Dimostrazione con traccia e autovalori di una matrice simmetrica

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Dimostrazione con traccia e autovalori di una matrice simmetrica #62675

avt
kukaaa
Cerchio
Salve, vorrei sapere come dimostrare queste due proprietà: la prima riguarda la traccia e gli autovalori di una matrice simmetrica, la seconda il prodotto scalare associato alla precedente matrice.

a) Sia A = [ α β ; γ θ ] una matrice simmetrica 2×2 a coefficienti reali. Si dimostri che la traccia di A è la somma degli autovalori e che il determinante è il prodotto degli autovalori.

b) Sia < , > il prodotto scalare associato ad A fissata la base canonica in
R^2. Si dimostri che se < , > è definito positivo allora il determinante di A è positivo. Tale affermazione è vera anche per matrici di ordine superiore a
2?
 
 

Dimostrazione con traccia e autovalori di una matrice simmetrica #62676

avt
Galois
Amministratore
Abbiamo la matrice

A = [ α β ; γ θ ]

che è una matrice simmetrica di ordine 2.

Ricordando che una matrice si dice simmetrica se a_(ij) = a_(ji), ∀ i,j abbiamo che, necessariamente:

β = a_(12) = a_(21) = γ

ovvero β = γ

Alla luce di ciò, abbiamo la matrice

A = [ α β ; β θ ]

di cui dobbiamo dimostrare che la somma degli autovalori è uguale alla traccia ed il prodotto degli autovalori è uguale al determinante.

Senza portarmi dietro le lettere greche (lunghe da scrivere in LaTeX) considero la matrice:

A = [ a b ; b c ]

Ricordando ora che la traccia di una matrice è la somma degli elementi della diagonale principale, abbiamo che:

Tr(A) = a+c

mentre il suo determinante è uguale a:

det(A) = ac-b^2

Passiamo ora al calcolo degli autovalori che sono dati dagli zeri del polinomio caratteristico:

P(λ) = det[A-λ I] = det[ a-λ b ; b c-λ ] = (a-λ)(c-λ)-b^2 = ac-aλ-cλ+λ^2-b^2 = λ^2-(a+c)λ+ac-b^2

Troviamo gli zeri di tale polinomio caratteristico e per farlo dobbiamo trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado nella variabile λ:

= λ^2-(a+c)λ+ac-b^2 = 0 ; Δ = (a+c)^2-4ac-4b^2 = a^2+c^2-2ac-4b^2 = (a-c)^2-4b^2

e quindi:

λ_(1/2) = (a+c±√(Δ))/(2)

Conviene lasciarla così e non sviluppare i conti: risulterà tutto molto più semplice.

I due autovalori della matrice A sono quindi:

λ_(1) = (a+c-√(Δ))/(2) ; λ_(2) = (a+c+√(Δ))/(2)


Ora, la loro somma

λ_1+λ_2 = (a+c-√(Δ))/(2)+(a+c+√(Δ))/(2) = (a+c-√(Δ)+a+c+√(Δ))/(2) = (2a+2c)/(2) = (2(a+c))/(2) = a+c

è proprio uguale alla traccia di A calcolata in precedenza


Il prodotto degli autovalori è invece

λ_1·λ_2 = (a+c-√(Δ))/(2)·(a+c+√(Δ))/(2) = ([a+c+√(Δ)][a+c-√(Δ)])/(4)

Se lo riscriviamo come

λ_1·λ_2 = ([(a+c)+√(Δ)][(a+c)-√(Δ)])/(4)

siamo di fronte ad un prodotto notevole e, nello specifico, ad una somma per differenza. Allora:

λ_1·λ_2 = ([(a+c)+√(Δ)][(a+c)-√(Δ)])/(4) = ((a+c)^2-Δ)/(4)

Essendo

Δ = a^2+c^2-2ac-4b^2

per sostituzione avremo

λ_1·λ_2 = ((a+c)^2-Δ)/(4) = (a^2+c^2+2ac-(a^2+c^2-2ac-4b^2))/(4) = (4ac-4b^2)/(4) = (4(ac-b^2))/(4) = ac-b^2

che è proprio il determinante di A.


Passiamo ora al secondo punto.

Sia <, > il prodotto scalare associato ad A fissata la base canonica in R^2.

Si dimostri che se <, > è definito positivo allora il determinante di A è positivo.


Molto semplicemente basta osservare che un prodotto scalare associato ad una matrice è definito positivo se la matrice è definita positiva.

Ora una matrice è definita positiva se i suoi autovalori sono tutti strettamente positivi, ma questo, per le matrici di ordine 2, implica che anche il determinante sia positivo in quanto abbiamo visto che il determinante è proprio uguale al prodotto degli autovalori.

Tale affermazione è vera anche per matrici di ordine superiore a 2?

Certo che sì! Ovviamente una risposta del genere in matematica non serve a nulla!

Vediamo quindi come dimostrare che: se il prodotto scalare associato ad una matrice reale e simmetrica di ordine n>2 è definito positivo allora il determinante della matrice è maggiore di zero.

Abbiamo già osservato che il prodotto scalare è definito positivo se tale è la matrice simmetrica a cui esso è associato.

Ora, poiché abbiamo a che fare con una matrice reale simmetrica, essa è diagonalizzabile, cioè è simile ad una matrice diagonale che altro non è se non la matrice che ha come elementi sulla diagonale principale gli autovalori della matrice di partenza.

Ora, essendo la matrice definita positiva, tutti i suoi autovalori e di conseguenza tutti gli elementi della diagonale principale saranno strettamente positivi.

Essendo il determinante di una matrice diagonale uguale al prodotto degli elementi della diagonale possiamo di sicuro affermare che esso è maggiore di zero (in quanto prodotto di numeri strettamente positivi).
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby
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