Rappresentare due parametri per cui converge un integrale improprio

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Rappresentare due parametri per cui converge un integrale improprio #62167

avt
widar
Punto
Ciao a tutti, ho un altro esercizio che non riesco proprio a fare: devo determinare i valori di due parametri per cui un integrale improprio di II specie converge, e rappresentare i valori dei parametri nel piano.


Ecco il testo: determinare e rappresentare graficamente le coppie di numeri reali \alpha, \beta per cui risulta convergente l'integrale improprio

\displaystyle{\int_0^{\pi} \frac{x^{\beta}}{|sin(x)|^\alpha } dx}

Grazie!
 
 

Rappresentare due parametri per cui converge un integrale improprio #62171

avt
Omega
Amministratore
Ciao Widar, arrivo a risponderti.... emt

[Nota ai lettori - questo Topic è stato pubblicato con privilegi MINIMAL. Non è richiesto un tentativo di svolgimento. La richiesta viene presa in carico con priorità assoluta]

Rappresentare due parametri per cui converge un integrale improprio #62173

avt
Omega
Amministratore
Eccoci emt

Vogliamo studiare la convergenza di un integrale improprio di seconda specie Innanzitutto osserviamo che sull'intervallo di integrazione \displaystyle{[0,\pi]} la funzione seno è non negativa, dunque su tale intervallo possiamo scrivere

\displaystyle{|\sin(x)|=\sin(x)}

eliminando semplicemente il valore assoluto. Abbiamo così

\displaystyle{\int_0^{\pi}\frac{x^b}{\sin^a(x)}dx}

Abbiamo solo due punti in cui dobbiamo studiare il comportamento della funzione integranda, e in particolare sono gli estremi dell'intervallo di integrazione:

- all'estremo sinistro \displaystyle{x=0} dobbiamo tenere sotto controllo il comportamento del numeratore e del denominatore. Questo perché \displaystyle{a,b\in\mathbb{R}} sono parametri reali e possono assumere valori sia negativi che positivi.

- All'estremo destro \displaystyle{x=\pi} il numeratore non crea problemi, mentre il denominatore di annulla.


Alla luce di queste considerazioni preliminari, studiamo il comportamento asintotico dell'integranda nell'intorno dei due estremi di integrazione.


Intorno destro di \displaystyle{x=0}

Per \displaystyle{x\to 0^+} abbiamo un'equivalenza asintotica immediata, quella dettata dal limite notevole del seno

\displaystyle{\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin(x)}{x}=1\ \to\ \sin(x)\sim_{x\to 0^+}x}

dunque l'integranda soddisfa la seguente equivalenza asintotica

\displaystyle{\frac{x^b}{\sin^a(x)}\sim_{x\to 0^+}\frac{x^b}{x^a}=\frac{1}{x^{a-b}}}

Ci siamo ricondotti all'integranda di un integrale improprio notevole e sappiamo che esso converge se \displaystyle{(a-b)<1}


Intorno sinistro di \displaystyle{x=\pi}

In questo caso dobbiamo fare un po' più di attenzione, ma fortunatamente dobbiamo prestarne solamente nello studio del denominatore. Un'analisi preliminare ci suggerisce un'equivalenza asintotica immediata (ottenuta per valutazione diretta del numeratore)

\displaystyle{\frac{x^b}{\sin^a(x)}\sim_{x\to \pi^-}\frac{\pi^b}{\sin^a(x)}}

In buona sostanza il numeratore è asintoticamente equivalente ad una costante, dunque non è rilevante ai fini della convergenza dell'integrale.

E per il denominatore come ci comportiamo? Sappiamo che \displaystyle{\sin(x)} è un infinitesimo al tendere di \displaystyle{x\to \pi^-}. Calcoliamone lo sviluppo in serie di Taylor con centro x=\pi e arrestiamoci al primo ordine di sviluppo non nullo

\displaystyle{\sin(x)=\sin(\pi)+\cos(\pi)\cdot (x-\pi)+o(x-\pi)}

ossia

\displaystyle{\sin(x)=-(x-\pi)+o(x-\pi)}

e abbiamo ricavato l'equivalenza asintotica per la funzione integranda nell'intorno sinistro di x=\pi

\displaystyle{\frac{x^b}{\sin^a(x)}\sim_{x\to \pi^-}\frac{\pi^b}{(\pi-x)^a}}

Ci siamo: ancora una volta il criterio del confronto asintotico per integrali impropri di seconda specie ci leva le castagne dal fuoco e, grazie al confronto con gli integrali impropri fondamentali vediamo che abbiamo convergenza per a<1.


In definitiva: valori dei parametri per i quali converge l'integrale assegnato

Dobbiamo mettere a sistema le condizioni di convergenza relative ai due estremi

\displaystyle{\begin{cases}a-b<1\\ a<1\end{cases}}

In termini grafici possiamo considerare il piano Oab (considerando le \displaystyle{a} come ascisse e le \displaystyle{b} come ordinate).

Se riscriviamo la prima condizione come b>a-1 è facile vedere che essa individua la regione che giace al di sopra della retta \displaystyle{b=a-1}.

La condizione \displaystyle{a<1} individua la parte del piano che giace a sinistra della retta verticale \displaystyle{a=1}.

In un grafico:

valori parametri convergenza integrale improprio seconda specie



e per concludere in bellezza ti suggerisco di dare un'occhiata alla lezione sulla rappresentazione delle soluzioni di una disequazione nel piano. emt
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby, widar

Rappresentare due parametri per cui converge un integrale improprio #62178

avt
widar
Punto
grazie mille, ora me lo studio bene. emt

Rappresentare due parametri per cui converge un integrale improprio #62179

avt
Omega
Amministratore
Prego! emt

In caso di dubbi mi trovi qui emt
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Os