Matrice complessa che definisce una applicazione lineare

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Matrice complessa che definisce una applicazione lineare #62499

avt
kukaaa
Cerchio
In questo caso ho una matrice complessa e devo scrivere e studiare un'applicazione lineare che essa definisce: iniettività, suriettività, nucleo e immagine.

Data la matrice complessa

A=\left[\begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \end{matrix}\right]

a) si scriva una applicazione lineare f : \mathbb{C}^p \to \mathbb{C}^q (per opportuni numeri p e q) che abbia associata la matrice A nella base canonica sia di \mathbb{C}^p che di \mathbb{C}^q.
.
b) Si calcoli una base per il nucleo e una per l’immagine di f e si dica se f è iniettiva, suriettiva e/o un isomorfismo.

Grazie

[Edit-Galois]: come già discusso nell'altro topic ho provveduto a sostituire nella matrice al posto di b la seconda cifra del tuo numero di matricola, ovvero b=1[/Edit]
 
 

Matrice complessa che definisce una applicazione lineare #62521

avt
Galois
Amministratore
Ciao Kukaaa emt

In generale, premesso, come nel nostro caso, che stiamo lavorando con le basi canoniche, ovvero coi vettori unitari (1,0,0,...,0), \ (0,1,0,...0), ... \ (0,0,0,...0,1)

dato un campo \mathbb{K} e data una matrice di m righe ed n colonne a coefficienti nel campo, ovvero A \in \mathbb{K}^{m \times n} possiamo costruire un'applicazione lineare a partire da una matrice, ovvero possiamo definire un'applicazione lineare

f: \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^m

che ad

\underline{x} = (x_1, \ x_2, \ ..., \ x_n) \in \mathbb{K}^n \  \mbox{associa} f(\underline{x}) := A\underline{x}

dove con A\underline{x} indichiamo il prodotto righe per colonne tra la matrice A e la matrice colonna [x_1, \ x_2, \ ..., \ x_n]^T (con T indichiamo la matrice trasposta)

Fatta questa premessa teorica che ti permetterà di svolgere tutti gli esercizi di questa tipologia passiamo al tuo.

Abbiamo la matrice a coefficienti complessi di 3 righe e 4 colonne

A=\left[\begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \end{matrix}\right] \ \in \ \mathbb{C}^{3,4}

Quindi la nostra applicazione lineare f sarà definita come:

f: \mathbb{C}^p \to \mathbb{C}^q \ \mbox{con} \ p=4 \ \mbox{e} \ q=3, ovvero

f: \mathbb{C}^4 \to \mathbb{C}^3 che ad

\underline{x}=(x_1, \ x_2, \ x_3 \ x_4) \in \mathbb{C}^4 associa

A\underline{x}=\left[\begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}x_1 - x_2 \\ x_1+2x_3+x_4 \\ -x_1+2x_2+2x_3+x_4 \end{matrix}\right]

In definitiva:

f: \mathbb{C}^4 \to \mathbb{C}^3

(x_1, \ x_2, \ x_3, \ x_4) \mapsto (x_1 - x_2, \  x_1+2x_3+x_4, \ -x_1+2x_2+2x_3+x_4)

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Vediamo ora come trovare una base per il nucleo e l'immagine dell'applicazione lineare che abbiamo appena definito emt

Riscriviamoci la matrice

A=\left[\begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \end{matrix}\right]

L'insieme dei vettori colonna di A:

\{(1,1,-1), \ (-1,0,2), \ (0,2,2), \ (0,1,1)  \}

costituisce un sistema di generatori per l'l'immagine dell'applicazione lineare.

Non ci rimane altro da fare se non estrarre una base dal sistema di generatori. Come spiegato nella lezione dell'ultimo link possiamo procedere col metodo dei minori andando a calcolare il rango della matrice A oppure col metodo di eliminazione Gaussiana.

Procediamo con quest'ultimo metodo che in questo caso si rivelerà il più veloce.

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Dobbiamo annullare tutti i termini al di sotto del primo pivot (in rosso)

A=\left[\begin{matrix} {\color{Red}1} & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \end{matrix}\right]

Procediamo sostituendo alla seconda riga la somma tra la seconda e la terza:

R_2 = R_2 + R_3 = (0,2,4,2)

e alla terza riga la somma tra la terza e la prima:

R_3 = R_3 + R_1 = (0,1,2,1)

ottenendo

\left[\begin{matrix} {\color{Red}1} & -1 & 0 & 0 \\ 0 & {\color{Blue}2} & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{matrix}\right]

Consideriamo ora il secondo pivot (in blu) ed annulliamo il termine sotto sostituendo alla terza riga:

R_3 = R_2 - 2R_3 = (0,0,0,0) da cui la matrice ridotta

\left[\begin{matrix} {\color{Red}1} & -1 & 0 & 0 \\ 0 & {\color{Blue}2} & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right]

Abbiamo quindi due pivot non nulli. I vettori colonna della matrice A che corrispondono ai vettori colonna della matrice ridotta che contengono i pivot costituiscono una base, ovvero

\{(1,1,-1), \ (-1,0,2) \}

è una base per Im(f) che avrà quindi dimensione 2.

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Volendo procedere col metodo dei minori bisogna calcolare il determinante di tutti i minori di ordine 3 della matrice A. Vedrai che per tutti il determinante è uguale a zero, ovvero il rango non è massimo. Prendendo, ad esempio, il minore di ordine 2 formato eliminando terza e quarta colonna e terza riga:

\mbox{det} \left[\begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right]=1 \neq 0

si giunge alla stessa conclusione

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Richiamiamo un attimo il teorema delle dimensioni. se F: V \to W allora

dim(V)=dim[Ker(f)]+dim[Im(f)]

Essendo nel nostro caso V=\mathbb{C}^4 la cui dimensione è 4 e sapendo che \mbox{dim[Im(f)]}=2, dal teorema appena visto possiamo trovare la dimensione del nucleo dell'applicazione lineare che è data da:

dim[Ker(f)]=4-2=2

Ora, per trovare una base per il nucleo dobbiamo trovare le soluzioni del sistema lineare omogeneo

\left[\begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\ y \\ z \\ t \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{matrix}\right]

ovvero

\begin{cases}x-y=0 \\ x+2z+t=0 \\ -x+2y+2z+t=0 \end{cases}

Per trovare le soluzioni di tale sistema dovremmo procedere col Teorema di Rouché Capelli ma ci possiamo fare furbi! emt

Sappiamo infatti che il nucleo ha dimensione 2, ovvero il nostro sistema (di 3 equazioni in 4 incognite) ammetterà \infty^2 soluzioni. Possiamo quindi trovarle direttamente assegnando a due incognite a nostra scelta il ruolo di parametro e ricavando le altre due.

Personalmente ho scelto di porre x=a, \ z=b.

Allora abbiamo:

\begin{cases}x=a \\ z=b \\ y=x=a \ \mbox{(dalla prima)} \\ t=-x-2z=-a-2b \ \mbox{(dalla seconda)} \end{cases}

Ovvero le \infty^2 soluzioni sono date da:

(a,a,b,-a-2b)=a(1,1,0,-1)+b(0,0,1,-2)

e quindi

{(1,1,0,-1), \ (0,0,1,-2)}

costituirà una base per il nostro nucleo

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Infine, il semplice fatto che la dimensione del nucleo sia uguale a 2 ci permette di concludere che f non è nè iniettiva nè suriettiva e quindi ovviamente non sarà un isomorfismo.

Anche se sono tante, se vuoi una preparazione davvero impeccabile, unisci allo studio del tuo libro di testo e/o appunti anche le nostre lezioni che ti ho man mano linkato emt
Ringraziano: Omega, kukaaa
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Os