Studio di funzione fratta con valore assoluto

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Studio di funzione fratta con valore assoluto #61908

avt
udar
Punto
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano sullo studio di funzioni con moduli. Ho letto alcune discussioni a riguardo sul forum, ma quasi tutte si limitavano a casi di un solo modulo.

Mi servirebbe qualche consiglio su come procedere nel caso di piu' moduli (se conviene studiare gli sviluppi separatamente o meno).

Ecco un esempio.

f(x) = \frac{|x-1|+|x-2|}{x+1}

Devo studiare la funzione analizzando dominio, massimi e minini, punti di flesso, asintoti, derivata prima e seconda, ed ovviamente realizzare il grafico.

Premesso che ho chiaro i singoli punti, mi incastro nella scelta di come partire. Potreste darmi un suggerimento? emt
Ringraziano: phigreco
 
 

Re: Studio di funzione fratta con valore assoluto #61911

avt
Ifrit
Ambasciatore
In pratica dobbiamo effettuare un vero e proprio studio della funzione

f(x)=\frac{|x-1|+|x-2|}{x+1}

Dominio della funzione

Dobbiamo richiedere che il denominatore della funzione sia diverso da zero.

x+1\ne 0 \implies x \ne -1

Il dominio della funzione è tutto \mathbb{R} escluso -1 che può essere espresso come:

\mbox{dom}(f)= (-\infty, -1)\cup (-1, +\infty)

Parità e disparità della funzione.

La funzione non può essere né pari né dispari perché il dominio non è simmetrico rispetto all'origine. Poco male continuiamo con lo studio di funzione.

Intersezione con gli assi

Asse delle ascisse: per l'asse x dobbiamo risolvere il sistema

\begin{cases}\displaystyle y = \frac{|x-1|+|x-2|}{x+1}\\ \displaystyle y= 0\end{cases}

che conduce all'equazione

|x-1|+ |x-2| = 0 \implies |x-1|= - |x-2|

Ora ragioniamo un momento, il primo membro è positivo o nullo, mentre il secondo membro è negativo o nullo, possiamo avere l'uguaglianza se e solo se entrambi i membri sono nulli contemporaneamente o detto in termini di sistema:

\begin{cases}\displaystyle |x-1|=0\\ \displaystyle |x-2|=0\end{cases}

Dalla prima equazione abbiamo che |x-1| =0 se e solo se x-1 = 0\implies x= 1 ma questo valore non annulla il secondo valore assoluto. Possiamo asserire, quindi, che |x-1|+ |x-2| non si annulla per alcun valore.

Asse delle ordinate: basta sostituire zero al posto della x nella nostra funzione, ottenendo l'ordinata del punto di intersezione

f(0) = \frac{|0-1|+|0-2|}{0+1}=3

La nostra funzione intersecherà l'asse y nel punto (0,3)

Studio del segno.

Dobbiamo studiare il segno della funzione e per farlo consideriamo la disequazione:

f(x)>0\implies \frac{|x-1|+|x-2|}{x+1} >0

Per risolvere questa disequazione fratta con valori assoluti.

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore separatamente:

- il numeratore è sempre positivo perché somma di valori quantità positive

|x-1|+|x-2|>0\mbox{ per ogni }x \in\mathbb{R}

- il denominatore invece è positivo per x>-1 infatti:

x+1> 0\implies x>-1

Costruendo la tabella dei segni concludiamo che f(x) è:

- positiva in (-1, + \infty)

- negativa in (-\infty , -1)

Studio dei limiti agli estremi del dominio: cominciamo con il limite per x\to -\infty

\\ \lim_{x\to -\infty} \frac{|x-1|+|x-2|}{x+1}= \lim_{x\to -\infty} \frac{1-x+2-x}{x+1}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to -\infty} \frac{3-2x}{x+1}= \lim_{x\to -\infty}\frac{x\left(\frac{3}{2}-2\right)}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}= -2

Notiamo che quando x tende a meno infinito, x-1\mbox{ e }x-2 tendono entrambi a meno infinito, quindi essi sono definitivamente negativi, ecco perché

\\ |x-1| =1-x\\ \\|x-2|=2-x

Ad ogni modo, dallo studio del limite comprendiamo che la funzione presenta un asintoto orizzontale di equazione y=-2.

Adesso studiamo i limiti destro e sinistro per x\to -1 usando semplicemente l'algebra degli infinitesimi.

\\ \lim_{x\to -1^{-}}\frac{ |x-1|+|x-2|}{x+1}= \left[\frac{5}{0^{-}}\right]= -\infty \\ \\ \lim_{x\to -1^{+}}\frac{ |x-1|+|x-2|}{x+1}= \left[\frac{5}{0^{+}}\right]= +\infty

Dal risultato dei due limiti si evince che x=-1 è un asintoto verticale.

Adesso manca il limite per x\to +\infty e che possiamo risolvere agevolmente osservando che in questo caso

\\ |x-1|=x-1 \\ \\ |x-2|=x-2

perché a differenza del limite per x\to -\infty, questa volta gli argomenti dei due valori assoluti sono positivi.

\\ \lim_{x\to +\infty}\frac{|x-1|+|x-2|}{x+1}=  \\ \\ \ =\lim_{x\to +\infty}\frac{x-1+ x-2}{x+1}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{2x-3}{x+1}= 2


Poiché il risultato è finito, allora f(x) possiede un asintoto orizzontale di equazione y= 2.

Studiamo ora la derivata prima della funzione ma prima scriviamo la funzione di partenza in modo diverso, utilizzando la definizione di valore assoluto. Studiamo il segno degli argomenti di ciascun valore assoluto:

\\ x-1\ge 0\implies x\ge 1 \\ \\ \\ x-2\ge 0\implies x\ge 2

Per definizione di valore assoluto abbiamo che:

\\ |x-1|=\begin{cases}1-x&\mbox{ se }x<1\\ x-1&\mbox{ se }x\ge 1\end{cases} \\ \\ \\ |x-2|= \begin{cases}2-x&\mbox{ se }x<2\\ x-2&\mbox{ se }x\ge 2\end{cases}

e dunque

|x-1|+|x-2|= \begin{cases}1-x+2-x&\mbox{ se }x<1\\ x-1+2-x&\mbox{ se }1\le x<2\\ x-1+x-2&\mbox{ se }x\ge 0\end{cases}

Sommiamo i termini simili

|x-1|+|x-2|= \begin{cases}3-2x&\mbox{ se }x<1\\ 1&\mbox{ se }1\le x<2\\ 2x-3&\mbox{ se }x\ge 2\end{cases}

e riscriviamo la funzione di partenza definita per rami

f(x)= \begin{cases}\displaystyle\frac{3-2x}{x+1}&\mbox{ se }-\infty<x<-1\vee-1<x<1\\ \\ \displaystyle\frac{1}{x+1}&\mbox{ se }1\le x<2\\ \\ \displaystyle\frac{2x-3}{x+1}&\mbox{ se }x\ge 2\end{cases}

Adesso possiamo calcolare la derivata nell'insieme

(-\infty, -1)\cup (-1,1)\cup (1, 2)\cup (2, +\infty)

(nota che abbiamo escluso i punti x= 1\mbox{ e }x= 2 perché sono punti di raccordo e si candidano come punti di non derivabilità)

Calcoleremo la derivata di ciascun ramo della funzione partendo dal primo, ossia per quello definito per x\in(-\infty, -1)\cup (-1,1)

\\ f'(x)=\frac{d}{dx}[f(x)]= \\ \\ \\ =\frac{d}{dx}\left[\frac{3-2x}{x+1}\right]=

Utilizziamo la regola di derivazione del quoziente

\\ =\frac{\frac{d}{dx}[3-2x]\cdot(x+1)-(3-2x)\cdot\frac{d}{dx}[x+1]}{(x+1)^2}= \\ \\ \\ = \frac{-2(x+1)-3+2x}{(x+1)^2}= \\ \\ \\ = -\frac{5}{(x+1)^2}

Per 1<x<2 la derivata prima è data da

\\ f'(x)=\frac{d}{dx}[f(x)]= \\ \\ \\ = \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x+1}\right]=

Portiamo al numeratore la potenza cambiando il segno all'esponente

\\ =\frac{d}{dx}[(x+1)^{-1}]= \\ \\ \\ = -(x+1)^{-2}=\\ \\ \\ = -\frac{1}{(x+1)^{2}}

Per x>2 deriveremo il terzo ramo di f(x)

\\ f'(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{2x-3}{x+1}\right]=\\ \\ \\ = -\frac{d}{dx}\left[\frac{3-2x}{x+1}\right]= \\ \\ \\ =\frac{5}{(x+1)^2}

In definitiva possiamo concludere che la derivata prima di f(x) è

f'(x)= \begin{cases}\displaystyle -\frac{5}{(x+1)^2}&\mbox{ se }-\infty<x<-1\vee-1<x<1\\ \\ \displaystyle -\frac{1}{(x+1)^2}&\mbox{ se }1< x<2\\ \\  \displaystyle\frac{5}{(x+1)^2}&\mbox{ se }x> 2\end{cases}

Ovviamente la funzione non ha senso chiedersi se x= -1 è un punto di non derivabilità perché non appartiene al dominio di f(x) perché questo valore non appartiene al dominio, dobbiamo però controllare i punti x= 1\mbox{ e }x=2.

Iniziamo con il punto x=1, studieremo la derivabilità facendo uso del teorema sul limite della derivata, ossia calcolando il limite destro e il limite sinistro della derivata prima:

\lim_{x\to 1^{-}}f'(x)= \lim_{x\to 1^{-}}-\frac{5}{(1+x)^2}= -\frac{5}{4}

mentre

\lim_{x\to 1^{+}}f'(x)= \lim_{x\to 1^{+}}-\frac{1}{(1+x)^2}= -\frac{1}{4}

Il limite destro e il limite sinistro della derivata esistono finiti ma non coincidono quindi x=1 è un punto di non derivabilità, in particolare abbiamo un punto angoloso.

Utilizziamo lo stesso procedimento per x=2

\lim_{x\to 2^{-}}f'(x)= \lim_{x\to 2^{-}}-\frac{1}{(1+x)^2}= -\frac{1}{9}

mentre

\lim_{x\to 2^{+}}f'(x)= \lim_{x\to 2^{+}}\frac{5}{(1+x)^2}= \frac{5}{9}

Anche il punto x= 2 è un punto angoloso perché il limite destro e il limite sinistro della derivata prima per x= 2 esistono finiti ma non coincidono.

Benissimo, ora possiamo studiare gli zeri della derivata prima, essi si candideranno come punti di massimo o di minimo.

Dovrai studiare gli zeri per ciascun ramo della derivata prima:

f'(x)=0

Cominciamo con il primo ramo:

\bullet \ \ -\frac{5}{(1+x)^2}=0\mbox{ con }x\in (-\infty, -1)\cup (-1,1)

Questa equazione non ha soluzioni, perché il numeratore non si annulla mai.

\bullet \ \ -\frac{1}{(1+x)^2}=0\mbox{ con }x\in (1, 2)

Anche qui come per il caso precedente il numeratore è mai nullo.

\bullet \ \ \frac{5}{(1+x)^2}=0\mbox{ con }x\in (2,+\infty)

Anche qui, il numeratore è mai nullo, quindi la derivata prima non si annulla per alcun valore del dominio!

Attenzione questo non vuol dire che non abbiamo punti di massimo o punti di minimo, dobbiamo controllare la natura dei punti di non derivabilità, i punti angolosi infatti possono essere punti di massimo o punti di minimo relativo.

Per comprendere la loro natura studiamo il segno della derivata prima, essa ci dirà anche gli intervalli in cui la funzione di partenza cresce o decresce.

f'(x)>0, ovviamente dobbiamo studiare ciascun ramo emt

In (-\infty, -1)\cup (-1,1) il ramo da considerare è:

f'(x)=-\frac{5}{(1+x)^2}

ed è sempre negativo perché quoziente di quantità discordi. Il denominatore è infatti positivo perché quadrato con base mai nulla nel dominio.

In (1,2) il ramo della funzione è:

f'(x)= -\frac{1}{(x+1)^2}

e come prima questo ramo è sempre negativo perché il numeratore e il denominatore sono positivi ma il segno meno rende il loro rapporto negativo.

In (2,+\infty) la derivata prima è:

f'(x)= \frac{5}{(1+x)^2}

La derivata prima in questo caso è sempre positiva, perché rapporto di quantità positive.

Perfetto, possiamo asserire che la derivata prima è:

- negativa in

(-\infty, -1)\ \mbox{ in }(-1,1)\mbox{ e in }(1,2)

- positiva in (2, +\infty)

Di conseguenza la funzione di partenza è:

- decrescente in

(-\infty, -1)\ \mbox{ in }(-1,1)\mbox{ e in }(1,2)

- crescente in (2, +\infty)

e dunque il punto x=2, oltre ad essere un punto angoloso è anche un punto di minimo relativo.

Adesso studiamo la derivata seconda, così otterremo gli insiemi in cui la funzione è concava e gli insiemi in cui è convessa.

Concavità e convessità

Per prima cosa dobbiamo calcolare la derivata seconda applicando le dovute regole di derivazione a ciascun ramo di f'(x), in particolare

- se x\in (-\infty, -1)\cup (-1,1) allora

\\ f''(x)=\frac{d}{dx}[f'(x)]= \\ \\ \\ =\frac{d}{dx}\left[-\frac{5}{(x+1)^2}\right]= \\ \\ \\ =\frac{d}{dx}[-5 (x+1)^{-2}]=

Applicando la regola di derivazione della potenza otteniamo la derivata seconda del primo ramo

=-5\cdot(-2)\cdot(x+1)^{-3}=-\frac{10}{(x+1)^3}

- se 1<x<2 allora

\\ f''(x)=\frac{d}{dx}[f'(x)]= \\ \\ \\ =\frac{d}{dx}\left[-\frac{1}{(x+1)^2}\right]= \\ \\ \\ = \frac{d}{dx}[-(x+1)^{-2}]= \\ \\ \\ = -1\cdot (-2)\cdot (x+1)^{-3}= \\ \\ \\ =\frac{2}{(x+1)^3}

- se x>2 allora deriveremo il terzo ramo della derivata prima

\\ f''(x)=\frac{d}{dx}[f'(x)]= \\ \\ \\ =\frac{d}{dx}\left[\frac{5}{(x+1)^2}\right]= \\  \\ \\ = \frac{d}{dx}[5 (x+1)^{-2}]= \\ \\ \\ = 5(-2)\cdot (x+1)^{-3}= \\ \\ \\ =-\frac{10}{(x+1)^3}

In definitiva l'espressione della derivata seconda è

f''(x)= \begin{cases}\displaystyle\frac{10}{(1+x)^3}&\mbox{ se }x\in (-\infty, -1)\cup (-1,1)\\ \\ \displaystyle\frac{2}{(1+x)^3}&\mbox{ se }x\in (1,2)\\ \\ \displaystyle -\frac{10}{(1+x)^3}&x\in (2, +\infty)\end{cases}

Studiamo il segno di ciascun ramo cominciando dal primo, definito per x\in (-\infty,-1)\cup (-1,1):

f''(x)>0\iff \frac{10}{(1+x)^3}>0

Nota che il numeratore è sempre positivo, il segno di questo ramo dipende dal denominatore:

f''(x)>0\iff (1+x)^3>0\iff x+1>0\iff x>-1

quindi possiamo asserire che questo ramo è

-positivo quando x\in (-1,1);

-negativo quando x\in (-\infty, -1).

La funzione è di partenza è

- convessa in (-1,1);

- concava in (-\infty, -1).

Studiamo ora il segno del secondo ramo: quando x\in (1,2) dobbiamo studiare la disequazione

f''(x)>0\implies \frac{2}{(1+x)^3}>0

essa è sempre soddisfatta in (1,2) perché il numeratore e il denominatore è sempre positivo in questo intervallo.

Possiamo concludere che f(x) è sempre convessa in (1,2).

Infine studiamo l'ultimo ramo della derivata seconda: in (2,+\infty) dobbiamo studiare il segno di

f''(x)= -\frac{10}{(1+x)^3}

Nota che il numeratore è sempre positivo, anche il denominatore è sempre positivo nell'intervallo considerato, quindi il rapporto è sempre positivo, ma attenzione, il segno meno davanti alla frazione cambia le carte in tavola! Possiamo concludere che questo ramo è sempre negativo in (2, +\infty) di conseguenza la funzione è concava in (2, +\infty).

A breve il grafico.

grafico studio di funzione con doppio valore assoluto


In rosso l'asintoto orizzontale destro

In verde l'asintoto orizzontale sinistro

In blu l'asintoto verticale.

Nota che x=2 è sia punto angoloso che punto di minimo relativo. Spero sia tutto chiaro.
Ringraziano: Galois, CarFaby
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