Integrale doppio con ellisse

Ecco la mia seconda richiesta, vorrei sapere come calcolare il seguente integrale doppio con insieme definito da un'ellisse e come rappresentare il dominio graficamente



Nel dominio:



Grazie ancora

[Nota ai lettori - questo Topic è stato aperto con privilegi MINIMAL. Non è richiesto un tentativo di svolgimento. La richiesta viene presa in carico con priorità assoluta]


Ciao StudenteMarconi

Avendo a che fare con un'integranda molto semplice il problema si riduce a scrivere il nostro dominio in modo che una delle due variabili dipenda dall'altra, mentre l'altra sia libera e sia vincolata da soli valori numerici.

Per prima cosa, anche perché richiesto dal testo dell'esercizio, cerchiamo di rappresentare il dominio di integrazione:



Non dobbiamo far altro se non rappresentare graficamente le soluzioni del sistema di disequazioni (Leggimi!):



Partiamo dalla prima:

L'equazione ad essa associata: rappresenta un'ellisse. La possiamo infatti scrivere come:



(ottenuta dividendo per 4 tutti i termini dell'equazione di partenza).

Siamo quindi di fronte ad un'ellisse avente come vertici i punti:

e centro coincidente con l'origine degli assi

(rappresentato in verde)



è quindi l'insieme dei punti interni a tale ellisse, frontiera inclusa.

Prendiamo ora la seconda disequazione del sistema:

L'equazione ad essa associata, ovvero altro non è se non la bisettrice del primo e terzo quadrante (rappresentata in rosso)

Dovendo rappresentare prenderemo i punti al di sopra di tale retta.

Infine le due condizioni:



ci dicono che dobbiamo stare nel primo quadrante.

Morale della favola, il nostro insieme di integrazione è il seguente:



-----------------------------------
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Siamo quindi di fronte ad un dominio normale. Vediamo come poterlo scrivere.

Individuiamo il punto di intersezione A tra ellisse e bisettrice nel primo quadrante che ha coordinate



Consideriamo quindi l'intervallo di ascisse

Le ordinate sono libere di variare tra la bisettrice del primo e terzo quadrante e il ramo d'ellisse. Questo ramo d'ellisse lo esprimiamo invertendo l'equazione dell'ellisse stessa:



Ci troviamo nel primo quadrante, il segno che ci serve è quello positivo



quindi il nostro dominio è il seguente:



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Per la formula di riduzione possiamo quindi scrivere il nostro integrale come:



-----------------------------
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Iniziamo col calcolare:



per la proprietà di linearità dell'integrale



Ora:





Mentre:







Pertanto:





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Ricordando che ci eravamo proposti di calcolare:



Non ci rimane altro da fare se non calcolare il valore dell'integrale definito:



che, sempre per la linearità dell'integrale possiamo spezzare nei tre integrali:



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Partiamo dal primo:



Scrivendolo come:



ci siamo ricondotti ad un integrale fondamentale del tipo:



dove nel nostro caso:

Quindi:



(dopo qualche conticino puramente algebrico)



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Il secondo e il terzo sono a dir poco immediati:



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Quindi, ricapitolando:







che è il valore del nostro integrale doppio di partenza

Grazie Galois!!