Sistema di disequazioni con disequazioni di secondo e terzo grado

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Sistema di disequazioni con disequazioni di secondo e terzo grado #102141

avt
Icanboogie
Punto
Avrei necessità di risolvere questo sistema di disequazioni composto da una disequazione di secondo grado e una disequazione di terzo grado:

x(x-3)+(2)/(3) x(2-x) > 10-2x ; (x^(2)-4)(x^(3)-5x^(2)+6x) ≥ 0

Grazie per il vostro aiuto!
 
 

Sistema di disequazioni con disequazioni di secondo e terzo grado #102149

avt
Omega
Amministratore
Ciao Icanboogie,

vogliamo risolvere il sistema di disequazioni

x(x-3)+(2)/(3) x(2-x) > 10-2x ; (x^(2)-4)(x^(3)-5x^(2)+6x) ≥ 0

Il metodo è semplice: risolviamo le due disequazioni separatamente e, alla fine, cerchiamo le soluzioni comuni a entrambe.


Prima disequazione del sistema

Cominciamo con la prima. A occhio si vede che si tratta di una disequazione di secondo grado

x(x-3)+(2)/(3) x(2-x) > 10-2x

Portiamo tutto a primo membro e facciamo i conti sommando i monomi simili

x^2-3x+(4)/(3)x-(2)/(3)x^2-10+2x > 0 ; (1)/(3)x^2+(1)/(3)x-10 > 0

Riscriviamola in una forma più comoda moltiplicando entrambi i membri per 3

x^2+x-30 > 0

Ora consideriamo l'equazione di secondo grado associata

x^2+x-30 = 0

e ne calcoliamo le soluzioni con la formula del discriminante

x_(1,2) = (-b±√(b^2-4ac))/(2a) = (-1±√(1+120))/(2) = (-1±11)/(2) = 5 ;-6

Possiamo quindi riscrivere la disequazione nella forma

(x-5)(x+6) > 0

Tracciando il relativo grafico di disequazione (linee piene per segno + e linee tratteggiate per segno -) e cercando i valori dell'incognita che rendono il primo membro positivo, ricaviamo

x < -6 ∨ x > 5


Seconda disequazione del sistema

Siamo in presenza di una disequazione di grado superiore al secondo

(x^(2)-4)(x^(3)-5x^(2)+6x) ≥ 0

che è scomponibile, come vedremo tra un istante.

Per il primo fattore usiamo la regola per la differenza di quadrati; per il secondo cominciamo con un raccoglimento a fattore comune

(x-2)(x+2)x(x^2-5x+6) ≥ 0

Per il termine residuo di secondo grado potremmo appoggiarci all'equazione di secondo grado associata; in alternativa, e più convenientemente, ricorrere alla regola del trinomio notevole

x^2-5x+6 = (x-3)(x-2)

da cui

(x-2)(x+2)x(x-3)(x-2) ≥ 0

Riscriviamo il tutto in una forma più compatta:

x(x-2)^2(x+2)(x-3) ≥ 0 (•)

Ora usiamo la regola dei segni per le disequazioni, studiando separatamente il segno di ogni fattore ponendo ciascuno di essi maggiore-uguale a zero:

- il primo è banale

x ≥ 0

- per il secondo osserviamo che il quadrato di un binomio è sempre maggiore o uguale a zero. Linea piena per noi!

(x-2)^2 ≥ 0 → ∀ x∈R

- il terzo è banale

x+2 ≥ 0 → x ≥ -2

- il quarto, pure

x-3 ≥ 0 → x ≥ 3

Mettendo il tutto assieme in un grafico (linee piene per segno + e linee tratteggiate per segno -), e ricercando i valori dell'incognita che rendono il primo membro maggiore-uguale a zero, come richiesto in (•), otteniamo

-2 ≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ 3


Conclusione - Soluzioni del sistema

Non ci resta che riscrivere il sistema sostituendo le singole disequazioni con i rispettivi insiemi delle soluzioni

x < -6 ∨ x > 5 ;-2 ≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ 3

e tracciare il grafico. Attenzione perché qui avremo solo linee piene e nessuna linea tratteggiata, in quanto dobbiamo cercare l'intersezione dei due insiemi soluzione (parti in comune).

In conclusione la soluzione del sistema di disequazioni è data da

x > 5

il che conclude l'esercizio.
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