Problema di Cauchy del secondo ordine a coefficienti costanti

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Problema di Cauchy del secondo ordine a coefficienti costanti #61956

avt
udar
Punto
Sto provando a risolvere un problema di Cauchy del secondo ordine con un'equazione differenziale a coefficienti costanti, ma mi piacerebbe se poteste darmi una mano per capire se sto seguendo la strada giusta o meno.

y''+y = e^x

con condizioni iniziali

\begin{cases}y(0)=0 \\ y'(0)=1\end{cases}

In particolare, mi incastro ad un paio di punti. Premetto che se non vado errato le soluzioni sono \lambda_1 = +i, \lambda_2 = -i, quindi nel campo dei complessi

Per quanto riguarda la forma della soluzione particolare, tengo in considerazione solo e^x, non il fatto che trattandosi di complessi la omogenea contiene seno e coseno. Giusto?

Applicando le indicazioni del metodo di somiglianza ho tirato fuori che \bar{y}(t) = At ma mi saltano fuori dei risultati bizzarri. emt E' corretto?

Mi dareste una mano con lo svolgimento? emt

Alla fine della fiera mi viene

{y}(t) = c1 cos(t) + c2 sin(t) + 1/2 e^t

e con Cauchy

{y}(t) = \frac{1}{2} (-cos(t) + sin(t) + e^t)

emt
 
 

Problema di Cauchy del secondo ordine a coefficienti costanti #61965

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Udar emt

Siamo di fronte ad un Problema di Cauchy formato da un'equazione differenziale non omogenea, del secondo ordine, a coefficienti costanti.

Iniziamo quindi col trovare l'integrale generale dell'equazione differenziale omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti ad essa associata:

y''+y=0

Per far ciò ci basta trovare gli zeri del polinomio caratteristico:

P(\lambda)=\lambda^2+1

che, come ben dici, sono \lambda_0=i, \ \lambda_1=-i, ovvero abbiamo due radici complesse coniugate del tipo \alpha \pm i \beta con \alpha=0, \ \beta=1

Come chiaramente indicato nella lezione che ti ho linkato precedentemente, l'integrale generale dell'omogenea sarà:

y_O(x)=c_1 e^{\alpha x} \cos(\beta x) + c_2 e^{\alpha x} \sin(\beta x), \ c_1, \ c_2 \in \mathbb{R}

ovvero, essendo, nel nostro caso \alpha=0, \ \beta=1 abbiamo:

y_O(x)=c_1  \cos(x) + c_2 \sin(x), \ c_1, \ c_2 \in \mathbb{R}

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Andiamo ora alla ricerca di una soluzione particolare \bar{y}(x) della non omogenea.

Poiché il nostro termine noto: g(x)=e^x è del tipo:

e^{\lambda x}Q(x) con \lambda=1 e Q(x) polinomio di grado zero nella variabile x, utilizzeremo il metodo di somiglianza.

Poiché \lambda=1 (coefficiente dell'esponente di e^x del nostro termine noto) non coincide con nessuna delle radici del polinomio caratteristico (che erano \lambda_0=i, \ \lambda_1=-i), la soluzione particolare sarà del tipo:

\bar{y}(x)=e^{\lambda x} \bar{Q}(x)

con, ripeto ancora, \lambda=1 e \bar{Q}(x) polinomio dello stesso grado di Q(x) (che ha grado zero). Quindi:

\bar{y}(x)=\underbrace{A}_{\bar{Q}(x)}e^{x}

Non ci rimane altro da fare se non derivare fino all'ordine due ed andare a sostituire nell'equazione di partenza uguagliando poi i coefficienti dei termini simili.

\bar{y}(x)=Ae^{x}

\bar{y}'(x)=Ae^{x}

\bar{y}''(x)=Ae^{x}

Sostituendo nell'equazione differenziale y''+y=e^x abbiamo:

Ae^x + Ae^x = e^x

ovvero

2Ae^x=e^x

e quindi 2A=1 \to A=\frac{1}{2}

La soluzione particolare è quindi:

\bar{y}(x)=\frac{1}{2}e^x

e l'integrale generale y(x) della nostra equazione differenziale:

y(x)=y_O(x)+\bar{y}(x)=c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) + \frac{1}{2}e^x, \ c_1, \ c_2 \in \mathbb{R}

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Per trovare la soluzione del nostro PdC dobbiamo imporre le condizioni iniziali:

Derivando y(x)=c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) + \frac{1}{2}e^x abbiamo:

y'(x)=-c_1 \sin(x) + c_2 \cos(x) + \frac{1}{2}e^x

Imponendo che valgano:

\begin{cases}y(0)=0 \\ y'(0)=1 \end{cases}

abbiamo

\begin{cases} 0 = c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0) +\frac{1}{2}e^0 \\ 1 = -c_1 \sin(0) + c_2 \cos(0)+\frac{1}{2}e^0 \end{cases}

\begin{cases} 0 = c_1 + \frac{1}{2} \\ 1 = c_2 + \frac{1}{2} \end{cases}

\begin{cases} c_1 = -\frac{1}{2} \\ c_2 = 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{cases}

Pertanto la soluzione del nostro PdC sarà:

y(x)=-\frac{1}{2}\cos(x)+\frac{1}{2}\sin(x) + \frac{1}{2} e^x = \frac{1}{2}\left[e^x + \sin(x) - \cos(x)\right]

emt
Ringraziano: Omega

Problema di Cauchy del secondo ordine a coefficienti costanti #61987

avt
udar
Punto
Ottimo, grazie. Lo svolgimento era dunque corretto. Il mio unico dubbio era quel Ae^x che mi pareva sospetto e non ero sicuro se la somiglianza doveva tenere conto della soluzione della omogenea o meno.

Grazie ancora! emt
Ringraziano: Galois
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Os