Base ortogonale rispetto al prodotto standard in R^4

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Base ortogonale rispetto al prodotto standard in R^4 #62552

avt
kukaaa
Cerchio
Buongiorno, mi spiegate come calcolare una base ortogonale rispetto al prodotto scalare standard per un sottospazio vettoriale assegnato. Ad esempio, in questo esercizio...

a) Dato il sottospazio vettoriale in \mathbb{R}^4

U = \{(x, y, z, t)\ |\ 8x + y - z + t = 0, \ x - y + 8z = 0\}

se ne trovi una base ortogonale rispetto al prodotto standard in \mathbb{R}^4

b) Si trovi una base ortogonale per U^{\perp}


[Edit - Galois]Ho provveduto a sostituire a e b con 8 e 1 rispettivamente, come da accordi presi nel primo topic [/Edit]
 
 

Base ortogonale rispetto al prodotto standard in R^4 #62562

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao kukaaaa emt

Prima di iniziare, ti invito a leggere la lezione sul prodotto scalare standard.

In \mathbb{R}^{4} il prodotto scalare standard è definito come segue:

prendiamo in considerazione due vettori dello spazio vettoriale \mathbb{R}^4

\mathbf{x}= (x_1,y_1, z_1, t_1)

\mathbf{y}= (x_2,y_2, z_2, t_2)

Definiamo il prodotto scalare standard come

\mathbf{x}\cdot \mathbf{y} = (x_1, y_1, z_1, t_1)\begin{pmatrix}x_2\\ y_2\\ z_2\\ t_2\end{pmatrix}= x_1 x_2+ y_1 y_2+ z_1 z_2+ t_1 t_2.

Ok, dopo questo piccolissimo preambolo, possiamo iniziare a determinare una base ortogonale rispetto al prodotto scalare usuale di \mathbb{R}^4, ma prima abbiamo bisogno di una base del sottospazio vettoriale U.

Le condizioni che definiscono il sottospazio sono le due equazioni:

8x+y-z+t=0
x-y+8z=0

e devono essere soddisfatte contemporaneamente. Dobbiamo quindi risolvere il sistema lineare:

\begin{cases}8x+y-z+t= 0\\ x-y+8z= 0\end{cases}

Per risolverlo possiamo procedere con il metodo di sostituzione.

Dalla seconda equazione determiniamo x

x= y-8z

Sostituiamo a x nella prima equazione l'espressione che abbiamo determinato.

8(y-8z)+y-z+t= 0

da cui

8y-64 z+y-z+t= 0\iff 9y-65z+t= 0

Isoliamo la t al primo membro: t=- 9y+65z.

Osservazione teorica: il sistema ha due equazioni in 4 incognite e con un semplice calcolo possiamo asserire che il rango della matrice dei coefficienti è 2, per il teorema di Rouché Capelli, il sistema ammetterà \infty^2 soluzioni.

La famiglia di vettori di \mathbb{R}^4 che vivono in U saranno del tipo:

\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}y-8z\\ y\\ z\\ -9y+65 z\end{pmatrix}\mbox{ con }y, z\in\mathbb{R}

Decomponiamo il vettore rispetto ad y e z:

\begin{pmatrix}y-8z\\ y\\ z\\ -9y+65 z\end{pmatrix}=\color{red} \begin{pmatrix}1\\1\\ 0\\ -9\end{pmatrix}\color{black} y+ \color{blue}\begin{pmatrix}-8\\ 0\\ 1\\ 65\end{pmatrix}\color{black}z

I vettori in rosso e in blu costituiscono un sistema di generatori per il sottospazio. Inoltre poiché i due vettori sono linearmente indipendenti i due vettori formeranno una base per il sottospazio U:

\mathcal{B}=\left\{\begin{pmatrix}1\\1\\ 0\\ -9\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-8\\ 0\\ 1\\ 65\end{pmatrix}\right\}

Troviamo una base ortogonale

Utilizzeremo il metodo di Gram- Schmidt.

Poniamo

v_1= \begin{pmatrix}1\\1\\ 0\\ -9\end{pmatrix}

v_2=\begin{pmatrix}-8\\ 0\\ 1\\ 65\end{pmatrix}

Grazie a Gram-Schmidt costruiremo una base ortogonale, inneschiamolo!

w_1= v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\ 0\\ -9\end{pmatrix}

w_2= v_2- \frac{v_2\cdot w_1}{w_1\cdot w_1} w_1

Calcoliamo il prodotto scalare tra v_2\cdot w_1

v_2\cdot w_1=\begin{pmatrix}-8& 0& 1& 65\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}1\\1\\ 0\\ -9\end{pmatrix}= -8-545= -593

e il prodotto scalare tra i vettori w_1, w_1

w_1\cdot w_1= \begin{pmatrix}1&1& 0& -9\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\1\\ 0\\ -9\end{pmatrix}= 83

Ok! Abbiamo quello che ci serve per calcolare il secondo vettore ortogonale al primo:

w_2= v_2- \frac{v_2\cdot w_1}{w_1\cdot w_1} w_1

=\begin{pmatrix}-8\\ 0\\ 1\\ 65\end{pmatrix}-\left(-\frac{593}{83}\right) \begin{pmatrix}1\\1\\ 0\\ -9\end{pmatrix}=

=\begin{pmatrix}-\frac{71}{83}\\ \frac{593}{83}\\ 1\\ \frac{58}{83}\end{pmatrix}

Una base ortogonale del sottospazio U è:

B= \left\{w_1, w_2\right\}= \left\{\begin{pmatrix}1\\1\\ 0\\ -9\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-\frac{71}{83}\\ \frac{593}{83}\\ 1\\ \frac{58}{83}\end{pmatrix}\right\}

Troviamo una base ortogonale di U^{\perp}.

Dalla teoria sul complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale sappiamo che:

U\oplus U^{\perp}=\mathbb{R}^4

Per la formula di Grassman sappiamo che:

\overbrace{\mbox{dim}(U)}^{=2}+\mbox{dim}(U^{\perp})= \overbrace{\mbox{dim}(\mathbb{R}^4)}^{= 4}

Nota: la dimensione di U è 2 perché la base che abbiamo determinato è formata da due vettori linearmente indipendenti.

Grazie alla formula di Grassman scopriamo che la dimensione del complemento ortogonale è

\mbox{dim}(U^{\perp})= 4-2= 2

Comprendiamo che ogni base del sottospazio U^{\perp} è formata esattamente da due vettori linearmente indipendenti. Ricordiamo la definizione di complemento ortogonale:

U^{\perp}= \left\{\mathbf{w}= \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4| \mathbf{w}\cdot w_1= 0, \mathbf{w}\cdot w_2= 0 \right\}

Cosa vuol dire? In soldoni, il complemento ortogonale di U è formato da tutti i vettori che sono ortogonali agli elementi della base di U.

Le condizioni \mathbf{w}\cdot w_1= 0 e \mathbf{w}\cdot w_2= 0 diventano:

\mathbf{w}\cdot w_1= 0\iff (x,y, z, t)\cdot  \begin{pmatrix}1\\1\\ 0\\ -9\end{pmatrix}=0

Svolgendo il prodotto scalare otterremo la prima equazione che definisce U:

x+y-9t= 0

Determiniamo la seconda equazione:

\mathbf{w}\cdot w_2= 0\iff (x,y, z, t)\cdot \begin{pmatrix}-\frac{71}{83}\\ \frac{593}{83}\\ 1\\ \frac{58}{83}\end{pmatrix}=0

Dopo aver calcolato il prodotto scalare ed eseguendo qualche passaggio algebrico arriveremo all'equazione:

- 71 x+ 593 y+ 83 z+58 t= 0

U^{\perp}= \left\{\mathbf{w}= \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4| x+y-9t= 0, - 71 x+ 593 y+ 83 z+58 t= 0 \right\}

Dobbiamo risolvere il sistema:

\begin{cases}x+y-9t= 0\\ -71x+593 y+ 83 z+58 t=0\end{cases}

che conduce alla soluzione:

y= 9t-x

z= 8 x- 65 t

Un vettore generico del sottospazio U^{\perp}:

\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x\\ 9t-x\\ 8x -65 t\\ t\end{pmatrix}

Decomponiamo il generico vettore rispetto ad x e t:

\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x\\ 9t-x\\ 8x -65 t\\ t\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\ -1\\ 8\\ 0\end{pmatrix}x+ \begin{pmatrix}0\\ 9\\ -65\\ 1\end{pmatrix}t

I due vettori che compaiono nella decomposizione formano una base del sottospazio complementare:

\mathbcal{B}_{\perp}= \left\{ \begin{pmatrix}1\\ -1\\ 8\\ 0\end{pmatrix},  \begin{pmatrix}0\\ 9\\ -65\\ 1\end{pmatrix}\right\}

Osserva che i due vettori non sono ancora ortogonali, manca ancora un piccolo passaggio, dobbiamo invocare nuovamente Gram- Schmitd per costruire due vettori ortogonali partendo dai due che abbiamo trovato.
Poniamo:
 s_1= \begin{pmatrix}1\\ -1\\ 8\\ 0\end{pmatrix}
 s_2= \begin{pmatrix}0\\ 9\\ -65\\ 1\end{pmatrix}

Grazie al metodo di Gram-Schmitd:

u_1= s_1=  \begin{pmatrix}1\\ -1\\ 8\\ 0\end{pmatrix}

u_2=s_2- \frac{s_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1} u_1

Facendo i conti:

s_2\cdot u_1= -529

u_1\cdot u_1=66

pertanto:

u_2=s_2- \frac{s_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1} u_1 = \begin{pmatrix}\frac{529}{66}, \frac{65}{66}, -\frac{29}{33}, 1\end{pmatrix}

Una base ortogonale del complemento ortogonale è

\mathbcal{B}_{\perp}= \left\{\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 8\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\frac{529}{66}\\ \frac{65}{66}\\-\frac{29}{33}\\1\end{pmatrix}\right\}.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, Phi-ϕ-57, kukaaa, ste2394, giaca7
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