Carattere di una serie con coseno a denominatore

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Carattere di una serie con coseno a denominatore #61946

avt
udar
Punto
Ciao a tutti. Ho svolto un esercizio relativo al determinare il carattere di una serie in cui compare un coseno al denominatore, vorrei chiedervi un parere se secondo voi è corretto.

\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{2+cos(3n)}}

Generalmente, con un coseno nella serie, tenderei ad utilizzare lo sviluppo di Taylor ma in questo caso non posso perché l'argomento del coseno (3n) non tende a zero per n che va ad infinito.

A questo punto, il mio ragionamento si basa sul fatto che \cos{\left(3n\right)}, ed in generale il coseno, è compreso tra [-1, 1], dunque il mio denominatore vale [1, 3].

In altre parole, la serie è compresa tra

\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{3}} \leq \sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{2+cos(3n)}} \leq \sum_{i=1}^{\infty}{1}

Ora siccome entrambe le due serie divergono a più infinito (questo è il passaggio che non so come dimostrare a livello formale), per il teorema del confronto (carabinieri) allora anche la mia serie diverge.

Come sono andato?
 
 

Carattere di una serie con coseno a denominatore #61948

avt
Omega
Amministratore
Ciao Udar, questa domanda NON conta come Topic a pagamento. Perché non devo fare altro che dirti: molto bene, bravo! emt

Non preoccuparti per il passaggio finale, perché è la parte più semplice. Solo non devi complicarti la vita... emt

Ti basta osservare che hai minorato la serie con una serie

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{3}

che è somma di un'infinità di termini positivi, tutti uguali tra loro. Stai sommando infinite volte lo stesso numero, la serie diverge necessariamente a infinito.

Non basta? Vuoi una dimostrazione rigorosa di questo fatto? emt

Hai una serie \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{3} il cui termine generale non tende a zero per n\to +\infty, infatti

\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{3}=\frac{1}{3} (successione costante)

dunque essa non soddisfa la condizione di Cauchy necessaria per la convergenza. Dunque la serie non converge: o diverge, o oscilla.

Dato che si tratta di una serie a termini positivi non può oscillare. Concludiamo che diverge positivamente

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{3}=+\infty
Ringraziano: Galois, CarFaby

Carattere di una serie con coseno a denominatore #61955

avt
udar
Punto
Perfetto, grazie.

Giusto per vedere se ho capito bene, se invece a numeratore avessi avuto qualcosa del tipo

\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{\frac{1}{n^2}}{2+cos(3n)}}

mi sarei trovato in un caso diverso dove questa volta il confronto era con due serie armoniche del tipo

\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{[1,3]n^2}}

che invece, al contrario, portavano a convergenza. Dimmi che ci ho preso. emt

Carattere di una serie con coseno a denominatore #61960

avt
Omega
Amministratore
In un caso del genere, certamente: puoi usare il criterio del confronto per le serie e concludere che la serie converge.

Occhio però, la notazione che hai scelto non va bene!

Puoi maggiorare la serie con

\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{\frac{1}{n^2}}{2+cos(3n)}}\leq \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}

che è la serie armonica generalizzata, convergente.
Ringraziano: udar
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Os