e coseno #62732

avt
kukaaa
Cerchio
Grazie!

Quello che non ho capito è il trucco che hai fatto per calcolare l'integrale

\int_{-1}^{1}\frac{1}{t^2-t+1}dt

Potresti spiegarmelo?

Integrale definito fratto con seno e coseno #62735

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, abbiamo l'integrale:

\int_{-1}^{1}\frac{1}{t^2-t+1}dt

Il denominatore della funzione integranda è un polinomio di secondo grado con discriminante negativo.

In questo caso particolare dobbiamo riscrivere il denominatore di modo che sia uguale alla somma di due quadrati, ma come facciamo? Completiamo il quadrato! Cosa vuol dire? In pratica sommeremo e sottrarremo una certa quantità così da completare il quadrato.

Guardiamo in faccia

\color{red}t^2-t\color{black}+ 1

Cosa manca alla parte rossa per diventare un quadrato di binomio? La risposta è semplice, gli manca 1/4, perché il coefficiente di t è -1.

Bene, allora sommiamo e sottraiamo 1/4

\\ \overbrace{t^2- t+ \frac{1}{4}}^{\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}}- \frac{1}{4}+1=\\ \\ \\ \left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}

A questo punto a noi conviene mettere 3/4 in evidenza:

\frac{3}{4} \left[\frac{\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}}{\frac{3}{4}}+1\right]

Quel \frac{3}{4} deve entrare nel quadrato, come facciamo? Lo scriviamo in questo modo:

\frac{3}{4}= \left(\sqrt{\frac{3}{4}}\right)^2= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2

Ottimo! Grazie a questo trucchetto scriveremo:

\frac{3}{4} \left[\frac{\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}}{ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}+1\right]

Ora per la proprietà delle potenze, potremo scrivere:

\frac{3}{4} \left[\left(\frac{t-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{2} +1\right]

Dunque l'integrale diventa:

\int_{-1}^{1} \frac{1}{\frac{3}{4} \left[\left(\frac{t-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{2} +1\right]}dt

Tutto chiaro?
Ringraziano: CarFaby

Integrale definito fratto con seno e coseno #62738

avt
kukaaa
Cerchio
Sì non avevo capito qual'era il nostro scopo riscrivendo il denominatore in quel modo, ora tutto chiaro.

Grazie davvero!

Integrale definito fratto con seno e coseno #62739

avt
Ifrit
Amministratore
Sì, il nostro scopo è scrivere la funzione integranda in quel modo, cosicché con un'ulteriore sostituzione riusciamo a ricondurci ad un integrale notevole.

Integrale davvero molto molto tosto, ma soprattutto pieno di tecnicismi. Un approfondimento importante:

\\ \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)- \arctan(-\sqrt{3})=\\ \\ \\ \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\arctan(\sqrt{3})= \frac{\pi}{2}

Questa relazione è fondamentale e deriva da un'identità relativa all'arcotangente:

\arctan\left(\frac{1}{x}\right)+\arctan(x)= \frac{\pi}{2}\mbox{ per ogni }x>0
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby
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