Equazione differenziale con metodo del Wronskiano

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Equazione differenziale con metodo del Wronskiano #61977

avt
Omega
Amministratore
Risolvere la seguente equazione differenziale del secondo ordine applicando il metodo del Wronskiano:

y''+3y'+2y=\log(1+e^x)


[Nota al lettore: topic pubblicato per conto di PySke. Il Topic è stato aperto con privilegi MINIMAL. Non è dunque richiesto un tentativo di svolgimento; il Topic viene preso in carico con priorità assoluta.]
 
 

Equazione differenziale con metodo del Wronskiano #61984

avt
Galois
Amministratore
Per trovare l'integrale generale dell'equazione differenziale del secondo ordine, non omogenea, a coefficienti costanti, dobbiamo partire dal trovare la famiglia delle soluzioni dell'equazione differenziale del secondo ordine, omogenea, a coefficienti costanti ad essa associata:

y''+3y'+2y=0

Per far ciò dobbiamo trovare le radici del polinomio caratteristico:

P(\lambda)=\lambda^2+3\lambda+2

che sono: \lambda_0=-2, \ \lambda_1=-1 (due radici reali e distinte)

Pertanto l'integrale generale dell'omogenea sarà:

y_O(x)=c_1 e^{-2x}+ c_2 e^{-x}, \ c_1, \ c_2 \in \mathbb{R}

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Prendiamo ora il termine noto:

g(x)=\log(1+e^x)

che non è di tipo particolare, ragione per cui il Metodo di somiglianza non può essere utilizzato.

Non ci rimane altro da fare se non utilizzare (il lungo e laborioso) metodo del Wronskiano

Partiamo dalla soluzione dell'omogenea che ci ha dato i due integrali:

y_1(x)=e^{-2x}, \  y_2(x)=e^{-x}

e cerchiamo una soluzione particolare della non omogenea del tipo

\bar{y}(x)=\psi_1(x)y_1(x)+\psi_2(x)y_2(x)

ovvero:

(\spadesuit) \bar{y}(x)=\psi_1(x) e^{-2x} + \psi_2(x)e^{-x}


impostando il seguente sistema

\begin{cases} \psi_1'(x)y_{1}(x)+\psi_2'(x)y_{2}(x)=0 \\ \\ \psi_1'(x)y_1'(x)+\psi_2'(x)y_2'(x)=g(x)\end{cases}

Essendo nel nostro caso:

y_1(x)=e^{-2x} \to y_1'(x)=-2e^{-2x}

y_2(x)=e^{-x} \to y_2'(x)=-e^{-x}

g(x)=\log(1+e^x)

il sistema che dovremo andare a risolvere sarà:

\begin{cases} e^{-2x}\psi_1'(x)+e^{-x}\psi_2'(x)=0 \\ \\ -2e^{-2x}\psi_1'(x)-e^{-x}\psi_2'(x)=\log(1+e^x)\end{cases}

Utilizziamo il Metodo di Cramer:
Ringraziano: danying

Equazione differenziale con metodo del Wronskiano #61986

avt
Galois
Amministratore
Abbiamo un sistema non omogeneo di due equazioni nelle incognite \psi_1'(x), \ \psi_2'(x)

Detta

A=\left[\begin{matrix} e^{-2x} & e^{-x} \\ -2e^{-2x} & -e^{-x} \end{matrix}\right]

la matrice dei coefficienti,

A_1=\left[\begin{matrix} 0 & e^{-x} \\ \log(e^x+1) & -e^{-x} \end{matrix}\right]

A_2=\left[\begin{matrix} e^{-2x} & 0 \\ -2e^{-2x} & \log(e^x+1) \end{matrix}\right]

si ha:

\psi_1'(x)=\frac{det(A_1)}{det(A)}

\psi_2'(x)=\frac{det(A_2)}{det(A)}

calcoliamo il determinante delle tre matrici.

det(A)=-e^{-3x}+2e^{-3x}=e^{-3x}

det(A_1)=-e^{-x}\log(1+e^x)

det(A_2)=e^{-2x}\log(1+e^x)

Pertanto:

\psi_1'(x)=\frac{det(A_1)}{det(A)}=\frac{-e^{-x}\log(1+e^x)}{e^{-3x}}=-e^{2x}\log(1+e^x)

\psi_2'(x)=\frac{det(A_2)}{det(A)}=\frac{e^{-2x}\log(1+e^x)}{e^{-3x}}=e^{x}\log(1+e^x)

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Dobbiamo ora calcolare:

\psi_1(x):=\int(\psi_1'(x))dx e \psi_2(x):=\int(\psi_2'(x))dx

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\psi_1(x):=\int(\psi_1'(x))dx=\int[-e^{2x}\log(1+e^x)]dx=

=\frac{1}{4}\left[e^{2x}-2e^x-2e^{2x}\log(1+e^x)+2\log(1+e^x)\right]+c=

=\frac{1}{4}e^{2x}-\frac{1}{2}e^x-\frac{1}{2}e^{2x}\log(1+e^x)+\frac{1}{2}\log(1+e^x)+c

\psi_2(x):=\int(\psi_2'(x))dx=\int[e^{x}\log(1+e^x)]dx=

=e^x \log(1+e^x)+\log(1+e^x)-e^x+c

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(se fossi interessato anche alla soluzione di questi integrali li vedremo in un altro topic)

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Andando ora a sostituire i risultati ottenuti in (\spadesuit) abbiamo:

\bar{y}(x)=e^{-2x}\left[\underbrace{\frac{1}{4}e^{2x}-\frac{1}{2}e^x-\frac{1}{2}e^{2x}\log(1+e^x)+\frac{1}{2}\log(1+e^x)}_{\psi_1(x)}\right]+

+e^{-x}\left[\underbrace{e^x \log(1+e^x)+\log(1+e^x)-e^x}_{\psi_2(x)}\right]

Moltiplicando (ricordando le proprietà delle potenze):

\bar{y}(x)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}e^{-x}-\frac{1}{2}\log(1+e^x)+\frac{1}{2}e^{-2x}\log(1+e^x)+\log(1+e^x)+e^{-x}\log(1+e^x)-1

che, sommando i termini simili, possiamo scrivere come:

\bar{y}(x)=-\frac{1}{2}e^{-x}+\frac{1}{2}e^{-2x}\log(1+e^x)+\frac{1}{2}\log(1+e^x)+e^{-x}\log(1+e^x)-\frac{3}{4}

Possiamo quindi concludere che l'integrale generale della nostra equazione differenziale è:

y(x)=y_O(x)+\bar{y}(x)=c_1e^{-2x}+c_2e^{-x}-\frac{1}{2}e^{-x}+\frac{1}{2}e^{-2x}\log(1+e^x)+\frac{1}{2}\log(1+e^x)+e^{-x}\log(1+e^x)-\frac{3}{4}

Poiché: c_2 e^{-x}-\frac{1}{2}e^{-x} = e^{-x}\left(\underbrace{c_2-\frac{1}{2}}_{:=c}\right)

Possiamo porre c:=c_2-\frac{1}{2} (tanto c_2 è una costante arbitraria) e quindi avere:

y(x)=c_1e^{-2x}+ce^{-x}+\frac{1}{2}e^{-2x}\log(1+e^x)+\frac{1}{2}\log(1+e^x)+e^{-x}\log(1+e^x)-\frac{3}{4}

con c, \ c_1 \in \mathbb{R}

emt

Puoi confrontare il risultato ottenuto col tool per la risoluzione di equazioni differenziali online
Ringraziano: ilforo88
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Os