Integrale doppio con circonferenza e retta

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Integrale doppio con circonferenza e retta #61966

avt
Omega
Amministratore
Calcolare l'integrale doppio con insieme di integrazione definito dalla circonferenza e dalla retta nel seguente dominio

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}\mbox{ : }x\geq 0,\ y\geq 0, x^2+y^2\geq 1,\ x+y\leq 3\}

per la funzione

f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}



[Nota al lettore: Topic pubblicato per conto di PySke, aperto con privilegi MINIMAL. Non è dunque richiesto un tentativo di svolgimento; il Topic viene preso in carico con priorità assoluta.]
 
 

Integrale doppio con circonferenza e retta #61971

avt
Omega
Amministratore
La prima cosa da fare è individuare il dominio di integrazione.

L'equazione x^2+y^2= 1 individua la circonferenza unitaria di centro l'origine degli assi.

L'equazione x+y=3 individua la retta nel piano cartesiano passante per i punto (0,3),\ (3,0).

L'insieme di integrazione è l'insieme piano contenuto nel primo quadrante (condizioni x\geq 0,\ y\geq 0) esterno al cerchio unitario centrato nell'origine e sotteso dalla retta di equazione x+y=3

\int\int_D\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy

Basta dare un'occhiata all'integranda per convincersi che conviene risolvere l'integrale passando ad un riferimento di coordinate polari. In questo modo grazie all'identità fondamentale della trigonometria, l'integranda diventa

f(\rho,\theta)=\frac{1}{\sqrt{\rho^2}}=\frac{1}{\rho}

L'elemento di integrazione deve tenere conto dello Jacobiano associato alla trasformazione di coordinate

dxdy\ \to\ \rho d\rho d\theta


A questo punto non resta che riscrivere l'insieme di integrazione in coordinate polari.


Le due condizioni che individuano il primo quadrante pongono una limitazione sull'angolo \theta, che è molto semplicemente

0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}

infatti l'angolo può variare tra 0° e 90°.

Per quanto riguarda la condizione x^2+y^2\geq 1, essa si traduce in una limitazione sul raggio

\rho\geq 1

Infine per quanto riguarda la disequazione x+y\leq 3, passando alle coordinate polari diventa

\rho\cos(\theta)+\rho\sin(\theta)\leq 3

raccogliamo un fattore \rho

\rho[\cos(\theta)+\sin(\theta)]\leq 3

ora una piccola osservazione: la somma di seno e coseno, nel primo quadrante, è una quantità sempre positiva. Non è difficile capirlo. Alla luce di ciò è lecito dividereentrambi i membri per \cos(\theta)+\sin(\theta)

\rho\leq \frac{3}{\cos(\theta)+\sin(\theta)}

Riepiloghiamo le due condizioni relative al raggio

\begin{cases}\rho\geq 1\\ \rho\leq \frac{3}{\cos(\theta)+\sin(\theta)}\end{cases}

e ragioniamo sulla seconda limitazione. La somma \cos(\theta)+\sin(\theta) assume per \theta\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right] come minimo valore 1, come massimo valore \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} per \theta=\frac{\pi}{4}.

Dunque \frac{3}{\cos(\theta)+\sin(\theta)} assume come minimo valore \frac{3}{\sqrt{2}} e come massimo valore 3. In ogni caso esso assume valori sempre maggiori di 1, quindi la condizione

1\leq \rho\leq \frac{3}{\cos(\theta)+\sin(\theta)}

ha sempre senso sull'intervallo \left[0,\frac{\pi}{2}\right]\ni \theta.


Siamo pronti per scrivere l'integrale doppio in coordinate polari

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{1}^{\frac{3}{\cos(\theta)+\sin(\theta)}}\frac{1}{\rho}\cdot \rho d\rho d\theta=

che diventa, dopo aver integrato rispetto a \rho

=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{3}{\cos(\theta)+\sin(\theta)}-1\right]d\theta



L'esercizio si riduce a calcolare una differenza di integrali in una variabile (cambio il nome della variabile per comodità)

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{3}{\cos(z)+\sin(z)}dz-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dz

il secondo integrale è banalissimo, tienilo da parte. Per il primo possiamo ricorrere alle formule parametriche trigonometriche, in particolare sostituendo t=\tan\left(\frac{z}{2}\right) da cui z=2\arctan(t) e dunque dz=\frac{2}{1+t^2}.

Gli estremi di integrazione diventano

z=0\ \to\ t=0

z=\frac{\pi}{2}\ \to\ t=1

L'integrale invece

3\int_0^1\frac{1}{\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}dt=-3\int_0^1\frac{2}{t^2-2t-1}dt

quest'ultimo integrale si risolve con il metodo dei fratti semplici, scomponendo la funzione razionale secondo la solita procedura. Non dovresti avere problemi, sono conti meccanici ma molto semplici (se hai dubbi, chiedi).

In ogni caso questo modo di procedere ti conduce a

-3\int_0^1\frac{2}{t^2-2t-1}dt=3\left[-\frac{\log(-t+\sqrt{2}+1)-\log(t+\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}\right]_0^1

Non resta che calcolare le valutazioni della generica primitiva agli estremi di integrazione e calcolarne la differenza.
Ringraziano: Galois
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Os