Carattere di una serie con coseno a denominatore
Ciao a tutti. Ho svolto un esercizio relativo al determinare il carattere di una serie in cui compare un coseno al denominatore, vorrei chiedervi un parere se secondo voi è corretto.
Generalmente, con un coseno nella serie, tenderei ad utilizzare lo sviluppo di Taylor ma in questo caso non posso perché l'argomento del coseno 
non tende a zero per n che va ad infinito.
A questo punto, il mio ragionamento si basa sul fatto che 
, ed in generale il coseno, è compreso tra ![[−1, 1]](data:image/gif;base64,R0lGODlhMAASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKira2tmJiYubm5szMzFBQUHR0dJ6enhYWFgAAAAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAwABIAAASFEAAxiLw4682zGoMUdt0hFCRmotg4phiSKMECy7TdijBX95LfDvACXoQ9JI9ozChTT1cT8yRFl1NAtXNlSgqCsHhscOqS52WxufWlvWtje9ONA5WIwcGdkTYPCQIBDAksBQEKGYCChCxwWSQWQH6QG5I9lJUYC3uTWJoXl5gSFKKgQB8DEQA7){kind=small}
, dunque il mio denominatore vale ![[1, 3]](data:image/gif;base64,R0lGODlhIAASAOMAAP///wAAAERERFRUVKqqqu7u7szMzNzc3HZ2dpiYmLq6ujIyMoiIiGZmZhAQEAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAgABIAAASIUAwCqr044zQ6LoKhZUnCDMnlVQeSBMp4uVURpNV6wbLVCBbHwKKz8HqfG3GIOSItCOAy40QSGoOCirmLPS0GhyjHNXq/Oce0eZYNxgBE4ECmtjWHACUXWHcvB1kYCFoABQ4MfgVRAQsIYwZKGAwIJ3t1X5dPRT2aSJwjCoVfoBqenxKnaCQdEQA7){kind=small}
.
In altre parole, la serie è compresa tra
Ora siccome entrambe le due serie divergono a più infinito (questo è il passaggio che non so come dimostrare a livello formale), per il teorema del confronto (carabinieri) allora anche la mia serie diverge.
Come sono andato?
Ciao Udar, questa domanda NON conta come Topic a pagamento. Perché non devo fare altro che dirti: molto bene, bravo! 
Non preoccuparti per il passaggio finale, perché è la parte più semplice. Solo non devi complicarti la vita... 
Ti basta osservare che hai minorato la serie con una serie
che è somma di un'infinità di termini positivi, tutti uguali tra loro. Stai sommando infinite volte lo stesso numero, la serie diverge necessariamente a infinito.
Non basta? Vuoi una dimostrazione rigorosa di questo fatto?
Hai una serie il cui termine generale non tende a zero per 
, infatti
(successione costante)
dunque essa non soddisfa la condizione di Cauchy necessaria per la convergenza. Dunque la serie non converge: o diverge, o oscilla.
Dato che si tratta di una serie a termini positivi non può oscillare. Concludiamo che diverge positivamente
Perfetto, grazie.
Giusto per vedere se ho capito bene, se invece a numeratore avessi avuto qualcosa del tipo
mi sarei trovato in un caso diverso dove questa volta il confronto era con due serie armoniche del tipo
![Σ_(i = 1)^(∞)(1)/([1,3]n^2)](/images/joomlatex/c/6/c689091f6960d09f4e90fbff3271956c.gif)
che invece, al contrario, portavano a convergenza. Dimmi che ci ho preso. 
In un caso del genere, certamente: puoi usare il criterio del confronto per le serie e concludere che la serie converge.
Occhio però, la notazione che hai scelto non va bene!
Puoi maggiorare la serie con
che è la serie armonica generalizzata, convergente.
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