Integrale di linea lungo un percorso con tre curve

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Integrale di linea lungo un percorso con tre curve #62055

avt
StudenteMarconi
Cerchio
Arieccoci! Ecco il nuovo esercizio che vi chiedo di svolgere, riguarda l'integrale di linea di un campo vettoriale lungo un percorso formato da tre curve.

Dato il seguente campo vettoriale F(x,y)=(x,y), disegnare e calcolare l’integrale di linea sul percorso

\gamma_1=(t,0)\ \mbox{con}\ t\in [0,2]

\gamma_2=(2\cos(t),\sin(t))\ \mbox{con}\ t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]

gamma_3 = (0,t) con t appartenente a [0,1]

Grazie!
 
 

Integrale di linea lungo un percorso con tre curve #62058

avt
Omega
Amministratore
Eccoci emt dobbiamo calcolare l'integrale di un campo vettoriale lungo un percorso, cioè un integrale di linea di seconda specie.

Tale percorso è formato da tre curve parametriche. Nulla ci vieta di calcolare tre integrali di linea sulle rispettive curve \gamma_1,\ \gamma_2,\ \gamma_3. Nel farlo dobbiamo essere coerenti con il verso di percorrenza del percorso, e fortunatamente non è difficile vedere che

\gamma_1 va da (0,0)\to(2,0)

\gamma_2 va da (2,0)\to(0,1)

\gamma_3 va da (0,0)\to(0,1)

Attenzione dunque: per essere coerenti dovremo percorrere il terzo tratto del percorso nel verso opposto. La curva parametrica \gamma_3(t) con t\in [0,1] va da (0,0)\to(0,1). Possiamo cercare una parametrizzazione del segmento che lo percorra da (0,1)\to(0,0)

\tilde{\gamma}_3=(0,1-t) con (0,1)\to(0,0)


Ok, ci siamo. Richiamiamo brevemente la definizione di integrale di un campo vettoriale F(x,y)=(F_1(x,y),F_2(x,y)) lungo una curva \gamma(t)=(x(t),y(t)) sull'intervallo [t_1,t_2]

\int_{\gamma}(F\cdot d\gamma)=\int_{t_1}^{t_2}{\left[F_1(x(t),y(t))x'(t)+F_2(x(t),y(t))y'(t)\right]dt}

Benone: scriviamo gli integrali di linea del campo lungo le tre curve, ricordando che per noi è F_1(x,y)=x,\ F_2(x,y)=y e

\gamma_1=(t,0)\ \mbox{con}\ t\in [0,2]

\gamma_2=(2\cos(t),\sin(t))\ \mbox{con}\ t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]

\tilde{\gamma}_3=(0,1-t)\ \mbox{con}\ t\in [0,1]

Abbiamo quindi

\int_{\gamma_1}F\cdot d\gamma_1=\int_0^2{t\cdot 1dt+0\cdot 0dt}=
=\int_0^2{tdt}



\int_{\gamma_2}F\cdot d\gamma_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[2\cos(t)\cdot (-2\sin(t))dt+\sin(t)\cdot \cos(t)]dt=
=-3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(t)\cos(t)dt



\int_{\tilde{\gamma}_3}F\cdot d\gamma_3=\int_{0}^{1}[0\cdot 0dt +(1-t)\cdot (-1)]dt=
=\int_{0}^{1}(t-1)dt



Ora non resta che calcolare gli integrali. Il primo e il terzo sono di una semplicità imbarazzante, l'unico interessante è il secondo

-3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin(t)\cos(t)dt}

che puoi riscrivere, grazie alla formula di duplicazione del seno, come

-\frac{3}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin(2t)dt}=\frac{3}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(-2\sin(2t))dt}=\frac{3}{4}\left[\cos(2t)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=-\frac{3}{2}


Sommando i valori dei tre integrali si ottiene il valore dell'integrale del campo vettoriale lungo l'intero percorso.
Ringraziano: Ifrit, danying, StudenteMarconi, Galois, CarFaby

Integrale di linea lungo un percorso con tre curve #62066

avt
StudenteMarconi
Cerchio
Ciao Omega!

puoi dettagliare l'ultima parte con i vari passaggi?


Inoltre puoi disegnare anche la figura?

Grazie

Integrale di linea lungo un percorso con tre curve #62074

avt
Omega
Amministratore
Per quanto riguarda il grafico, immagino che tu ti riferisca alla rappresentazione del percorso d'integrazione. In tal caso

percorso curve integrale di linea di un campo vettoriale


la curva in blu è \gamma_2; \gamma_1 è il segmento sull'asse x che congiunge l'estremo (0,2) con l'origine (0,0) mentre \tilde{\gamma}_3 è il segmento sull'asse delle y che congiunge (0,1) e (0,0).


Cosa intendi con "dettagliare l'ultima parte"? Se ti riferisci al calcolo dell'integrale, ho effettuato passaggi elementari e una tecnica di integrazione monodimensionale abbastanza standard:

-3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin(t)\cos(t)dt}

moltiplica e dividi l'integranda per 2 in modo da poter sfruttare la formula di duplicazione del seno

-\frac{3}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin(2t)dt}

la primitiva del seno è il coseno cambiato di segno (integrali fondamentali), inoltre per avere come primitiva \cos(2t) manca un coefficiente nell'integranda. Infatti \frac{d}{dt}[\cos(2t)]=-2\sin(2t), quindi moltiplica e dividi per 2 l'integranda

\frac{3}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(-2\sin(2t))dt}

e integra

\frac{3}{4}\left[\cos(2t)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{3}{4}[\cos(\pi)-\cos(0)]=-\frac{3}{2}
Ringraziano: StudenteMarconi, CarFaby

Integrale di linea lungo un percorso con tre curve #62079

avt
StudenteMarconi
Cerchio
No mi riferisco al primo ed al terzo emt

Integrale di linea lungo un percorso con tre curve #62081

avt
Omega
Amministratore
Gulp emt

Sono integrali elementari, mezzo passaggio emt

\int_0^2{tdt}=\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^2=\frac{4}{2}-0=2

\int_{0}^{1}(t-1)dt=\left[\frac{(t-1)^2}{2}\right]_0^1=0-\frac{(-1)^2}{2}=-\frac{1}{2}
Ringraziano: StudenteMarconi
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