Sistema di equazioni con valore assoluto e radice

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Sistema di equazioni con valore assoluto e radice #102143

avt
Icanboogie
Punto
Mi potete spiegare come risolvere questo sistema di equazioni con un'equazione con modulo e un'equazione con radice?

\begin{cases}x^{2}=\left\vert x^{2}-5x\right\vert  +3\\ \\ \sqrt{x^{2}+5} +3-x=0\end{cases}

Grazie mille
 
 

Re: Sistema di equazioni con valore assoluto e radice #102152

avt
Ifrit
Amministratore
Per risolvere il sistema di equazioni

\begin{cases}x^{2}=\left\vert x^{2}-5x\right\vert  +3\\ \\ \sqrt{x^{2}+5} +3-x=0\end{cases}

conviene procedere in questo modo:

- esaminiamo una delle due equazioni (scegliamo naturalmente quella più semplice da risolvere) e ne ricaviamo le eventuali soluzioni;

- sostituiamo ciascuna soluzione ottenuta nell'altra equazione: se è soluzione di entrambe le equazioni, allora è soluzione del sistema; in caso contrario non lo è.


Equazione con valore assoluto

Risolviamo l'equazione con valore assoluto

x^{2}=\left\vert x^{2}-5x\right\vert  +3

Per farlo analizziamo il segno dell'argomento studiando la disequazione di secondo grado

x^2-5x\ge 0

Invece di usare la formula del delta, procediamo con un raccoglimento totale: mettiamo in evidenza x

x(x-5)\ge 0

dopodiché analizziamo i segni dei fattori al primo membro

\\ \bullet \ \ \ x\ge 0 \\ \\ \bullet \ \ \ x-5\ge 0\ \ \ \to \ \ \ x\ge 5

Riportandoli in una tabella

\begin{array}{c|ccccc}&&0&&5&\\ \hline &&&&&\\ x&---&0&+++&+&+++\\ &&&&&\\ x-5&---&-&---&0&+++\\&&&&& \\ \hline&&&&&\\ x(x-5)&+++&0&---&0&+++\end{array}

e usando la regola dei segni scopriamo che l'argomento del valore assoluto è:

- positivo o nullo se e solo se

x\le 0 \ \ \ \vee \ \ \ x\ge 5

- negativo se e solo se

0<x<5

Dalla definizione di modulo segue immediatamente che se

x\le 0 \ \ \ \vee \ \ \ x\ge 5

allora l'argomento del modulo è maggiore o uguale di zero, per cui il valore assoluto è superfluo: l'equazione

x^2=|x^2-5x|+3

diventa

x^2=x^2-5x+3

Trasportando tutti i termini al primo membro e sommando tra loro i monomi simili

\\ x^2-x^2+5x-3=0\\ \\ 5x-3=0 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{3}{5}

Attenzione! Il valore ottenuto è un falso positivo perché non rispetta il vincolo

x\le 0 \ \ \ \vee \ \ \ x\ge 5

pertanto non è soluzione dell'equazione!

Se 0<x<5, allora l'argomento del modulo è negativo: ciò vuol dire che possiamo eliminare il simbolo di valore assoluto, a patto di cambiare il segno a termini che racchiude.

In questa caso l'equazione

x^2=|x^2-5x|+3

diventa

\\ x^2=-(x^2-5x)+3 \\ \\ x^2=-x^2+5x+3

da cui otteniamo l'equazione di secondo grado

2x^2-5x-3=0

Indichiamo con a,b,c rispettivamente il coefficiente del termine in x^2, quello del termine in x e il termine noto, poniamo cioè

a=2 \ \ \ ; \ \ \ b=-5 \ \ \ ; \ \ \ c=-3

e calcoliamo il delta dell'equazione

\\ \Delta=b^2-4\cdot a \cdot c= (-5)^2-4\cdot 2\cdot (-3)=\\ \\ =25+24=49

Poiché il delta è positivo, l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte e si ottengono con la formula

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-5)\pm \sqrt{49}}{2\cdot 2}=\\ \\ \\ =\frac{5\pm 7}{4}=\begin{cases}\dfrac{5-7}{4}=-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}=x_1\\ \\ \dfrac{5+7}{4}=\dfrac{12}{4}=3=x_2\end{cases}

Attenzione! Il valore x=-\frac{1}{2} non rispetta il vincolo 0<x<5 perciò è un falso positivo: non è soluzione dell'equazione con valore assoluto. È invece soluzione x=3.

In definitiva l'unico numero reale che soddisfa l'equazione con il valore assoluto è x=3: essa è soluzione del sistema se e solo se soddisfa l'equazione irrazionale

\sqrt{x^{2}+5} +3-x=0

Invece di risolverla, controlliamo se x=3 soddisfa l'equazione. Sostituiamo 3 al posto di x

\sqrt{3^2+5}+3-3=0

e svolgiamo i calcoli: se l'uguaglianza è soddisfatta vorrà dire che x=3 soddisfa entrambe le equazioni e, in quanto tale, è soluzione del sistema. Se così non fosse, vorrà dire che il sistema non ammette soluzioni.

\sqrt{9+5}=0\ \ \ \to \ \ \ \sqrt{14}=0 \ \mbox{impossibile}


Conclusioni

Il sistema non ammette soluzioni, perciò è impossibile (l'insieme delle soluzioni coincide con l'insieme vuoto).

S=\emptyset

È fatta!
Ringraziano: Icanboogie
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Os