Esercizio su forma parametrica e cartesiana di due rette

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Esercizio su forma parametrica e cartesiana di due rette #62573

avt
kukaaa
Cerchio
Salve, dovrei risolvere un esercizio sulla forma parametrica e sulla forma cartesiana delle rette nello spazio.

Si scriva in R^3 sia in forma parametrica, che in forma cartesiana, l’equazione di due rette NON passanti per l’origine e che si intersecano nel punto (8, 1, 0).

[Mod] Punto b rimosso [/Mod]
 
 

Esercizio su forma parametrica e cartesiana di due rette #62575

avt
Omega
Amministratore
Ciao Kukaaa emt

Il secondo punto non ha alcuna affinità con il primo, dunque ti invito a presentarlo in un nuovo topic. Ad ogni modo la risposta al punto b) è una sciocchezza...ti consiglio di rifletterci su prima di giocartelo in un topic emt

Qui mi occupo dell'esercizio di cui al punto a).

Vogliamo determinare due rette, sia in forma parametrica che in forma cartesiana, tali da:

- passare per il punto P=(8,1,0)

- non passare per l'origine.

Sappiamo che una retta nello spazio è univocamente individuata da due punti, quindi oltre a P=(8,1,0) abbiamo bisogno di un ulteriore punto per ciascuna delle due rette.

Ti mostrerò come fare nei due modi possibili, per completezza.


PRIMA RETTA: potremmo scegliere un secondo punto a caso nello spazio...ma se poi ci trovassimo (per sfortuna) ad avere una retta passante per l'origine? Saremmo fregati! Ragioniamo geometricamente e per andare sul sicuro prendiamo la proiezione del punto P=(8,1,0) sul piano Oxz, cioè sul piano y=0.

A=(8,0,0)

E' evidente che la retta r che passa per P,A non può passare per l'origine.

Cominciamo con le equazioni parametriche della retta r. Le possiamo scrivere direttamente dalla definizione

\begin{cases}x=x_P+t(x_A-x_P)\\ y=y_P+t(y_A-y_P)\\ z=z_P+t(z_A-z_P)\end{cases}

da cui (t parametro reale)

\begin{cases}x=8\\ y=1-t\\ z=0\end{cases}

Ok: per determinare le equazioni cartesiane, dobbiamo solo seguire il procedimento per passare dalla forma parametrica di una retta alla forma cartesiana. Tra tutti i casi elencati nella lezione ci troviamo nel caso particolare di due equazioni con \mbox{variabile}=\mbox{costante}.

Non dobbiamo fare nulla se non prendere direttamente le due equazioni di questo tipo

\begin{cases}x=8\\ z=0\end{cases}

esse costituiscono già le equazioni cartesiane della retta r.



SECONDA RETTA: alziamo il tiro e complichiamo un pochettino i calcoli, giusto a scopo didattico. emt

Se stessi facendo il compito potresti considerare come secondo punto la proiezione di P sul piano x=0, cioè su Oyz e dunque prendere B=(0,1,0). Procedi come prima e il gioco è fatto.

Qui invece prendo un punto a caso, come ad esempio C=(2,2,2). Vogliamo determinare la retta s passante per P,C.

Per farlo non partiamo dalle equazioni parametriche, bensì dalle equazioni cartesiane della retta e ci serviamo di un'apposita formula. Prima però calcoliamo la direzione della retta nello spazio, e noi possiamo serenamente prendere

v=C-P=(2,2,2)-(8,1,0)=(-6,1,2)

Ok, dato che il vettore direzione ha tutte e tre le componenti non nulle possiamo servirci della formula

\frac{x-x_P}{v_1}=\frac{y-y_P}{v_2}=\frac{z-z_P}{v_3}

da cui

\frac{x-8}{-6}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}

e da cui

\begin{cases}-\frac{x}{6}+\frac{4}{3}=y-1\\ y-1=\frac{z}{2}\end{cases}

Abbiamo le equazioni cartesiane. emt Se proprio proprio vogliamo possiamo scriverle in una forma più elegante

\begin{cases}-x-6y+14=0\\ 2y-z-2=0\end{cases}

Ti lascio verificare l'appartenenza dei due punti P,C alla retta.

Par passare dalla forma cartesiana della retta alla forma parametrica, assegniamo il ruolo di parametro libero ad una delle tre variabili. Poniamo ad esempio y=t da cui ricaviamo per sostituzione

\begin{cases}x=-6t+14\\ y=t\\z=2t-2\end{cases}

Abbiamo finito. Come puoi notare fortuna ha voluto che la retta non passi per l'origine...emt e ovviamente le due rette si intersecano nel punto P=(8,1,0) per costruzione.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, danying, Galois, CarFaby, kukaaa
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