Verifica forma differenziale chiusa e esatta e calcolo primitiva

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Verifica forma differenziale chiusa e esatta e calcolo primitiva #62068

avt
StudenteMarconi
Cerchio
Buongiorno a tutti, ecco una nuova richiesta sulla verifica della chiusura e dell'esattezza di una forma differenziale. Oltretutto devo calcolarne una primitiva.

Data la forma differenziale:

\omega(x,y)=[x^3 \sin(y)]dx + \left[\frac{x^4}{4} \cos(y)+2y\right] dy

Individuare l'insieme di definizione, verificare se su di esso la forma differenziale sia chiusa ed esatta motivandone il perché e trovarne una primitiva

Grazie
 
 

Verifica forma differenziale chiusa e esatta e calcolo primitiva #62071

avt
Galois
Amministratore
Ciao StudenteMarconi emt

Dobbiamo studiare la forma differenziale definita da:

\omega(x,y)=[x^3 \sin(y)]dx + \left[\frac{x^4}{4} \cos(y)+2y\right] dy

Iniziamo col trovarne il dominio che è, indubbiamente tutto \mathbb{R}^2 in quanto le funzioni seno e coseno non hanno "problemi" di alcun tipo emt

Andiamo ora a vedere se è chiusa. Per farlo dobbiamo calcolare le derivate parziali ad incrocio e vedere se coincidono, cioè, per farla breve dobbiamo vedere se:

\frac{\partial}{\partial y}\alpha(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\beta(x,y)

dove, nel nostro caso:

\alpha(x,y) = x^3 \sin(y), \ \beta(x,y)=\frac{x^4}{4} \cos(y)+2y

\frac{\partial}{\partial y} \left[x^3 \sin(y)\right] = x^3 \cos(y)

infatti, ricordando che quando si deriva parzialmente rispetto ad una variabile, si considera l'altra variabile come una costante, poiché noi stiamo derivando rispetto ad y, tratteremo x^3 come una costante e quindi calcolare

{tex}\frac{\partial}{\partial y} \left[x^3 \sin(y)\right]

equivale a calcolare la derivata prime, rispetto ad y, della funzione:

k \sin(y) che è: k \cos(y)

Ragionando allo stesso modo troveremo che:

\frac{\partial}{\partial x} \left[\frac{x^4}{4} \cos(y)+2y\right] = x^3 \cos(y)

Essendo quindi:

\frac{\partial}{\partial y} \left[x^3 \sin(y)\right]=\frac{\partial}{\partial x} \left[\frac{x^4}{4} \cos(y)+2y\right] = x^3 \cos(y)

la nostra forma differenziale è chiusa.

Ora, il nostro dominio è ovviamente semplicemente connesso (è tutto il piano!) quindi possiamo concludere che la nostra forma differenziale è esatta.

------------------------------
------------------------------

Non rimane altro da fare se non trovare una primitiva seguiamo il procedimento descritto nella lezione appena linkata.

Calcoliamo quindi:

\int[\alpha(x,y)]dx = \int{\left[x^3 \sin(y)\right]dx} = \sin(y)\int{\left[x^3\right]dx}=\underbrace{\sin(y) \frac{x^4}{4}+c(y)}_{(*)}

Ricordiamo infatti che stiamo integrando rispetto alla variabile x, quindi possiamo pensare a \sin(y) come ad una costante!

Deriviamo il risultato ottenuto rispetto alla variabile y:

\frac{d}{dy}\left[\sin(y) \frac{x^4}{4}+c(y)\right]=\frac{x^4}{4} \cos(y) + c'(y)

e poniamolo uguale a \beta(x,y):

\frac{x^4}{4} \cos(y) + c'(y) = \frac{x^4}{4} \cos(y)+2y

da cui:

c'(y)=2y

e quindi

c(y)=\int{\left(2y\right)dy}=2\int{\left(y\right)dy}=2\frac{y^2}{2}+k=y^2+k, \ k \in \mathbb{R}

Sostituendo in (*) avremo le primitive della nostra forma differenziale:

f(x,y)=\sin(y) \frac{x^4}{4}+y^2+k, \ k \in \mathbb{R}
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, cipessa19, peppino97, tarlev93
  • Pagina:
  • 1
Os