Punti di una curva di livello con curvatura data

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Punti di una curva di livello con curvatura data #61058

avt
costy
Punto
Buonasera a tutti! Ecco un esercizio completo su curve di livello, integrali doppi e il calcolo dei punti in cui una curva di livello ha curvatura assegnata.

E' tratto da un esame scritto che ho svolto: il prof ha dato l'ennesimo esercizio con un campo scalare, ma come sempre ha detto che nessuno era riuscito a svolgerlo nel modo corretto e completo.

Vi chiedo perciò se è possibile vedere la risoluzione completa di un esercizio di questo genere:


Sia dato il campo scalare bidimensionale: f(x,y) = 4x^2 - y^2 per ogni (x,y) \in \mathbb{R}^2:

- individuare le curve di livello di f e rappresentare la superficie S di equazione z = f(x,y).

- Calcolare l'integrale doppio della funzione F(x,y) sulla regione piana x^2 + y^2 \leq 1. cosa misura il suo valore numerico?

- Stabilire i punti di curvatura k=1 della curva di livello 4x^2-y^2=2.


Vi ringrazio in anticipo!
 
 

Punti di una curva di livello con curvatura data #61064

avt
Omega
Amministratore
Ciao Costy, arrivo a risponderti...

Nota: data la lunghezza dell'esercizio, non mi dilungherò troppo sui calcoli. Eventualmente poi potrai chiedere ulteriori spiegazioni. emt


[Nota ai lettori - questo topic viene pubblicato con i privilegi del pacchetto MINIMAL. Non è richiesto un tentativo di svolgimento, e la richiesta viene presa in carico con priorità assoluta.]

Punti di una curva di livello con curvatura data #61079

avt
Omega
Amministratore
Eccoci emt

1) Curve di livello del grafico della funzione

Abbiamo una funzione a due variabili z=f(x,y), il cui grafico è una superficie in \mathbb{R}^3. Le curve di livello di tale superficie sono le curve che si ottengono intersecando il grafico della funzione con piani del tipo z=c, dunque piani paralleli al piano Oxy.

In buona sostanza le curve di livello della funzione sono le curve descritte dalle equazioni della forma

f(x,y)=c

al variare di c\in\mathbb{R}. Tale valore è da considerarsi alla stregua di un parametro.

Consideriamo dunque l'equazione parametrica

4x^2-y^2=c

cosa rappresenta tale equazione? Ci vuole un po' di occhio e soprattutto una discreta conoscenza delle equazioni canoniche dei principali luoghi geometrici piani. Se ne conosciamo le equazioni dovremmo avere il sospetto che, in linea di massima, ci troviamo di fronte ad un'iperbole (click!).

In effetti è così!

Se c>0, ci troviamo di fronte ad un'iperbole con gli assi di simmetria che coincidono con gli assi cartesiani, e tale da intersecare l'asse delle ascisse. Possiamo infatti riscriverla nella forma

\frac{x^2}{\frac{c}{4}}-\frac{y^2}{c}=1


Se c<0, abbiamo un'iperbole con gli assi di simmetria che coincidono con gli assi cartesiani e tale da intersecare l'asse delle ordinate. Per vederlo possiamo riscriverla come

\frac{x^2}{\frac{c}{4}}-\frac{y^2}{c}=-1


Infine se c=0 abbiamo l'equazione

4x^2-y^2=0\ \to\ y^2=4x^2\ \to\ y=\pm 2x

che individua una coppia di rette passanti per l'origine.


Bene: possiamo usare le curve di livello per dare una rappresentazione sommaria della superficie individuata da z=4x^2-y^2. Per farlo dobbiamo solo "scorrere" l'asse delle quote z e tenere a mente il tipo di curva che individua l'equazione z=4x^2-y^2 a quella quota


superficie paraboloide iperbolico



2) Integrale doppio

Vogliamo calcolare l'integrale doppio

\int\int_D f(x,y)dxdy

dove D:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mbox{ t.c. }x^2+y^2\leq 1\}.


Il dominio di integrazione è molto semplice da riconoscere: esso rappresenta la regione interna alla circonferenza di centro l'origine degli assi e raggio unitario.

\int\int_D f(x,y)dxdy

Ci conviene passare ad un riferimento di coordinate polari

\begin{cases}x=\rho\cos(\theta)\\ y=\rho\sin(\theta)\end{cases}

per cui il dominio di integrazione diventa

\{(\rho,\theta)\mbox{ t.c. }0\leq \rho\leq 1,\ 0\leq \theta<2\pi}

e la funzione integranda diventa

\tilde{f}(\rho,\theta)=4\rho^2\cos^2(\theta)-\rho^2\sin^2(\theta)

per quanto riguarda l'elemento infinitesimale d'integrazione

dxdy\ \to\ \rho d\rho d\theta

Scriviamo l'integrale nel riferimento polare

\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}[4\rho^2\cos^2(\theta)-\rho^2\sin^2(\theta)]\rho d\theta d\rho=

=\int_0^1\left[\rho^3\int_{0}^{2\pi}4\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)\right]=

Applichiamo l'identità fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche)

=\int_0^1\left[\rho^3\int_{0}^{2\pi}5\cos^2(\theta)-1\right]

A questo punto l'integrale è facile, a patto di saper calcolare l'integrale del coseno al quadrato. Da qui in poi lascio a te il calcolo dell'integrale doppio, che così com'è scritto richiede la sola conoscenza delle strategie basilari dell'integrazione monodimensionale.

Se dovessi avere dubbi o difficoltà, puoi naturalmente dirmelo così vediamo come procedere. emt

Ti lascio il risultato: \frac{3\pi}{4}.


3) Punti di curvatura nota per una specifica curva di livello

Consideriamo la curva di livello

4x^2-y^2=2

e forniamone una rappresentazione parametrica. Possiamo fare riferimento in totale tranquillità alle coordinate iperboliche

\begin{cases}x=a\cosh(t)\\ y=b\sinh(t)\end{cases}

dove a,b sono i coefficienti che compaiono nell'equazione cartesiana dell'iperbole

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

dunque nel nostro caso

\frac{x^2}{\frac{2}{4}}-\frac{y^2}{2}=1

e ne deduciamo che a=\frac{1}{\sqrt{2}},\ b=\sqrt{2}. Scegliamo come parametrizzazione della curva di livello considerata

\begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt{2}}\cosh(t)\\ y=\sqrt{2}\sinh(t)\end{cases}

ossia P(t)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cosh(t),\sqrt{2}\sinh(t)\right).


Calcoliamo la curvatura in un generico punto della curva: ci basta fare riferimento alla formula per la curvatura di una curva espressa in coordinate parametriche

\kappa(t) = \frac{\left|\det\left[\begin{matrix} x'(t) & y'(t) \\ x''(t) & y''(t) \end{matrix}\right]\right|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{\frac{3}{2}}}

Calcoliamo quindi le derivate prime delle coordinate parametriche

P'(t)=(x'(t),y'(t))=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sinh(t),\sqrt{2}\cosh(t)\right)

le derivate seconde

P''(t)=(x''(t),y''(t))=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cosh(t),\sqrt{2}\sinh(t)\right)

(magari un ripassino sul seno iperbolico e sul coseno iperbolico potrebbe tornare utile emt )

\kappa(t) = \frac{\left|\det\left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\sinh(t) & \sqrt{2}\cosh(t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\cosh(t) & \sqrt{2}\sinh(t) \end{matrix}\right]\right|}{(\frac{1}{2}\sinh^2(t)+2\cosh^2(t))^{\frac{3}{2}}}

Il calcolo del determinante è immediato

\kappa(t) = \frac{\left|\sinh^2(t)-\cosh^2(t) \right|}{(\frac{1}{2}\sinh^2(t)+2\cosh^2(t))^{\frac{3}{2}}}

Non dimentichiamoci che vale l'identità fondamentale delle funzioni iperboliche!

\cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1

quindi, in definitiva, la curvatura in un generico punto della curva è

\kappa(t) = \frac{1}{(\frac{1}{2}\sinh^2(t)+2\cosh^2(t))^{\frac{3}{2}}}

Non ci resta che considerare l'equazione per cercare i punti in cui la curvatura è 1

\kappa(t) = 1

da cui

\frac{1}{(\frac{1}{2}\sinh^2(t)+2\cosh^2(t))^{\frac{3}{2}}}=1

\frac{1}{\frac{1}{2}\sinh^2(t)+2\cosh^2(t)}=1

\frac{1-\frac{1}{2}\sinh^2(t)-2\cosh^2(t)}{\frac{1}{2}\sinh^2(t)+2\cosh^2(t)}=0

Si tratta di un'equazione fratta che puoi ricondurre ad un'equazione esponenziale facendo riferimento alle definizioni di seno e coseno iperbolici:

\sinh{(x)}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\ \ \ \ \ \cosh{(x)}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}


Anche in questo caso non dovresti avere problemi. I calcoli sono solamente noiosi, non complicati. emt
Ringraziano: CarFaby

Punti di una curva di livello con curvatura data #61085

avt
costy
Punto
Grazie Mille!!!!!!! emt emt emt
Ringraziano: Omega
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