Rappresentare due parametri per cui converge un integrale improprio

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Rappresentare due parametri per cui converge un integrale improprio #62167

avt
widar
Punto
Ciao a tutti, ho un altro esercizio che non riesco proprio a fare: devo determinare i valori di due parametri per cui un integrale improprio di II specie converge, e rappresentare i valori dei parametri nel piano.


Ecco il testo: determinare e rappresentare graficamente le coppie di numeri reali α, β per cui risulta convergente l'integrale improprio

displaystyle∫_0^(π) (x^(β))/(|sin(x)|^α) dx

Grazie!
 
 

Rappresentare due parametri per cui converge un integrale improprio #62171

avt
Omega
Amministratore
Ciao Widar, arrivo a risponderti.... emt

[Nota ai lettori - questo Topic è stato pubblicato con privilegi MINIMAL. Non è richiesto un tentativo di svolgimento. La richiesta viene presa in carico con priorità assoluta]

Rappresentare due parametri per cui converge un integrale improprio #62173

avt
Omega
Amministratore
Eccoci emt

Vogliamo studiare la convergenza di un integrale improprio di seconda specie Innanzitutto osserviamo che sull'intervallo di integrazione displaystyle[0,π] la funzione seno è non negativa, dunque su tale intervallo possiamo scrivere

displaystyle|sin(x)| = sin(x)

eliminando semplicemente il valore assoluto. Abbiamo così

displaystyle∫_0^(π)(x^b)/(sin^a(x))dx

Abbiamo solo due punti in cui dobbiamo studiare il comportamento della funzione integranda, e in particolare sono gli estremi dell'intervallo di integrazione:

- all'estremo sinistro displaystylex = 0 dobbiamo tenere sotto controllo il comportamento del numeratore e del denominatore. Questo perché displaystylea,b∈R sono parametri reali e possono assumere valori sia negativi che positivi.

- All'estremo destro displaystylex = π il numeratore non crea problemi, mentre il denominatore di annulla.


Alla luce di queste considerazioni preliminari, studiamo il comportamento asintotico dell'integranda nell'intorno dei due estremi di integrazione.


Intorno destro di displaystylex = 0

Per displaystylex → 0^+ abbiamo un'equivalenza asintotica immediata, quella dettata dal limite notevole del seno

displaystylelim_(x → 0^+)(sin(x))/(x) = 1 → sin(x) ~ _(x → 0^+)x

dunque l'integranda soddisfa la seguente equivalenza asintotica

displaystyle(x^b)/(sin^a(x)) ~ _(x → 0^+)(x^b)/(x^a) = (1)/(x^(a-b))

Ci siamo ricondotti all'integranda di un integrale improprio notevole e sappiamo che esso converge se displaystyle(a-b) < 1


Intorno sinistro di displaystylex = π

In questo caso dobbiamo fare un po' più di attenzione, ma fortunatamente dobbiamo prestarne solamente nello studio del denominatore. Un'analisi preliminare ci suggerisce un'equivalenza asintotica immediata (ottenuta per valutazione diretta del numeratore)

displaystyle(x^b)/(sin^a(x)) ~ _(x → π^-)(π^b)/(sin^a(x))

In buona sostanza il numeratore è asintoticamente equivalente ad una costante, dunque non è rilevante ai fini della convergenza dell'integrale.

E per il denominatore come ci comportiamo? Sappiamo che displaystylesin(x) è un infinitesimo al tendere di displaystylex → π^-. Calcoliamone lo sviluppo in serie di Taylor con centro x = π e arrestiamoci al primo ordine di sviluppo non nullo

displaystylesin(x) = sin(π)+cos(π)·(x-π)+o(x-π)

ossia

displaystylesin(x) = -(x-π)+o(x-π)

e abbiamo ricavato l'equivalenza asintotica per la funzione integranda nell'intorno sinistro di x = π

displaystyle(x^b)/(sin^a(x)) ~ _(x → π^-)(π^b)/((π-x)^a)

Ci siamo: ancora una volta il criterio del confronto asintotico per integrali impropri di seconda specie ci leva le castagne dal fuoco e, grazie al confronto con gli integrali impropri fondamentali vediamo che abbiamo convergenza per a < 1.


In definitiva: valori dei parametri per i quali converge l'integrale assegnato

Dobbiamo mettere a sistema le condizioni di convergenza relative ai due estremi

displaystylea-b < 1 ; a < 1

In termini grafici possiamo considerare il piano Oab (considerando le displaystylea come ascisse e le displaystyleb come ordinate).

Se riscriviamo la prima condizione come b > a-1 è facile vedere che essa individua la regione che giace al di sopra della retta displaystyleb = a-1.

La condizione displaystylea < 1 individua la parte del piano che giace a sinistra della retta verticale displaystylea = 1.

In un grafico:

valori parametri convergenza integrale improprio seconda specie



e per concludere in bellezza ti suggerisco di dare un'occhiata alla lezione sulla rappresentazione delle soluzioni di una disequazione nel piano. emt
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby, widar

Rappresentare due parametri per cui converge un integrale improprio #62178

avt
widar
Punto
grazie mille, ora me lo studio bene. emt

Rappresentare due parametri per cui converge un integrale improprio #62179

avt
Omega
Amministratore
Prego! emt

In caso di dubbi mi trovi qui emt
  • Pagina:
  • 1
Os