Insieme di definizione di una forma differenziale e verifica chiusa + esatta

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Insieme di definizione di una forma differenziale e verifica chiusa + esatta #62069

avt
StudenteMarconi
Cerchio
Questa richiesta viene dopo la prima di oggi! Devo trovare l'insieme di definizione di una forma differenziale e devo far vedere che è chiusa ed esatta.

Data la forma differenziale:

w(x,y)= y\ln(1+x^2 y)+\frac{2x^2y^2}{1+x^2 y}dx+x\ln(1+x^2 y)+\frac{x^3y}{1+x^2 y}dy

Individuare l’insieme di definizione; verificare che su di esso la forma differenziale chiusa ed esatta, motivandone il perché e rappresentandola graficamente .

Grazie ancora emt
 
 

Insieme di definizione di una forma differenziale e verifica chiusa + esatta #62086

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, iniziamo emt

Abbiamo la forma differenziale:

w(x,y)= y\ln(1+x^2 y)+\frac{2x^2y^2}{1+x^2 y}dx+x\ln(1+x^2 y)+\frac{x^3y}{1+x^2 y}dy

Poniamo per semplicità di notazioni:

f(x,y)= y\ln(1+x^2 y)+\frac{2x^2y^2}{1+x^2 y}

e

g(x,y)= x\ln(1+x^2 y)+\frac{x^3y}{1+x^2 y}

L'esercizio chiede per prima cosa di determinare il dominio della forma differenziale. Ricorda che affinché una forma differenziale sia ben posta, dobbiamo richiedere che ogni funzione presente abbia senso e guardandola in faccia capiamo che le condizioni da imporre affinché la forma differenziale abbia senso sono:

\begin{cases}1+x^2 y>0\\ 1+ x^2 y\ne 0\end{cases}

La prima condizione è dettata dalla presenza della funzione logaritmo, il quale pretende che il suo argomento sia maggiore di zero.

La seconda condizione è dettata dalla presenza delle frazioni algebriche, esse pretendono che il loro denominatore sia diverso da zero.

Se osservi attentamente le due condizioni ti accorgerai che la seconda è già "presente" nella prima di conseguenza è una condizione superflua.

Il dominio della forma differenziale è:
D= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 1+ x^2 y>0\right\}

Guardiamo in faccia la disequazione e scriviamola in modo che sia semplice creare il grafico del dominio:

1+x^2 y>0

è cosa furba portare 1 al secondo membro stando attenti ai segni:

x^2 y>-1

A questo punto osserva che se x= 0, tutti i punti della forma (0, y) soddisfano la disequazione. Per x diverso da zero possiamo dividere membro a membro per x^2, il verso della disequazione non cambia.

y>-\frac{1}{x^2}

Benissimo! Possiamo tranquillamente rappresentare il dominio. Sono tutti i punti del piano che vivono sopra la funzione y= -\frac{1}{x^2}.

Tutto chiaro fino a qui? Io nel frattempo continuo con la trattazione, tu leggi la lezione dedicata alle forme differenziali chiuse e esatte
Ringraziano: Galois, CarFaby

Insieme di definizione di una forma differenziale e verifica chiusa + esatta #62088

avt
Ifrit
Amministratore
Rappresentazione del dominio:

dominio forma differenziale


Dall'immagine del dominio comprendiamo che esso è un insieme semplicemente connesso perché non ha buchi, attenzione questa caratteristica vale quando lavoriamo con sottoinsiemi di \mathbb{R}^2.

Controlliamo la chiusura, verificando che le derivate parziali incrociate siano coincidenti. Dobbiamo verificare che:

\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)= \frac{\partial}{\partial x}g(x,y)\quad\forall (x,y)\in D

Calcola le derivate parziali:

\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=\ln(1+x^2 y)+ \frac{x^2 y (5+ 3x^2 y)}{(1+x^2 y)^2}

mentre

\frac{\partial}{\partial x}g(x,y)=\ln(1+x^2 y)+ \frac{x^2 y (5+ 3x^2 y)}{(1+x^2 y)^2}


Benissimo! Le due derivate incrociate coincidono nel dominio!! Possiamo asserire che la forma differenziale è chiusa! Inoltre, essendo il dominio semplicemente connesso possiamo asserire che è anche esatta, senza fare nessun altro conto.

Se hai dubbi chiedi pure! emt emt
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby
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Os