Sistema di disequazioni con modulo e radice quadrata

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Sistema di disequazioni con modulo e radice quadrata #102136

avt
Icanboogie
Punto
Ho bisogno di una mano per risolvere un sistema di disequazioni composto da una disequazione con valore assoluto e da una disequazione irrazionale.

Risolvere il seguente sistema

\begin{cases}|x^2+4x|<5\\ \\ 2+\sqrt{3x+16}>x\end{cases}

Grazie.
 
 

Sistema di disequazioni con modulo e radice quadrata #102140

avt
Ifrit
Amministratore
Per risolvere il sistema di disequazioni

\begin{cases}|x^2+4x|<5\\ \\ 2+\sqrt{3x+16}>x\end{cases}

bisogna ricavare l'insieme delle soluzioni della disequazione con valore assoluto

|x^2+4x|<5

e l'insieme delle soluzioni associato alla disequazione irrazionale

2+\sqrt{3x+16}>x

Risolte le due disequazioni, abbiamo praticamente finito, perché l'insieme delle soluzioni del sistema è dato dall'intersezione degli insiemi delle soluzioni delle due disequazioni.


Risoluzione della disequazione con valore assoluto

Consideriamo la disequazione con valore assoluto

|x^2+4x|<5

Essa si presenta nella forma

|A(x)|<b \ \ \ \mbox{con} \ A(x)=x^2+4x \ \mbox{e} \ b=5

e, in accordo con la teoria delle disequazioni, la disequazione è equivalente al seguente sistema

\begin{cases}A(x)>-b\\ \\ A(x)<b\end{cases} \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x^2+4x>-5\\ \\ x^2+4x<5\end{cases}

Risolviamo separatamente le disequazioni di secondo grado partendo dalla prima

x^2+4x>-5

Trasportiamo -5 al primo membro per esprimerla in forma normale

x^2+4x+5>0

dopodiché ricaviamo il delta dell'equazione associata. Indicati con a,b,c il coefficiente del termine in x^2, il coefficiente del termine in x e il termine noto, il discriminante dell'equazione associata è:

\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot 5<0

Siccome il delta è negativo e siccome il coefficiente del termine in x^2 è positivo, possiamo concludere che la disequazione di secondo grado

x^2+4x+5>0

è soddisfatta per ogni x\in\mathbb{R}.

Occupiamoci della disequazione

x^2+4x<5

Trasportiamo 5 al primo membro

x^2+4x-5<0

e indichiamo con a,b,c rispettivamente il coefficiente del termine in x^2, quello del termine in x e il termine noto

a=1 \ \ \ ;\ \ \ b=4 \ \ \ ; \ \ \ c=-5

Questa volta il discriminante dell'equazione associata è

\\ \Delta=b^2-4\cdot a\cdot c=\\ \\ =4^2-4\cdot 1\cdot (-5)=36>0

per cui l'equazione associata ammette due soluzioni reali e distinte

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{36}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{-4\pm 6}{2}=\begin{cases}\dfrac{-4-6}{2}=-5=x_1\\ \\ \dfrac{-4+6}{2}=1=x_2\end{cases}

In accordo con la teoria delle disequazioni di secondo grado, siccome a=1>0 e \Delta>0, la disequazione

x^2+4x-5<0

è soddisfatta per valori interni, ossia per i valori compresi tra i valori x_1\ \mbox{e} \ x_2

-5<x<1

Intersecando l'insieme delle soluzioni della disequazione

x^2+4x+5>0

con quello delle soluzioni della disequazione

x^2+4x-5<0

ricaviamo l'insieme delle soluzioni del sistema

\begin{cases}x^2+4x>-5\\ \\ x^2+4x<5\end{cases}

che coincide con quello della disequazione con valore assoluto

|x^2+4x|<5

Esso è:

S_{1} \ : \ -5<x<1


Disequazione irrazionale

Occupiamoci della disequazione irrazionale

2+\sqrt{3x+16}>x

Il primo passo prevede di esprimerla in forma normale trasportando 2 al secondo membro

\sqrt{3x+16}>x-2

Essa è una relazione del tipo

\sqrt{A(x)}>B(x)

dove

A(x)=3x+16\ \ \ \mbox{e} \ \ \ B(x)=x-2

Quando una disequazione irrazionale è del tipo

\sqrt{A(x)}>B(x)

la teoria ci avverte che è equivalente all'unione dei seguenti sistemi

\begin{cases}A(x)\ge 0\\ \\ B(x)\ge 0\\ \\ A(x)>[B(x)]^2\end{cases}\ \ \ \cup \ \ \ \begin{cases}A(x)\ge 0 \\ \\ B(x)<0\end{cases}

Per

A(x)=3x+16 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B(x)=x-2

essi diventano

\begin{cases}3x+16\ge 0\\ \\ x-2\ge 0\\ \\ 3x+16=(x-2)^2\end{cases}\ \ \ \cup \ \ \ \begin{cases}3x+16\ge 0 \\ \\ x-2<0\end{cases}

Non ci resta che risolvere separatamente i sistemi e unire i loro insiemi soluzione.

Cominciamo dal primo:

\begin{cases}3x+16\ge 0\\ \\ x-2\ge 0\\ \\ 3x+16>(x-2)^2\end{cases}

Le prime due relazioni sono immediate: sono semplici disequazioni di primo grado

\\ \bullet \ \ \ 3x+16\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -\frac{16}{3} \\ \\ \\ \bullet \ \ \ x-2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge 2

Per risolvere la disequazione

3x+16>(x-2)^2

bisogna innanzitutto sviluppare il quadrato di binomio

3x+16>x^2-4x+4

dopodiché trasportiamo tutti i termini a sinistra, e sommiamo i monomi simili

\\ -x^2+3x+4x+16-4>0\\ \\ -x^2+7x+12>0

Cambiamo i segni dei termini e il verso della disequazione

x^2-7x-12<0

e risolviamola usando ancora una volta la formula del delta. Poniamo

a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-7 \ \ \ ; \ \ \ c=-12

e calcoliamo il discriminante

\\ \Delta=b^2-4\cdot a \cdot c= \\ \\ =(-7)^2-4\cdot 1\cdot (-12)=97

Il discriminante è positivo, di conseguenza l'equazione associata ammette due soluzioni reali e distinte

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{97}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{7\pm\sqrt{97}}{2}=\begin{cases}\dfrac{7-\sqrt{97}}{2}=x_1\\ \\ \dfrac{7+\sqrt{97}}{2}=x_2\end{cases}

Siccome il coefficiente del termine in x^2 è positivo, la disequazione

x^2-7x-12<0

è soddisfatta per valori interni, ossia

\bullet \ \ \ x^2-7x-12<0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{7-\sqrt{97}}{2}<x<\frac{7+\sqrt{97}}{2}

Abbiamo finalmente tutti gli elementi per risolvere il sistema

\begin{cases}3x+16\ge 0\\ \\ x-2\ge 0\\ \\ 3x+16>(x-2)^2\end{cases}

Il suo insieme delle soluzioni si ricava intersecando gli insiemi definiti dalle condizioni

\\ \bullet \ \ \ x\ge -\frac{16}{3} \\ \\ \bullet \ \ \ x\ge 2 \\ \\ \bullet \ \ \ \frac{7-\sqrt{97}}{2}<x<\frac{7+\sqrt{97}}{2}

ossia

2\le x<\frac{7+\sqrt{97}}{2}

Il secondo sistema

\begin{cases}3x+16\ge 0 \\ \\ x-2<0\end{cases}

è incidentalmente più semplice da risolvere

\begin{cases}3x+16\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -\dfrac{16}{3}\\ \\ x-2<0 \ \ \ \to \ \ \ x<2\end{cases}

Intersecando le due condizioni, otteniamo

-\frac{16}{3}\le x< 2


Attenzione! Dobbiamo unire gli insiemi delle soluzioni dei due sistemi, così da ricavare l'insieme soluzione della disequazione irrazionale

-\frac{16}{3}\le x< 2\ \vee \ 2\le x<\frac{7+\sqrt{97}}{2}

Deduciamo quindi che l'insieme delle soluzioni della disequazione irrazionale è

-\frac{16}{3}\le x<\frac{7+\sqrt{97}}{2}


Ricapitolando

L'insieme delle soluzioni della disequazione

|x^2+4x|<5

è

S_1 \ :\ -5<x<1

mentre l'insieme delle soluzioni della disequazione

2+\sqrt{3x+16}>x

è

S_2 \ :\ -\frac{16}{3}\le x<\frac{7+\sqrt{97}}{2}


Alla luce di ciò, l'insieme delle soluzioni del sistema

\begin{cases}|x^2+4x|<5\\ \\ 2+\sqrt{3x+16}>x\end{cases}

è dato dall'intersezione di S_1 \ \mbox{e} \ S_2, vale a dire:

S\ : \ -5<x<1

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Icanboogie
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Os