Sistema di equazioni con valore assoluto e radice

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Sistema di equazioni con valore assoluto e radice #102143

Icanboogie Punto	Mi potete spiegare come risolvere questo sistema di equazioni con un'equazione con modulo e un'equazione con radice? Grazie mille

Re: Sistema di equazioni con valore assoluto e radice #102152

Ifrit

Amministratore

Per risolvere il sistema di equazioni

x^(2) = vert x^(2)-5x vert+3 ; √(x^(2)+5)+3-x = 0

conviene procedere in questo modo:

- esaminiamo una delle due equazioni (scegliamo naturalmente quella più semplice da risolvere) e ne ricaviamo le eventuali soluzioni;

- sostituiamo ciascuna soluzione ottenuta nell'altra equazione: se è soluzione di entrambe le equazioni, allora è soluzione del sistema; in caso contrario non lo è.

Equazione con valore assoluto

Risolviamo l'equazione con valore assoluto

Per farlo analizziamo il segno dell'argomento studiando la disequazione di secondo grado

Invece di usare la formula del delta, procediamo con un raccoglimento totale: mettiamo in evidenza

dopodiché analizziamo i segni dei fattori al primo membro

• x ≥ 0 ; • x-5 ≥ 0 → x ≥ 5

Riportandoli in una tabella

beginarrayc|ccccc 0 5 ; hline ; x --- 0 +++ + +++; ; x-5 --- - --- 0 +++; ; hline ; x(x-5) +++ 0 --- 0 +++ endarray

e usando la regola dei segni scopriamo che l'argomento del valore assoluto è:

- positivo o nullo se e solo se

- negativo se e solo se

Dalla definizione di modulo segue immediatamente che se

allora l'argomento del modulo è maggiore o uguale di zero, per cui il valore assoluto è superfluo: l'equazione

diventa

Trasportando tutti i termini al primo membro e sommando tra loro i monomi simili

x^2-x^2+5x-3 = 0 ; 5x-3 = 0 → x = (3)/(5)

Attenzione! Il valore ottenuto è un falso positivo perché non rispetta il vincolo

pertanto non è soluzione dell'equazione!

Se

, allora l'argomento del modulo è negativo: ciò vuol dire che possiamo eliminare il simbolo di valore assoluto, a patto di cambiare il segno a termini che racchiude.

In questa caso l'equazione

diventa

da cui otteniamo l'equazione di secondo grado

Indichiamo con

rispettivamente il coefficiente del termine in

, quello del termine in

e il termine noto, poniamo cioè

e calcoliamo il delta dell'equazione

Δ = b^2-4·a·c = (-5)^2-4·2·(-3) = 25+24 = 49

Poiché il delta è positivo, l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte e si ottengono con la formula

x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-(-5)±√(49))/(2·2) = (5±7)/(4) = (5-7)/(4) = -(2)/(4) = -(1)/(2) = x_1 ; (5+7)/(4) = (12)/(4) = 3 = x_2

x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-(-5)±√(49))/(2·2) = (5±7)/(4) = (5-7)/(4) = -(2)/(4) = -(1)/(2) = x_1 ; (5+7)/(4) = (12)/(4) = 3 = x_2

Attenzione! Il valore

non rispetta il vincolo

perciò è un falso positivo: non è soluzione dell'equazione con valore assoluto. È invece soluzione

.

In definitiva l'unico numero reale che soddisfa l'equazione con il valore assoluto è

: essa è soluzione del sistema se e solo se soddisfa l'equazione irrazionale

Invece di risolverla, controlliamo se

soddisfa l'equazione. Sostituiamo 3 al posto di

e svolgiamo i calcoli: se l'uguaglianza è soddisfatta vorrà dire che

soddisfa entrambe le equazioni e, in quanto tale, è soluzione del sistema. Se così non fosse, vorrà dire che il sistema non ammette soluzioni.

Conclusioni

Il sistema non ammette soluzioni, perciò è impossibile (l'insieme delle soluzioni coincide con l'insieme vuoto).

È fatta!

Ringraziano: Icanboogie

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