Sistema di disequazioni con disequazioni di secondo e terzo grado

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Sistema di disequazioni con disequazioni di secondo e terzo grado #102141

avt
Icanboogie
Punto
Avrei necessità di risolvere questo sistema di disequazioni composto da una disequazione di secondo grado e una disequazione di terzo grado:

\begin{cases}x(x-3)+\frac{2}{3} x(2-x)>10-2x\\ \\(x^{2}-4)(x^{3}-5x^{2}+6x)\geq 0\end{cases}

Grazie per il vostro aiuto!
 
 

Sistema di disequazioni con disequazioni di secondo e terzo grado #102149

avt
Omega
Amministratore
Ciao Icanboogie,

vogliamo risolvere il sistema di disequazioni

\begin{cases}x(x-3)+\frac{2}{3} x(2-x)>10-2x\\ \\(x^{2}-4)(x^{3}-5x^{2}+6x)\geq 0\end{cases}

Il metodo è semplice: risolviamo le due disequazioni separatamente e, alla fine, cerchiamo le soluzioni comuni a entrambe.


Prima disequazione del sistema

Cominciamo con la prima. A occhio si vede che si tratta di una disequazione di secondo grado

x(x-3)+\frac{2}{3} x(2-x)>10-2x

Portiamo tutto a primo membro e facciamo i conti sommando i monomi simili

x^2-3x+\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}x^2-10+2x>0\\ \\ \\ \frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x-10>0

Riscriviamola in una forma più comoda moltiplicando entrambi i membri per 3

x^2+x-30>0

Ora consideriamo l'equazione di secondo grado associata

x^2+x-30=0

e ne calcoliamo le soluzioni con la formula del discriminante

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\\ \\ \\ =\frac{-1\pm\sqrt{1+120}}{2}=\\ \\ \\ =\frac{-1\pm 11}{2}=\begin{cases}5\\ -6\end{cases}

Possiamo quindi riscrivere la disequazione nella forma

(x-5)(x+6)>0

Tracciando il relativo grafico di disequazione (linee piene per segno + e linee tratteggiate per segno -) e cercando i valori dell'incognita che rendono il primo membro positivo, ricaviamo

x<-6\ \vee\ x>5


Seconda disequazione del sistema

Siamo in presenza di una disequazione di grado superiore al secondo

(x^{2}-4)(x^{3}-5x^{2}+6x)\geq 0

che è scomponibile, come vedremo tra un istante.

Per il primo fattore usiamo la regola per la differenza di quadrati; per il secondo cominciamo con un raccoglimento a fattore comune

(x-2)(x+2)x(x^2-5x+6)\geq 0

Per il termine residuo di secondo grado potremmo appoggiarci all'equazione di secondo grado associata; in alternativa, e più convenientemente, ricorrere alla regola del trinomio notevole

x^2-5x+6=(x-3)(x-2)

da cui

(x-2)(x+2)x(x-3)(x-2)\geq 0

Riscriviamo il tutto in una forma più compatta:

x(x-2)^2(x+2)(x-3)\geq 0\ \ \ (\bullet)

Ora usiamo la regola dei segni per le disequazioni, studiando separatamente il segno di ogni fattore ponendo ciascuno di essi maggiore-uguale a zero:

- il primo è banale

x\geq 0

- per il secondo osserviamo che il quadrato di un binomio è sempre maggiore o uguale a zero. Linea piena per noi!

(x-2)^2\geq 0\ \ \to\ \forall x\in\mathbb{R}

- il terzo è banale

x+2\geq 0\ \ \to\ x\geq -2

- il quarto, pure

x-3\geq 0\ \ \to\ x\geq 3

Mettendo il tutto assieme in un grafico (linee piene per segno + e linee tratteggiate per segno -), e ricercando i valori dell'incognita che rendono il primo membro maggiore-uguale a zero, come richiesto in (\bullet), otteniamo

-2\leq x\leq 0\ \vee\ x\geq 3


Conclusione - Soluzioni del sistema

Non ci resta che riscrivere il sistema sostituendo le singole disequazioni con i rispettivi insiemi delle soluzioni

\begin{cases}x<-6\ \vee\ x>5\\ \\ -2\leq x\leq 0\ \vee\ x\geq 3\end{cases}

e tracciare il grafico. Attenzione perché qui avremo solo linee piene e nessuna linea tratteggiata, in quanto dobbiamo cercare l'intersezione dei due insiemi soluzione (parti in comune).

In conclusione la soluzione del sistema di disequazioni è data da

x>5

il che conclude l'esercizio.
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