Matrice con parametro inversa e diagonalizzabile
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#62585
![]() kukaaa Cerchio | Salve riscontrato dei problemi con una matrice con parametro di cui devo calcolare la matrice inversa e devo stabilire se è diagonalizzabile. a) Data la matrice ![]() a coefficienti reali, si determini al variare di k la dimensione di nucleo e immagine dell’applicazione lineare associata ad A nelle basi canoniche di dominio e codominio. b) Scelto un valore opportuno di k (se esiste) si trovi l’inversa di A. c) Scelto un valore di k (se esiste) per cui autovalori di A e si dica se A è diagonalizzabile. d) Si dica per quali valori di k (se esistono) il sistema Ax = v ha soluzione con v = (1, 8, 1). |
#62586
![]() Galois Amministratore | Ciao kukaaa ![]() Abbiamo ![]() matrice a coefficienti reali definita al variare di un parametro Bene! Per sminuire il più possibile i conti basta osservare che, essendo A una matrice quadrata di ordine 3, ovvero avente 3 righe e 3 colonne, gli insiemi di partenza e d'arrivo dell'applicazione lineare ![]() Premesso questo partiamo col trovare, al variare di Per trovarlo ci basta, innanzitutto, calcolare il determinante di tale matrice. Possiamo procedere o con la regola di Sarrus o, ancora più velocemente, osservando che la terza colonna di A ha due zeri, con la regola di Laplace che trovi spiegata nella lezione sul calcolo del determinante. Sviluppando secondo la terza colonna abbiamo infatti ![]() Pertanto per: ![]() il rango di A è pari a 3 e quindi mentre per Ricordando ora che se F è un'applicazione lineare, allora ![]() essendo nel nostro caso la dimensione dell'insieme di partenza pari a 3, si ha che: per ![]() mentre per ![]() |
Ringraziano: CarFaby, ValerioPulcini |
#62587
![]() Galois Amministratore | Passiamo ora al secondo punto: b) Scelto un valore opportuno di k (se esiste) si trovi l’inversa di A Sappiamo che una matrice è invertibile se il suo determinante è diverso da zero. Noi abbiamo già calcolato al punto precedente il determinante della matrice A è visto che per Pertanto possiamo affermare che la matrice A è invertibile per ![]() dove con ^T si indica la matrice trasposta e con ![]() il cofattore o complemento algebrico che si ottiene dalla matrice A eliminando l'i-esima riga e la j-esima colonna, ovvero: ![]() dove Ora, il testo dell'esercizio chiedeva di scegliere un valore di k. Possiamo scegliere qualsiasi valore a patto che sia diverso da -2. Se sei furbo puoi scegliere k=0 ![]() Io, invece, trovo l'inversa lasciando k come parametro libero diverso da -2 Sapevamo già che: Ora: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() La matrice dei complementi algebrici è quindi: ![]() la cui trasposta sarà: ![]() Pertanto ![]() |
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby, ValerioPulcini |
#62588
![]() Galois Amministratore | Veniamo ora al terzo punto: c) Scelto un valore di k (se esiste) per cui autovalori di A e si dica se A e’ diagonalizzabile Abbiamo visto al punto a) che Andiamo quindi a sostituire tale valore nella matrice di partenza al posto di k, ottenendo così ![]() di cui andiamo ora a determinare gli autovalori che altro non sono se non le radici del polinomio caratteristico che è dato da Ora: ![]() il cui determinante è, sviluppandolo sempre con la Regola di Laplace rispetto alla terza colonna ![]() ![]() dopo qualche conticino puramente algebrico che lascio a te: Ovvero il polinomio caratteristico è dato da ![]() le cui radici si trovano trovando le soluzioni dell'equazione di terzo grado ![]() da cui che è un'equazione di secondo grado che ammette le due radici reali e distinte: ![]() ![]() -------------------------- ------------------------- Essendo |
Ringraziano: CarFaby, ValerioPulcini |
#62590
![]() Galois Amministratore | Vediamo infine l'ultimo punto: d) Si dica per quali valori di k (se esistono) il sistema con Non dobbiamo far altro se non studiare la compatibilità del sistema lineare: al variare del parametro k in ovvero, essendo ![]() ![]() ![]() il nostro sistema sarà: ![]() procedendo col prodotto riga per colonna: ![]() Per studiarne la compatibilità procediamo col Teorema di Rouché Capelli. La matrice incompleta associata al sistema altro non è se non la matrice ![]() mentre quella completa: ![]() Ora, il determinate della matrice A l'abbiamo già calcolato al primo punto: ed avevamo già osservato che per ![]() Il sistema è dunque compatibile e ammette un'unica soluzione. Per ![]() è pari a 3. Per convincersene basta calcolare il determinante del minore di ordine 3 che si ottiene eliminando la prima colonna: ![]() Quindi per Possiamo quindi concludere che per Finito ![]() |
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby, ValerioPulcini, and95 |
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