Disequazione fratta con denominatori di secondo grado

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Disequazione fratta con denominatori di secondo grado #102142

avt
Icanboogie
Punto
Ho un problema con questa disequazione fratta con denominatori di secondo grado. Potreste spiegarmi come risolverla?

(2)/(x^(2)-9)-(1)/(x^(2)-3x) ≥ 0

Grazie per il vostro aiuto!
 
 

Disequazione fratta con denominatori di secondo grado #102146

avt
Omega
Amministratore
Eccoci, vediamo come risolvere.

Abbiamo a che fare con una disequazione razionale fratta

(2)/(x^(2)-9)-(1)/(x^(2)-3x) ≥ 0

Procediamo con la risoluzione: scomponiamo i due denominatori. Il primo è una differenza di quadrati

x^2-9 = (x-3)(x+3)

Per il secondo applichiamo un raccoglimento a fattore comune

x^2-3x = x(x-3)

Riscriviamo la disequazione

(2)/((x-3)(x+3))-(1)/(x(x-3)) ≥ 0

Calcoliamo la differenza tra frazioni algebriche a primo membro

(2x-(x+3))/(x(x-3)(x+3)) ≥ 0

da cui

(2x-x-3)/(x(x-3)(x+3)) ≥ 0 ; (x-3)/(x(x-3)(x+3)) ≥ 0

Attenzione al tranello: se semplificassimo il termine (x-3) tra numeratore e denominatore, senza porci problemi, perderemmo traccia della relativa condizione di esistenza dovuta al termine del denominatore.

In sintesi possiamo semplificare (x-3), ma non prima di aver imposto la condizione

x-3 ≠ 0 → x ≠ 3

A livello di grafico della disequazione, si tradurrà in una linea piena su cui dovremo cancellare il valore x = 3.

Proseguiamo

(1)/(x(x+3)) ≥ 0 (•)

studiamo separatamente i segni di numeratore e denominatore.

Indipendentemente dal simbolo della disequazione, poniamo il numeratore maggiore-uguale a zero:

N ≥ 0) 1 ≥ 0 → ∀ x∈R

Infatti il numeratore è un numero positivo e dunque certamente maggiore o uguale a zero: nel grafico della disequazione avremo una linea piena.

Indipendentemente dal simbolo della disequazione, poniamo il denominatore maggiore di zero (e non anche uguale, perché non deve annullarsi):

D > 0) x(x+3) > 0

Applichiamo la regola dei segni per le disequazioni:

x > 0 ; x+3 > 0 → x > -3

Mettiamo tutto insieme in un grafico con linee piene per segno + e linee tratteggiate per segno -, e cerchiamo i valori dell'incognita per cui vale (•), ossia tali da rendere il rapporto maggiore o uguale a zero. In questo modo ricaviamo l'insieme delle soluzioni:

x < -3 ∨ 0 < x < 3 ∨ x > 3

e abbiamo finito.
Ringraziano: Icanboogie
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Os