Problema di Cauchy del secondo ordine a coefficienti costanti

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Problema di Cauchy del secondo ordine a coefficienti costanti #61956

avt
udar
Punto
Sto provando a risolvere un problema di Cauchy del secondo ordine con un'equazione differenziale a coefficienti costanti, ma mi piacerebbe se poteste darmi una mano per capire se sto seguendo la strada giusta o meno.

y''+y = e^x

con condizioni iniziali

y(0) = 0 ; y'(0) = 1

In particolare, mi incastro ad un paio di punti. Premetto che se non vado errato le soluzioni sono λ_1 = +i, λ_2 = -i, quindi nel campo dei complessi

Per quanto riguarda la forma della soluzione particolare, tengo in considerazione solo e^x, non il fatto che trattandosi di complessi la omogenea contiene seno e coseno. Giusto?

Applicando le indicazioni del metodo di somiglianza ho tirato fuori che bary(t) = At ma mi saltano fuori dei risultati bizzarri. emt E' corretto?

Mi dareste una mano con lo svolgimento? emt

Alla fine della fiera mi viene

y(t) = c1 cos(t)+c2 sin(t)+1/2 e^t

e con Cauchy

y(t) = (1)/(2) (-cos(t)+sin(t)+e^t)

emt
 
 

Problema di Cauchy del secondo ordine a coefficienti costanti #61965

avt
Galois
Amministratore
Ciao Udar emt

Siamo di fronte ad un Problema di Cauchy formato da un'equazione differenziale non omogenea, del secondo ordine, a coefficienti costanti.

Iniziamo quindi col trovare l'integrale generale dell'equazione differenziale omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti ad essa associata:

y''+y = 0

Per far ciò ci basta trovare gli zeri del polinomio caratteristico:

P(λ) = λ^2+1

che, come ben dici, sono λ_0 = i, λ_1 = -i, ovvero abbiamo due radici complesse coniugate del tipo α±i β con α = 0, β = 1

Come chiaramente indicato nella lezione che ti ho linkato precedentemente, l'integrale generale dell'omogenea sarà:

y_O(x) = c_1 e^(α x) cos(β x)+c_2 e^(α x) sin(β x), c_1, c_2 ∈ R

ovvero, essendo, nel nostro caso α = 0, β = 1 abbiamo:

y_O(x) = c_1 cos(x)+c_2 sin(x), c_1, c_2 ∈ R

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Andiamo ora alla ricerca di una soluzione particolare bary(x) della non omogenea.

Poiché il nostro termine noto: g(x) = e^x è del tipo:

e^(λ x)Q(x) con λ = 1 e Q(x) polinomio di grado zero nella variabile x, utilizzeremo il metodo di somiglianza.

Poiché λ = 1 (coefficiente dell'esponente di e^x del nostro termine noto) non coincide con nessuna delle radici del polinomio caratteristico (che erano λ_0 = i, λ_1 = -i), la soluzione particolare sarà del tipo:

bary(x) = e^(λ x) barQ(x)

con, ripeto ancora, λ = 1 e barQ(x) polinomio dello stesso grado di Q(x) (che ha grado zero). Quindi:

bary(x) = A (barQ(x))e^(x)

Non ci rimane altro da fare se non derivare fino all'ordine due ed andare a sostituire nell'equazione di partenza uguagliando poi i coefficienti dei termini simili.

bary(x) = Ae^(x)

bary'(x) = Ae^(x)

bary''(x) = Ae^(x)

Sostituendo nell'equazione differenziale y''+y = e^x abbiamo:

Ae^x+Ae^x = e^x

ovvero

2Ae^x = e^x

e quindi 2A = 1 → A = (1)/(2)

La soluzione particolare è quindi:

bary(x) = (1)/(2)e^x

e l'integrale generale y(x) della nostra equazione differenziale:

y(x) = y_O(x)+ bary(x) = c_1 cos(x)+c_2 sin(x)+(1)/(2)e^x, c_1, c_2 ∈ R

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Per trovare la soluzione del nostro PdC dobbiamo imporre le condizioni iniziali:

Derivando y(x) = c_1 cos(x)+c_2 sin(x)+(1)/(2)e^x abbiamo:

y'(x) = -c_1 sin(x)+c_2 cos(x)+(1)/(2)e^x

Imponendo che valgano:

y(0) = 0 ; y'(0) = 1

abbiamo

0 = c_1 cos(0)+c_2 sin(0)+(1)/(2)e^0 ; 1 = -c_1 sin(0)+c_2 cos(0)+(1)/(2)e^0

0 = c_1+(1)/(2) ; 1 = c_2+(1)/(2)

c_1 = -(1)/(2) ; c_2 = 1-(1)/(2) = (1)/(2)

Pertanto la soluzione del nostro PdC sarà:

y(x) = -(1)/(2)cos(x)+(1)/(2)sin(x)+(1)/(2) e^x = (1)/(2)[e^x+sin(x)-cos(x)]

emt
Ringraziano: Omega, GiGiGioGio

Problema di Cauchy del secondo ordine a coefficienti costanti #61987

avt
udar
Punto
Ottimo, grazie. Lo svolgimento era dunque corretto. Il mio unico dubbio era quel Ae^x che mi pareva sospetto e non ero sicuro se la somiglianza doveva tenere conto della soluzione della omogenea o meno.

Grazie ancora! emt
Ringraziano: Galois
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Os