Equazione differenziale con metodo del Wronskiano

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Equazione differenziale con metodo del Wronskiano #61977

avt
Omega
Amministratore
Risolvere la seguente equazione differenziale del secondo ordine applicando il metodo del Wronskiano:

y''+3y'+2y = log(1+e^x)


[Nota al lettore: topic pubblicato per conto di PySke. Il Topic è stato aperto con privilegi MINIMAL. Non è dunque richiesto un tentativo di svolgimento; il Topic viene preso in carico con priorità assoluta.]
 
 

Equazione differenziale con metodo del Wronskiano #61984

avt
Galois
Amministratore
Per trovare l'integrale generale dell'equazione differenziale del secondo ordine, non omogenea, a coefficienti costanti, dobbiamo partire dal trovare la famiglia delle soluzioni dell'equazione differenziale del secondo ordine, omogenea, a coefficienti costanti ad essa associata:

y''+3y'+2y = 0

Per far ciò dobbiamo trovare le radici del polinomio caratteristico:

P(λ) = λ^2+3λ+2

che sono: λ_0 = -2, λ_1 = -1 (due radici reali e distinte)

Pertanto l'integrale generale dell'omogenea sarà:

y_O(x) = c_1 e^(-2x)+c_2 e^(-x), c_1, c_2 ∈ R

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Prendiamo ora il termine noto:

g(x) = log(1+e^x)

che non è di tipo particolare, ragione per cui il Metodo di somiglianza non può essere utilizzato.

Non ci rimane altro da fare se non utilizzare (il lungo e laborioso) metodo del Wronskiano

Partiamo dalla soluzione dell'omogenea che ci ha dato i due integrali:

y_1(x) = e^(-2x), y_2(x) = e^(-x)

e cerchiamo una soluzione particolare della non omogenea del tipo

bary(x) = ψ_1(x)y_1(x)+ψ_2(x)y_2(x)

ovvero:

(spadesuit) bary(x) = ψ_1(x) e^(-2x)+ψ_2(x)e^(-x)


impostando il seguente sistema

ψ_1'(x)y_(1)(x)+ψ_2'(x)y_(2)(x) = 0 ; ψ_1'(x)y_1'(x)+ψ_2'(x)y_2'(x) = g(x)

Essendo nel nostro caso:

y_1(x) = e^(-2x) → y_1'(x) = -2e^(-2x)

y_2(x) = e^(-x) → y_2'(x) = -e^(-x)

g(x) = log(1+e^x)

il sistema che dovremo andare a risolvere sarà:

e^(-2x)ψ_1'(x)+e^(-x)ψ_2'(x) = 0 ;-2e^(-2x)ψ_1'(x)-e^(-x)ψ_2'(x) = log(1+e^x)

Utilizziamo il Metodo di Cramer:
Ringraziano: danying

Equazione differenziale con metodo del Wronskiano #61986

avt
Galois
Amministratore
Abbiamo un sistema non omogeneo di due equazioni nelle incognite ψ_1'(x), ψ_2'(x)

Detta

A = [ e^(-2x) e^(-x) ;-2e^(-2x) -e^(-x) ]

la matrice dei coefficienti,

A_1 = [ 0 e^(-x) ; log(e^x+1) -e^(-x) ]

A_2 = [ e^(-2x) 0 ;-2e^(-2x) log(e^x+1) ]

si ha:

ψ_1'(x) = (det(A_1))/(det(A))

ψ_2'(x) = (det(A_2))/(det(A))

calcoliamo il determinante delle tre matrici.

det(A) = -e^(-3x)+2e^(-3x) = e^(-3x)

det(A_1) = -e^(-x)log(1+e^x)

det(A_2) = e^(-2x)log(1+e^x)

Pertanto:

ψ_1'(x) = (det(A_1))/(det(A)) = (-e^(-x)log(1+e^x))/(e^(-3x)) = -e^(2x)log(1+e^x)

ψ_2'(x) = (det(A_2))/(det(A)) = (e^(-2x)log(1+e^x))/(e^(-3x)) = e^(x)log(1+e^x)

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Dobbiamo ora calcolare:

ψ_1(x): = ∫(ψ_1'(x))dx e ψ_2(x): = ∫(ψ_2'(x))dx

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ψ_1(x): = ∫(ψ_1'(x))dx = ∫[-e^(2x)log(1+e^x)]dx =

= (1)/(4)[e^(2x)-2e^x-2e^(2x)log(1+e^x)+2log(1+e^x)]+c =

= (1)/(4)e^(2x)-(1)/(2)e^x-(1)/(2)e^(2x)log(1+e^x)+(1)/(2)log(1+e^x)+c

ψ_2(x): = ∫(ψ_2'(x))dx = ∫[e^(x)log(1+e^x)]dx =

= e^x log(1+e^x)+log(1+e^x)-e^x+c

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(se fossi interessato anche alla soluzione di questi integrali li vedremo in un altro topic)

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Andando ora a sostituire i risultati ottenuti in (spadesuit) abbiamo:

bary(x) = e^(-2x)[(1)/(4)e^(2x)-(1)/(2)e^x-(1)/(2)e^(2x)log(1+e^x)+(1)/(2)log(1+e^x) (ψ_1(x))]+

+e^(-x)[e^x log(1+e^x)+log(1+e^x)-e^x (ψ_2(x))]

Moltiplicando (ricordando le proprietà delle potenze):

bary(x) = (1)/(4)-(1)/(2)e^(-x)-(1)/(2)log(1+e^x)+(1)/(2)e^(-2x)log(1+e^x)+log(1+e^x)+e^(-x)log(1+e^x)-1

che, sommando i termini simili, possiamo scrivere come:

bary(x) = -(1)/(2)e^(-x)+(1)/(2)e^(-2x)log(1+e^x)+(1)/(2)log(1+e^x)+e^(-x)log(1+e^x)-(3)/(4)

Possiamo quindi concludere che l'integrale generale della nostra equazione differenziale è:

y(x) = y_O(x)+ bary(x) = c_1e^(-2x)+c_2e^(-x)-(1)/(2)e^(-x)+(1)/(2)e^(-2x)log(1+e^x)+(1)/(2)log(1+e^x)+e^(-x)log(1+e^x)-(3)/(4)

Poiché: c_2 e^(-x)-(1)/(2)e^(-x) = e^(-x)(c_2-(1)/(2) (: = c))

Possiamo porre c: = c_2-(1)/(2) (tanto c_2 è una costante arbitraria) e quindi avere:

y(x) = c_1e^(-2x)+ce^(-x)+(1)/(2)e^(-2x)log(1+e^x)+(1)/(2)log(1+e^x)+e^(-x)log(1+e^x)-(3)/(4)

con c, c_1 ∈ R

emt

Puoi confrontare il risultato ottenuto col tool per la risoluzione di equazioni differenziali online
Ringraziano: ilforo88
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Os