Sistema di disequazioni con modulo e radice quadrata

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#102136
avt
Icanboogie
Punto

Ho bisogno di una mano per risolvere un sistema di disequazioni composto da una disequazione con valore assoluto e da una disequazione irrazionale.

Risolvere il seguente sistema

|x^2+4x| < 5 ; 2+√(3x+16) > x

Grazie.

#102140
avt
Ifrit
Amministratore

Per risolvere il sistema di disequazioni

|x^2+4x| < 5 ; 2+√(3x+16) > x

bisogna ricavare l'insieme delle soluzioni della disequazione con valore assoluto

|x^2+4x| < 5

e l'insieme delle soluzioni associato alla disequazione irrazionale

2+√(3x+16) > x

Risolte le due disequazioni, abbiamo praticamente finito, perché l'insieme delle soluzioni del sistema è dato dall'intersezione degli insiemi delle soluzioni delle due disequazioni.

Risoluzione della disequazione con valore assoluto

Consideriamo la disequazione con valore assoluto

|x^2+4x| < 5

Essa si presenta nella forma

|A(x)| < b con A(x) = x^2+4x e b = 5

e, in accordo con la teoria delle disequazioni, la disequazione è equivalente al seguente sistema

A(x) > −b ; A(x) < b → x^2+4x > −5 ; x^2+4x < 5

Risolviamo separatamente le disequazioni di secondo grado partendo dalla prima

x^2+4x > −5

Trasportiamo −5 al primo membro per esprimerla in forma normale

x^2+4x+5 > 0

dopodiché ricaviamo il delta dell'equazione associata. Indicati con a,b,c il coefficiente del termine in x^2, il coefficiente del termine in x e il termine noto, il discriminante dell'equazione associata è:

Δ = b^2−4ac = 4^2−4·1·5 < 0

Siccome il delta è negativo e siccome il coefficiente del termine in x^2 è positivo, possiamo concludere che la disequazione di secondo grado

x^2+4x+5 > 0

è soddisfatta per ogni x∈R.

Occupiamoci della disequazione

x^2+4x < 5

Trasportiamo 5 al primo membro

x^2+4x−5 < 0

e indichiamo con a,b,c rispettivamente il coefficiente del termine in x^2, quello del termine in x e il termine noto

a = 1 ; b = 4 ; c = −5

Questa volta il discriminante dell'equazione associata è

Δ = b^2−4·a·c = 4^2−4·1·(−5) = 36 > 0

per cui l'equazione associata ammette due soluzioni reali e distinte

x_(1,2) = (−b±√(Δ))/(2a) = (−4±√(36))/(2) = (−4±6)/(2) = (−4−6)/(2) = −5 = x_1 ; (−4+6)/(2) = 1 = x_2

In accordo con la teoria delle disequazioni di secondo grado, siccome a = 1 > 0 e Δ > 0, la disequazione

x^2+4x−5 < 0

è soddisfatta per valori interni, ossia per i valori compresi tra i valori x_1 e x_2

−5 < x < 1

Intersecando l'insieme delle soluzioni della disequazione

x^2+4x+5 > 0

con quello delle soluzioni della disequazione

x^2+4x−5 < 0

ricaviamo l'insieme delle soluzioni del sistema

x^2+4x > −5 ; x^2+4x < 5

che coincide con quello della disequazione con valore assoluto

|x^2+4x| < 5

Esso è:

S_(1) : −5 < x < 1

Disequazione irrazionale

Occupiamoci della disequazione irrazionale

2+√(3x+16) > x

Il primo passo prevede di esprimerla in forma normale trasportando 2 al secondo membro

√(3x+16) > x−2

Essa è una relazione del tipo

√(A(x)) > B(x)

dove

A(x) = 3x+16 e B(x) = x−2

Quando una disequazione irrazionale è del tipo

√(A(x)) > B(x)

la teoria ci avverte che è equivalente all'unione dei seguenti sistemi

A(x) ≥ 0 ; B(x) ≥ 0 ; A(x) > [B(x)]^2 U A(x) ≥ 0 ; B(x) < 0

Per

A(x) = 3x+16 e B(x) = x−2

essi diventano

3x+16 ≥ 0 ; x−2 ≥ 0 ; 3x+16 = (x−2)^2 U 3x+16 ≥ 0 ; x−2 < 0

Non ci resta che risolvere separatamente i sistemi e unire i loro insiemi soluzione.

Cominciamo dal primo:

3x+16 ≥ 0 ; x−2 ≥ 0 ; 3x+16 > (x−2)^2

Le prime due relazioni sono immediate: sono semplici disequazioni di primo grado

• 3x+16 ≥ 0 → x ≥ −(16)/(3) ; • x−2 ≥ 0 → x ≥ 2

Per risolvere la disequazione

3x+16 > (x−2)^2

bisogna innanzitutto sviluppare il quadrato di binomio

3x+16 > x^2−4x+4

dopodiché trasportiamo tutti i termini a sinistra, e sommiamo i monomi simili

−x^2+3x+4x+16−4 > 0 ;−x^2+7x+12 > 0

Cambiamo i segni dei termini e il verso della disequazione

x^2−7x−12 < 0

e risolviamola usando ancora una volta la formula del delta. Poniamo

a = 1 ; b = −7 ; c = −12

e calcoliamo il discriminante

Δ = b^2−4·a·c = (−7)^2−4·1·(−12) = 97

Il discriminante è positivo, di conseguenza l'equazione associata ammette due soluzioni reali e distinte

x_(1,2) = (−b±√(Δ))/(2a) = (−(−7)±√(97))/(2) = (7±√(97))/(2) = (7−√(97))/(2) = x_1 ; (7+√(97))/(2) = x_2

Siccome il coefficiente del termine in x^2 è positivo, la disequazione

x^2−7x−12 < 0

è soddisfatta per valori interni, ossia

• x^2−7x−12 < 0 → (7−√(97))/(2) < x < (7+√(97))/(2)

Abbiamo finalmente tutti gli elementi per risolvere il sistema

3x+16 ≥ 0 ; x−2 ≥ 0 ; 3x+16 > (x−2)^2

Il suo insieme delle soluzioni si ricava intersecando gli insiemi definiti dalle condizioni

• x ≥ −(16)/(3) ; • x ≥ 2 ; • (7−√(97))/(2) < x < (7+√(97))/(2)

ossia

2 ≤ x < (7+√(97))/(2)

Il secondo sistema

3x+16 ≥ 0 ; x−2 < 0

è incidentalmente più semplice da risolvere

3x+16 ≥ 0 → x ≥ −(16)/(3) ; x−2 < 0 → x < 2

Intersecando le due condizioni, otteniamo

−(16)/(3) ≤ x < 2

Attenzione! Dobbiamo unire gli insiemi delle soluzioni dei due sistemi, così da ricavare l'insieme soluzione della disequazione irrazionale

−(16)/(3) ≤ x < 2 ∨ 2 ≤ x < (7+√(97))/(2)

Deduciamo quindi che l'insieme delle soluzioni della disequazione irrazionale è

−(16)/(3) ≤ x < (7+√(97))/(2)

Ricapitolando

L'insieme delle soluzioni della disequazione

|x^2+4x| < 5

è

S_1 : −5 < x < 1

mentre l'insieme delle soluzioni della disequazione

2+√(3x+16) > x

è

S_2 : −(16)/(3) ≤ x < (7+√(97))/(2)

Alla luce di ciò, l'insieme delle soluzioni del sistema

|x^2+4x| < 5 ; 2+√(3x+16) > x

è dato dall'intersezione di S_1 e S_2, vale a dire:

S : −5 < x < 1

Abbiamo finito!

Ringraziano: Omega, Icanboogie
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