Eccentricità di una curva di livello

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Eccentricità di una curva di livello #61568

avt
costy
Punto
Ci risono con le curve di livello: questa volta ho un campo scalare in due variabili e devo calcolare l'eccentricità di una specifica curva di livello. Ecco il testo

F(x,y) = 4 - (1 + 4x^{2} + 3y^{2})

Una delle richieste dell'esercizio è: calcolare l'eccentricità della curva di livello 2 di F, e calcolare gli estremi del campo scalare, soggetti al vincolo

x^{2} + y^{2} - 1=0


Sperando che abbia fatto i ragionamenti giusti all'inizio...cioè che stiamo parlando di un'ellisse con centro nell'origine e assi sugli assi cartesiani, vi chiedo come si calcola l'eccentricità?

E nel caso degli estremi, il prof ha fatto notare il fatto che Lagrange non serve...perché?Mille grazie ancora!
 
 

Eccentricità di una curva di livello #61573

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Costy emt

Il tempo di scrivere la risposta e arrivo

[Nota ai lettori - questo topic viene pubblicato con i privilegi del pacchetto MINIMAL. Non è richiesto un tentativo di svolgimento, e la richiesta viene presa in carico con priorità assoluta.]

Eccentricità di una curva di livello #61590

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, abbiamo la funzione di due variabili:

f(x, y)= 4 - (1+4x^2+3y^2)

Per prima cosa determiniamo la curva di livello 2 così definita:

S_{2}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: f(x,y)=2\right\}

=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:  4 - (1+4x^2+3y^2)=2\right\}

S_2 è quindi l'insieme dei punti del piano cartesiano che soddisfano l'equazione:

4-(1+4x^2+3y^2)=2

Riscriviamo meglio questa equazione:

4-1-4x^2-3y^2= 2

-4x^2-3 y^2= -1\implies 4x^2+3 y^2= 1

Se guardi attentamente, abbiamo ottenuto l'equazione di un'ellisse di centro (x_0, y_0)=(0,0).

L'equazione dell'ellisse si scrive in forma canonica come:

\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+ \frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1

Abbiamo espresso l'equazione nella forma:

\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1

Nel nostro caso:

a^2= \frac{1}{4}

b^2= \frac{1}{3}

Poiché a^2<b^2 allora le coordinate dei fuochi sono dati da:

F_1=(0,-c),\,\, F_2= (0,c)

dove c= \sqrt{b^2-a^2}= \sqrt{\frac{1}{3}- \frac{1}{4}}= \frac{1}{2\sqrt{3}}

L'eccentricità dell'ellisse è data dalla relazione:

e= \frac{c}{b}= \frac{\frac{1}{2\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}= \frac{1}{2}

(queste relazioni le trovi nella lezione che ti ho linkato, ti assicuro che non è difficile)

Possiamo quindi asserire che S_{2} è un'ellisse di centro (0,0) e eccentricità e= \frac{1}{2}.

Calcolo degli estremi del campo scalare

Il tuo professore ha ragione, non è necessario procedere con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, infatti il vincolo:

x^2+ y^2= 1

è facilmente parametrizzabile. Prima di passare ai conti veri e propri, vorrei farti notare che quella che abbiamo scritto è l'equazione della circonferenza di centro (0,0) e raggio r=1.

Essa può essere parametrizzata ponendo:

x= \cos(t)

y= \sin(t)

con t\in [0, 2\pi)
]
Abbiamo utilizzato le coordinate polari.

Sostituiamo ad ogni occorrenza di x, cos(t) e ad ogni occorrenza di y, sin(t) nella funzione di partenza, così da ottenere una funzione nella sola variabile t:

g(t)= f(\cos(t), sin(t))=

=3-4\cos^2(t)-3\sin^2(t)

Dalla relazione fondamentale della trigonometria sappiamo che:

\sin^2(t)+\cos^2(t)= 1\quad\forall t\in\mathbb{R}

da cui:

\sin^2(t)= 1-\cos^2(t)

Pertanto:

g(t)=3-4\cos^2(t)-3\overbrace{\sin^2(t)}^{1-\cos^2(t)}= 3-4\cos^2(t)- 3(1-\cos^2(t))=

= 3-4\cos^2(t)- 3+ 3\cos^2(t)= -\cos^2(t)\mbox{ con }t\in [0, 2\pi)

Benissimo! Siamo passati da una funzione di due variabili ad una in una variabile, il vantaggio è enorme perché possiamo utilizzare i metodi per determinare i punti stazionari per le funzioni di una variabile.

[b]Massimi e minimi[/b]

Per determinare i massimi e minimi della funzione g(t), calcoliamo la derivata prima:

g'(t)=D[-\cos^2(t)]= -D[\cos^2(t)]= -2\cos(t)\cdot(-\sin(t))= 2\cos(t)\sin(t)

Per determinare la derivata devi semplicemente utilizzare il metodo di derivazione per funzioni composte. Naturalmente devi conoscere anche le derivate fondamentali emt

Vediamo per quali valori di t\in (0, 2\pi) la derivata prima si annulla:

g'(t)= 0\iff 2\cos(t)\sin(t)=0

Per la legge di annullamento del prodotto, la derivata prima si annulla se e solo se almeno uno dei fattori si annulla:

\cos(t)= 0\implies t= \frac{\pi}{2}\vee t= \frac{3}{2}\pi

\sin(t)=0\implies t=\pi

I candidati punti stazionari interni all'insieme [0, 2\pi) sono

t_1= \frac{\pi}{2}\vee t_2= \pi\vee t= \frac{3}{2}\pi

Studiamo il segno della derivata prima per determinare la natura dei punti stazionari:

Impostiamo quindi la disequazione

g'(x)>0\iff 2\cos(t)\sin(t)>0

Studiamo il segno di ciascun fattore presente nella disequazione nell'intervallo (0,2\pi)

\cos(t)>0\iff t\in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{3}{2}\pi, 2\pi\right)

Mentre

\sin(t)>0\iff  0<t<\pi

A questo punto tabuliamo i segni:

\begin{matrix}\cos(t)&:& 0&+++&\frac{\pi}{2}&---&\pi&---&\frac{3}{2}\pi&+++&2\pi\\ \sin(t)&:& 0&+++&\frac{\pi}{2}&+++&\pi&---&\frac{3}{2}\pi&---&2\pi\\ tot&:&0&+++&\frac{\pi}{2}&---&\pi&+++&\frac{3}{2}\pi&---&2\pi\end{matrix}

In definitiva scopriamo che la funzione g è

- crescente in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) e in \left(\pi, \frac{3}{2}\pi\right)
- decrescente in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)
- si annulla per t= \frac{\pi}{2}, in t= \pi in t= \frac{3}{2}\pi

Possiamo quindi asserire che

t= \frac{\pi}{2} è un punto di massimo relativo, il massimo relativo associato è:

g\left(\frac{\pi}{2}\right)=0

t= \pi è un punto di minimo relativo, il minimo relativo associato è:

g(\pi)= -1

t= \frac{3}{2}\pi è un punto di massimo relativo, il massimo relativo associato è :

g\left(\frac{3}{2}\pi\right)=0

Inoltre t= 0 è un punto di minimo relativo, il minimo associato è:

g(0)= -1

Ottimo, abbiamo quasi finito, confrontando i valori scopriamo che in effetti:

t=0\,\,  t= \pi sono punti di minimo assoluto.

t=\frac{\pi}{2}\,\, t= \frac{3}{2}\pi sono punti di massimo assoluto per la funzione g.

Adesso però dobbiamo determinare i punti di massimo e di minimo associati alla funzione di due variabili f(x,y), niente di più facile, è sufficiente sostituire i valori di t determinati in precedenza nelle coordinate polari che abbiamo utilizzato:

Se t= 0 allora (x_0, y_0)= (\cos(0), \sin(0))= (1,0) è un punto di minimo assoluto per la funzione f(x,y)

Se t= \frac{\pi}{2} allora (x_1, y_1)= \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right), \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)= (0,1) è un punto di massimo assoluto per la funzione f(x,y)


Se t= \pi allora (x_2, y_2)= \left(\cos\left(\pi\right), \sin\left(\pi\right)\right)= (-1,0) è un punto di minimo assoluto per la funzione f(x,y)

Se t= \frac{3}{2}\pi allora (x_3, y_3)= \left(\cos\left(\frac{3}{2}\pi\right), \sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)\right)= (0,-1) è un punto di massimo assoluto per la funzione f(x,y)

Abbiamo concluso l'analisi :)
Ringraziano: Omega, CarFaby, costy
  • Pagina:
  • 1
Os