Numero di soluzioni di un'equazione f(x)=t e asintoti della funzione

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Numero di soluzioni di un'equazione f(x)=t e asintoti della funzione #61961

avt
Omega
Amministratore
Un esercizio sul numero di soluzioni di un'equazione definita mediante una funzione, e sullo studio degli asintoti: data

f(x)=\log(e^{2x}-5e^x+4)

determinare il dominio della funzione f. Studiare al variare del parametro t\in\mathbb{R} il numero di soluzioni dell'equazione

f(x)=t

e stabilire se la funzione f ammette asintoti.



[Nota al lettore: domanda pubblicata per conto di PySke, aperto con privilegi MINIMAL. Non è dunque richiesto un tentativo di svolgimento; il Topic viene preso in carico con priorità assoluta.]
 
 

Numero di soluzioni di un'equazione f(x)=t e asintoti della funzione #61963

avt
Omega
Amministratore
Dominio

Per cominciare seguiamo le regole per calcolare il dominio. Abbiamo solamente un logaritmo, dunque l'unica condizione da imporre riguarda l'argomento del logaritmo. Esso deve essere positivo

e^{2x}-5e^x+4>0

ci troviamo di fronte ad una disequazione esponenziale che possiamo risolvere per sostituzione. Capire cosa sostituire non è difficile...emt poniamo y=e^t e passiamo alla disequazione di secondo grado

y^2-5y+4>0

Scomponiamo il trinomio con la regola del trinomio notevole (o se preferisci risolvendo l'equazione associata, è lo stesso)

(y-4)(y-1)>0

da cui y<1\vee y>4. Se ritorniamo alla variabile x, dobbiamo ricordare che per definizione la funzione esponenziale y=e^x è positiva per ogni x

0<e^x<1\vee e^x>4

da cui

x<0\vee x>\log(4)

Abbiamo trovato il dominio della funzione: Dom(f)=(-\infty,0)\cup(\log(4),+\infty).


Asintoti

Occupiamoci direttamente degli asintoti. Prima partiamo dagli estremi finiti del dominio e dunque studiamo l'esistenza di eventuali asintoti verticali

\lim_{x\to 0^-}\log(e^{2x}-5e^x+4)=\lim_{x\to 0^-}\log[(e^{x}-1)(e^x-4)]=

il conto è semplicissimo, possiamo procedere con le regole per infiniti e infinitesimi e capire al volo che l'argomento per x\to 0^+. Per il resto Ci basta ricordare come si comporta il logaritmo naturale nell'intorno destro di zero

\lim_{x\to 0^-}\log[(e^{x}-1)(e^x-4)]=-\infty

Se ne deduce che x=0 è un asintoto verticale sinistro.

Poi

\lim_{x\to (\log(4))^+}\log(e^{2x}-5e^x+4)=\lim_{x\to (\log(4))^+}\log[(e^{x}-1)(e^x-4)]=

ricordiamoci che, se \mbox{pippo}>0, vale l'identità y=e^\ln(pippo). Quindi procedendo per sostituzione diretta vediamo che l'argomento tende anche in questo caso a 0^+, per cui

=\lim_{x\to (\log(4))^+}\log[(e^{x}-1)(e^x-4)]=-\infty


Per quanto riguarda eventuali asintoti orizzontali o asintoti obliqui, cominciamo col calcolare

\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\log(e^{2x}-5e^x+4)=

qui per il confronto tra infiniti possiamo limitarci a considerare l'infinito di ordine principale (il resto è trascurabile!)

=\lim_{x\to +\infty}\log(e^{2x})=\lim_{x\to +\infty}2x=+\infty

Per quanto riguarda il limite

\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\log(e^{2x}-5e^x+4)=

non abbiamo alcun infinito nell'argomento (infatti e^x\to_{x\to -\infty}0^+, per convincertene guarda il grafico dell'esponenziale). Possiamo procedere per sostituzione diretta:

=\lim_{x\to -\infty}\log(0-0+4)=\log(4)


Ne deduciamo che y=\log(4) è asintoto orizzontale per f al tendere di x\to -\infty, mentre per x\to +\infty potremmo avere un asintoto obliquo. Calcoliamo innanzitutto il limite per il coefficiente angolare

m=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=2

(si procede esattamente come ho mostrato poco sopra), poi calcoliamo il limite per la quota all'origine

q=\lim_{x\to +\infty}[f(x)-mx]=\lim_{x\to +\infty}[\log(e^{2x}-5e^x+4)-2x]=

questo limite è poco poco più elaborato. Facciamo riferimento all'identità logaritmo esponenziale e scriviamo 2x=\log(e^{2x})

=\lim_{x\to +\infty}[\log(e^{2x}-5e^x+4)-\log(e^{2x})]=

poi grazie ad una famosissima proprietà dei logaritmi

=\lim_{x\to +\infty}\left[\log\left(\frac{e^{2x}-5e^x+4}{e^{2x}}\right)\right]=\log(1)=0

dove l'argomento tende a 1 e per vederlo basta dividere il numeratore termine a termine e passare al limite. emt

La funzione ammette y=2x come asintoto obliquo per x\to +\infty.


Numero di soluzioni

Consideriamo l'equazione f(x)=t e vediamo di studiarne il numero di soluzioni per risoluzione diretta.

\log(e^{2x}-5e^x+4)=t

applichiamo l'esponenziale ad entrambi i membri

e^{2x}-5e^{x}+4=e^t

e^{2x}-5e^{x}+4-e^t=0

Ci troviamo di fronte ad un'equazione esponenziale. Anche in questo caso procediamo per sostituzione ponendo y=e^x

y^2-5y+4-e^t=0

e abbiamo un'equazione di secondo grado. Essa può ammettere due soluzioni distinte, una sola soluzione (due soluzioni coincidenti) o nessuna soluzione (impossibile). Per scoprirlo ne calcoliamo il discriminante

\Delta=(-5)^2-4(4-e^t)=25-16+4e^t=9+4e^t

Non dobbiamo fare altro che studiare il segno del discriminante:

- se è positivo, cioè se

9+4e^t>0\ \Rightarrow\ \forall t

allora abbiamo due soluzioni distinte (l'esponenziale è sempre positiva!). Fine: il discriminante non può essere né nullo né negativo, quindi f(x)=t ammette due soluzioni distinte per ogni t\in\mathbb{R}.



In alternativa avremmo potuto effettuare uno studio di funzione completo per disegnare il grafico della funzione e contare il numero di intersezioni tra il grafico e la retta y=t al variare di t\in\mathbb{R}. Un po' come avevamo visto qui: numero di soluzioni di un'equazione al variare di un parametro.

Nel nostro caso però non sarebbe convenuto, dato che l'equazione era abbastanza semplice... emt
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