Matrice con parametro inversa e diagonalizzabile

Salve riscontrato dei problemi con una matrice con parametro di cui devo calcolare la matrice inversa e devo stabilire se è diagonalizzabile.

a) Data la matrice



a coefficienti reali, si determini al variare di k la dimensione di nucleo e
immagine dell’applicazione lineare associata ad A nelle basi canoniche di
dominio e codominio.

b) Scelto un valore opportuno di k (se esiste) si trovi l’inversa di A.

c) Scelto un valore di k (se esiste) per cui , si determinino gli
autovalori di A e si dica se A è diagonalizzabile.

d) Si dica per quali valori di k (se esistono) il sistema Ax = v ha soluzione
con v = (1, 8, 1).

Ciao kukaaa

Abbiamo



matrice a coefficienti reali definita al variare di un parametro e dobbiamo determinare dimensione di nucleo e immagine dell'applicazione lineare definita dalla matrice A

Bene! Per sminuire il più possibile i conti basta osservare che, essendo A una matrice quadrata di ordine 3, ovvero avente 3 righe e 3 colonne, gli insiemi di partenza e d'arrivo dell'applicazione lineare da essa definita hanno dimensione 3, ovvero:



Premesso questo partiamo col trovare, al variare di , la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare che è data dal rango della matrice A al variare di k.

Per trovarlo ci basta, innanzitutto, calcolare il determinante di tale matrice.

Possiamo procedere o con la regola di Sarrus o, ancora più velocemente, osservando che la terza colonna di A ha due zeri, con la regola di Laplace che trovi spiegata nella lezione sul calcolo del determinante.

Sviluppando secondo la terza colonna abbiamo infatti



Pertanto per:



il rango di A è pari a 3 e quindi

mentre per da cui

Ricordando ora che se F è un'applicazione lineare,



allora

essendo nel nostro caso la dimensione dell'insieme di partenza pari a 3, si ha che:

per



mentre per

Passiamo ora al secondo punto:

b) Scelto un valore opportuno di k (se esiste) si trovi l’inversa di A

Sappiamo che una matrice è invertibile se il suo determinante è diverso da zero. Noi abbiamo già calcolato al punto precedente il determinante della matrice A è visto che per esso è diverso da zero.

Pertanto possiamo affermare che la matrice A è invertibile per e calcolarne l'inversa che è data da:



dove con ^T si indica la matrice trasposta e con



il cofattore o complemento algebrico che si ottiene dalla matrice A eliminando l'i-esima riga e la j-esima colonna, ovvero:



dove è il minore di ordine 2 che si ottiene da A eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna.

Ora, il testo dell'esercizio chiedeva di scegliere un valore di k. Possiamo scegliere qualsiasi valore a patto che sia diverso da -2. Se sei furbo puoi scegliere k=0

Io, invece, trovo l'inversa lasciando k come parametro libero diverso da -2

Sapevamo già che:



Ora:



















La matrice dei complementi algebrici è quindi:



la cui trasposta sarà:



Pertanto

Veniamo ora al terzo punto:

c) Scelto un valore di k (se esiste) per cui , si determinino gli
autovalori di A e si dica se A e’ diagonalizzabile

Abbiamo visto al punto a) che per

Andiamo quindi a sostituire tale valore nella matrice di partenza al posto di k, ottenendo così



di cui andiamo ora a determinare gli autovalori che altro non sono se non le radici del polinomio caratteristico che è dato da



Ora:



il cui determinante è, sviluppandolo sempre con la Regola di Laplace rispetto alla terza colonna





dopo qualche conticino puramente algebrico che lascio a te:



Ovvero il polinomio caratteristico è dato da



le cui radici si trovano trovando le soluzioni dell'equazione di terzo grado





da cui





che è un'equazione di secondo grado che ammette le due radici reali e distinte:






sono i tre autovalori della matrice A

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Essendo una matrice quadrata di ordine 3 avente tre autovalori distinti, essa è diagonalizzabile in quanto la loro molteplicità algebrica e geometrica è pari ad uno. Leggi le lezioni linkate per una spiegazione dettagliata

Vediamo infine l'ultimo punto:

d) Si dica per quali valori di k (se esistono) il sistema ha soluzione
con

Non dobbiamo far altro se non studiare la compatibilità del sistema lineare:



al variare del parametro k in

ovvero, essendo







il nostro sistema sarà:



procedendo col prodotto riga per colonna:



Per studiarne la compatibilità procediamo col Teorema di Rouché Capelli. La matrice incompleta associata al sistema altro non è se non la matrice



mentre quella completa:



Ora, il determinate della matrice A l'abbiamo già calcolato al primo punto:



ed avevamo già osservato che per il suo rango era massimo e pari a 3, pertanto per



Il sistema è dunque compatibile e ammette un'unica soluzione.

Per il rango della matrice A è pari a 2, mentre il rango della matrice completa (A|b) che per k=-2 diventa:



è pari a 3. Per convincersene basta calcolare il determinante del minore di ordine 3 che si ottiene eliminando la prima colonna:



Quindi per il sistema è incompatibile.

Possiamo quindi concludere che per il sistema ha soluzione

Finito