Scegliere parte reale e immaginaria in una equazione complessa

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Scegliere parte reale e immaginaria in una equazione complessa #62232

avt
widar
Punto
Ciao, ho un'equazione complessa in cui devo scegliere parte reale e parte immaginaria. Sto avendo parecchie difficoltà per via della presenza del modulo e del coniugato.

L'esercizio chiede di trovare le soluzioni complesse di questa equazione:

i(1-2|z|^2)\ =\ (\bar{z})^2-z^2

Potreste aiutarmi? Grazie.
 
 

Scegliere parte reale e immaginaria in una equazione complessa #62234

avt
Omega
Amministratore
Ciao Widar,

consideriamo l'equazione complessa

i(1-2|z|^2)=(\overline{z})^2-z^2

e risolviamola proponendo la sostituzione z=x+iy dove x\ \mbox{e} \ y sono due numeri reali ed indicano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z.

Sfruttando la definizione di modulo di un numero complesso otteniamo

|z|=\sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2}=\sqrt{x^2+y^2}

il cui quadrato è

|z|^2=x^2+y^2

Esplicitiamo il termine \overline{z} ossia il complesso coniugato di z

\overline{z}=x-i y\ \ \mbox{con} \ x, \ y\in\mathbb{R}

il cui quadrato si ottiene sfruttando la regola sul quadrato di binomio e la definizione di unità immaginaria

(\overline{z})^2=(x-iy)^2=x^2-y^2-2ix y

Infine scriviamo il quadrato di z in funzione della parte reale e della parte immaginaria

z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy

Rimpiazzando ciascun termine nell'equazione di partenza giungiamo all'equazione equivalente

\\ i(1-2(x^2+y^2))=x^2-y^2-2ixy-(x^2-y^2+2ixy) \\ \\ i(1-2(x^2+y^2))=x^2-y^2-2ixy-x^2+y^2-2ixy \\ \\ i(1-2(x^2+y^2))=-4ix y

Semplifichiamo membro a membro l'unità immaginaria i

1-2(x^2+y^2)=-4xy

e portiamo -4xy al primo stando attenti ai segni

\\ 1-2(x^2+y^2)+4xy=0 \\ \\ 1-2x^2-2y^2+4xy=0

Quindi in realtà l'equazione complessa data inizialmente si riduce ad un'equazione nel campo dei numeri reali \mathbb{R}. Ciò fornirà un'unica condizione che lega la parte reale x e la parte immaginaria y dell'incognita complessa z.

Ora possiamo risolvere l'equazione riscrivendola come

1-2(x^2-2xy+y^2)=0

Riscriviamo il quadrato del binomio come

1-2(x-y)^2=0

portiamo il termine noto a destra ed estraiamo la radice quadrata di entrambi i membri (ricordo che or ora stiamo lavorando con un'equazione in campo reale)

(x-y)^2=\frac{1}{2}

da cui ricaviamo

(x-y)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}

e dunque abbiamo il legame tra parte reale e parte immaginaria

x=y\pm\frac{1}{\sqrt{2}}

In altri termini l'equazione complessa ammette come soluzioni tutti e soli i numeri complessi tali da soddisfare la relazione

Re(z)=Im(z)\pm\frac{1}{\sqrt{2}}

Ecco fatto!
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, 3²+4²=5²

Re: Scegliere parte reale e immaginaria in una equazione complessa #62242

avt
widar
Punto
Grazie!
  • Pagina:
  • 1
Os