Verifica forma differenziale chiusa e esatta e calcolo primitiva

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Verifica forma differenziale chiusa e esatta e calcolo primitiva #62068

avt
StudenteMarconi
Cerchio
Buongiorno a tutti, ecco una nuova richiesta sulla verifica della chiusura e dell'esattezza di una forma differenziale. Oltretutto devo calcolarne una primitiva.

Data la forma differenziale:

ω(x,y) = [x^3 sin(y)]dx+[(x^4)/(4) cos(y)+2y] dy

Individuare l'insieme di definizione, verificare se su di esso la forma differenziale sia chiusa ed esatta motivandone il perché e trovarne una primitiva

Grazie
 
 

Verifica forma differenziale chiusa e esatta e calcolo primitiva #62071

avt
Galois
Amministratore
Ciao StudenteMarconi emt

Dobbiamo studiare la forma differenziale definita da:

ω(x,y) = [x^3 sin(y)]dx+[(x^4)/(4) cos(y)+2y] dy

Iniziamo col trovarne il dominio che è, indubbiamente tutto R^2 in quanto le funzioni seno e coseno non hanno "problemi" di alcun tipo emt

Andiamo ora a vedere se è chiusa. Per farlo dobbiamo calcolare le derivate parziali ad incrocio e vedere se coincidono, cioè, per farla breve dobbiamo vedere se:

(partial)/(partial y)α(x,y) = (partial)/(partial x)β(x,y)

dove, nel nostro caso:

α(x,y) = x^3 sin(y), β(x,y) = (x^4)/(4) cos(y)+2y

(partial)/(partial y) [x^3 sin(y)] = x^3 cos(y)

infatti, ricordando che quando si deriva parzialmente rispetto ad una variabile, si considera l'altra variabile come una costante, poiché noi stiamo derivando rispetto ad y, tratteremo x^3 come una costante e quindi calcolare

tex(partial)/(partial y) [x^3 sin(y)]

equivale a calcolare la derivata prime, rispetto ad y, della funzione:

k sin(y) che è: k cos(y)

Ragionando allo stesso modo troveremo che:

(partial)/(partial x) [(x^4)/(4) cos(y)+2y] = x^3 cos(y)

Essendo quindi:

(partial)/(partial y) [x^3 sin(y)] = (partial)/(partial x) [(x^4)/(4) cos(y)+2y] = x^3 cos(y)

la nostra forma differenziale è chiusa.

Ora, il nostro dominio è ovviamente semplicemente connesso (è tutto il piano!) quindi possiamo concludere che la nostra forma differenziale è esatta.

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Non rimane altro da fare se non trovare una primitiva seguiamo il procedimento descritto nella lezione appena linkata.

Calcoliamo quindi:

∫[α(x,y)]dx = ∫[x^3 sin(y)]dx = sin(y)∫[x^3]dx = sin(y) (x^4)/(4)+c(y) (*)

Ricordiamo infatti che stiamo integrando rispetto alla variabile x, quindi possiamo pensare a sin(y) come ad una costante!

Deriviamo il risultato ottenuto rispetto alla variabile y:

(d)/(dy)[sin(y) (x^4)/(4)+c(y)] = (x^4)/(4) cos(y)+c'(y)

e poniamolo uguale a β(x,y):

(x^4)/(4) cos(y)+c'(y) = (x^4)/(4) cos(y)+2y

da cui:

c'(y) = 2y

e quindi

c(y) = ∫(2y)dy = 2∫(y)dy = 2(y^2)/(2)+k = y^2+k, k ∈ R

Sostituendo in (*) avremo le primitive della nostra forma differenziale:

f(x,y) = sin(y) (x^4)/(4)+y^2+k, k ∈ R
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, cipessa19, peppino97, tarlev93
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