Matrice con parametro inversa e diagonalizzabile

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#62585
avt
kukaaa
Cerchio
Salve riscontrato dei problemi con una matrice con parametro di cui devo calcolare la matrice inversa e devo stabilire se è diagonalizzabile.

a) Data la matrice

A = [ 1 -1 0 ;-1 k 8 ; k 2 0]

a coefficienti reali, si determini al variare di k la dimensione di nucleo e
immagine dell’applicazione lineare associata ad A nelle basi canoniche di
dominio e codominio.

b) Scelto un valore opportuno di k (se esiste) si trovi l’inversa di A.

c) Scelto un valore di k (se esiste) per cui ker(A) ≠ 0, si determinino gli
autovalori di A e si dica se A è diagonalizzabile.

d) Si dica per quali valori di k (se esistono) il sistema Ax = v ha soluzione
con v = (1, 8, 1).
#62586
avt
Galois
Amministratore
Ciao kukaaa emt

Abbiamo

A = [ 1 -1 0 ;-1 k 8 ; k 2 0]

matrice a coefficienti reali definita al variare di un parametro k ∈ R e dobbiamo determinare dimensione di nucleo e immagine dell'applicazione lineare definita dalla matrice A

Bene! Per sminuire il più possibile i conti basta osservare che, essendo A una matrice quadrata di ordine 3, ovvero avente 3 righe e 3 colonne, gli insiemi di partenza e d'arrivo dell'applicazione lineare f_A da essa definita hanno dimensione 3, ovvero:

f_A: R^3 → R^3

Premesso questo partiamo col trovare, al variare di k ∈ R, la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare che è data dal rango della matrice A al variare di k.

Per trovarlo ci basta, innanzitutto, calcolare il determinante di tale matrice.

Possiamo procedere o con la regola di Sarrus o, ancora più velocemente, osservando che la terza colonna di A ha due zeri, con la regola di Laplace che trovi spiegata nella lezione sul calcolo del determinante.

Sviluppando secondo la terza colonna abbiamo infatti

det(A) = -1^(2+3)·8·det [ 1 -1 ; k 2 ] = -1·8·(2+k) = -8k-16

Pertanto per:

det(A) ≠ 0, ovvero per k ≠-2

il rango di A è pari a 3 e quindi dim[Im(f)] = 3

mentre per k = -2, rank(A) = 2 da cui dim[Im(f)] = 2

Ricordando ora che se F è un'applicazione lineare,

F: V → W

allora dim[Ker(f)] = dim(V)-dim[Im(f)]

essendo nel nostro caso la dimensione dell'insieme di partenza pari a 3, si ha che:

per k ≠-2

dim[Ker(f)] = dim(V)-dim[Im(f)] = 3-3 = 0

mentre per k = -2

dim[Ker(f)] = dim(V)-dim[Im(f)] = 3-2 = 1
Ringraziano: CarFaby, ValerioPulcini
#62587
avt
Galois
Amministratore
Passiamo ora al secondo punto:

b) Scelto un valore opportuno di k (se esiste) si trovi l’inversa di A

Sappiamo che una matrice è invertibile se il suo determinante è diverso da zero. Noi abbiamo già calcolato al punto precedente il determinante della matrice A è visto che per k ≠-2 esso è diverso da zero.

Pertanto possiamo affermare che la matrice A è invertibile per k ≠-2 e calcolarne l'inversa che è data da:

A^(-1) = (1)/(det(A))[ Cof(a_(1,1)) Cof(a_(1,2)) Cof(a_(1,3)) ; Cof(a_(2,1)) Cof(a_(2,2)) Cof(a_(2,3)) ; Cof(a_(3,1)) Cof(a_(3,2)) Cof(a_(3,3)) ]^T

dove con ^T si indica la matrice trasposta e con

Cof (a_(ij)), ∀ i,j ∈ 1,2,3

il cofattore o complemento algebrico che si ottiene dalla matrice A eliminando l'i-esima riga e la j-esima colonna, ovvero:

Cof (a_(ij)) = (-1)^(i+j)·C_(ij)

dove C_(ij) è il minore di ordine 2 che si ottiene da A eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna.

Ora, il testo dell'esercizio chiedeva di scegliere un valore di k. Possiamo scegliere qualsiasi valore a patto che sia diverso da -2. Se sei furbo puoi scegliere k=0 emt

Io, invece, trovo l'inversa lasciando k come parametro libero diverso da -2

Sapevamo già che:

det(A) = -8k-16

Ora:

Cof(a_(11)) = (-1)^(1+1)·C_(11) = 1·det [ k 8 ; 2 0 ] = 0-16 = -16

Cof(a_(12)) = (-1)^(1+2)·C_(12) = -1·det [ -1 8 ; k 0 ] = -1(0-8k) = 8k

Cof(a_(13)) = (-1)^(1+3)·C_(13) = 1·det [ -1 k ; k 2 ] = -2-k^2

Cof(a_(21)) = (-1)^(2+1)·C_(21) = -1·det [ -1 0 ; 2 0 ] = -1(0-0) = 0

Cof(a_(22)) = (-1)^(2+2)·C_(22) = 1·det [ 1 0 ; k 0 ] = 0-0 = 0

Cof(a_(23)) = (-1)^(2+3)·C_(23) = (-1)·det [ 1 -1 ; k 2 ] = -1(2+k) = -k-2

Cof(a_(31)) = (-1)^(3+1)·C_(31) = 1·det [ -1 0 ; k 8 ] = -8-0 = -8

Cof(a_(32)) = (-1)^(3+2)·C_(32) = -1·det [ 1 0 ;-1 8 ] = -1(8-0) = -8

Cof(a_(33)) = (-1)^(3+3)·C_(33) = 1·det [ 1 -1 ;-1 k ] = k-1

La matrice dei complementi algebrici è quindi:

[-16 8k -2-k^2 ; 0 0 -k-2 ;-8 -8 k-1]

la cui trasposta sarà:

[-16 8k -2-k^2 ; 0 0 -k-2 ;-8 -8 k-1]^T = [-16 0 -8 ; 8k 0 -8 ;-2-k^2 -k-2 k-1 ]

Pertanto

A^(-1) = -(1)/(8k+16) [-16 0 -8 ; 8k 0 -8 ;-2-k^2 -k-2 k-1 ]
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby, ValerioPulcini
#62588
avt
Galois
Amministratore
Veniamo ora al terzo punto:

c) Scelto un valore di k (se esiste) per cui ker(A) ≠ 0, si determinino gli
autovalori di A e si dica se A e’ diagonalizzabile

Abbiamo visto al punto a) che ker(f) ≠ 0 per k = -2

Andiamo quindi a sostituire tale valore nella matrice di partenza al posto di k, ottenendo così

A_(-2) = [ 1 -1 0 ;-1 -2 8 ;-2 2 0 ]

di cui andiamo ora a determinare gli autovalori che altro non sono se non le radici del polinomio caratteristico che è dato da

det(A-λ Id)

Ora:

A-λ ID = [ 1-λ -1 0 ;-1 -2-λ 8 ;-2 2 -λ ]

il cui determinante è, sviluppandolo sempre con la Regola di Laplace rispetto alla terza colonna

det[ 1-λ -1 0 ;-1 -2-λ 8 ;-2 2 -λ ] =

= -1^(2+3)·8·det [ 1-λ -1 ; k 2 ]+(-1)^(3+3)·(-λ)·det [ 1-λ -1 ;-1 k ] =

dopo qualche conticino puramente algebrico che lascio a te:

= -λ^3-λ^2+19 λ

Ovvero il polinomio caratteristico è dato da

P(λ) = -λ^3-λ^2+19 λ

le cui radici si trovano trovando le soluzioni dell'equazione di terzo grado

-λ^3-λ^2+19 λ = 0

λ(-λ^2-λ+19) = 0

da cui

λ_(0) = 0

-λ^2-λ+19 = 0

che è un'equazione di secondo grado che ammette le due radici reali e distinte:

λ_1 = (-1+√(77))/(2)

λ_2 = (-1-√(77))/(2)


λ_0, λ_1, λ_2 sono i tre autovalori della matrice A

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Essendo A_(-2) una matrice quadrata di ordine 3 avente tre autovalori distinti, essa è diagonalizzabile in quanto la loro molteplicità algebrica e geometrica è pari ad uno. Leggi le lezioni linkate per una spiegazione dettagliata
Ringraziano: CarFaby, ValerioPulcini
#62590
avt
Galois
Amministratore
Vediamo infine l'ultimo punto:

d) Si dica per quali valori di k (se esistono) il sistema Ax = v ha soluzione
con v = (1, 8, 1)

Non dobbiamo far altro se non studiare la compatibilità del sistema lineare:

Ax = v

al variare del parametro k in R

ovvero, essendo

A = [ 1 -1 0 ;-1 k 8 ; k 2 0]

x = [x ; y ; z ]

v = [1 ; 8 ; 1 ]

il nostro sistema sarà:

[ 1 -1 0 ;-1 k 8 ; k 2 0] [x ; y ; z ] = [1 ; 8 ; 1 ]

procedendo col prodotto riga per colonna:

x-y = 1 ;-x+ky+8z = 8 ; kx+2y = 1

Per studiarne la compatibilità procediamo col Teorema di Rouché Capelli. La matrice incompleta associata al sistema altro non è se non la matrice

A = [ 1 -1 0 ;-1 k 8 ; k 2 0]

mentre quella completa:

(A|b) = [ 1 -1 0 1 ;-1 k 8 8 ; k 2 0 1 ]

Ora, il determinate della matrice A l'abbiamo già calcolato al primo punto:

det(A) = -8k-16

ed avevamo già osservato che per k ≠-2 il suo rango era massimo e pari a 3, pertanto per

k ≠-2: rank(A) = rank(A|b) = 3

Il sistema è dunque compatibile e ammette un'unica soluzione.

Per k = -2 il rango della matrice A è pari a 2, mentre il rango della matrice completa (A|b) che per k=-2 diventa:

(A|b) = [ 1 -1 0 1 ;-1 -2 8 8 ;-2 2 0 1 ]

è pari a 3. Per convincersene basta calcolare il determinante del minore di ordine 3 che si ottiene eliminando la prima colonna:

det[-1 0 1 ;-2 8 8 ; 2 0 1 ] = -24

Quindi per k = -2 il sistema è incompatibile.

Possiamo quindi concludere che per k ≠-2 il sistema Ax = v ha soluzione

Finito emt
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby, ValerioPulcini, and95
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