Sistema di disequazioni con modulo e radice quadrata

Ho bisogno di una mano per risolvere un sistema di disequazioni composto da una disequazione con valore assoluto e da una disequazione irrazionale.
Risolvere il seguente sistema
Grazie.

Per risolvere il sistema di disequazioni
bisogna ricavare l'insieme delle soluzioni della disequazione con valore assoluto
e l'insieme delle soluzioni associato alla disequazione irrazionale
Risolte le due disequazioni, abbiamo praticamente finito, perché l'insieme delle soluzioni del sistema è dato dall'intersezione degli insiemi delle soluzioni delle due disequazioni.
Risoluzione della disequazione con valore assoluto
Consideriamo la disequazione con valore assoluto
Essa si presenta nella forma
e, in accordo con la teoria delle disequazioni, la disequazione è equivalente al seguente sistema
Risolviamo separatamente le disequazioni di secondo grado partendo dalla prima
Trasportiamo al primo membro per esprimerla in forma normale
dopodiché ricaviamo il delta dell'equazione associata. Indicati con il coefficiente del termine in
, il coefficiente del termine in
e il termine noto, il discriminante dell'equazione associata è:
Siccome il delta è negativo e siccome il coefficiente del termine in è positivo, possiamo concludere che la disequazione di secondo grado
è soddisfatta per ogni .
Occupiamoci della disequazione
Trasportiamo 5 al primo membro
e indichiamo con rispettivamente il coefficiente del termine in
, quello del termine in
e il termine noto
Questa volta il discriminante dell'equazione associata è
per cui l'equazione associata ammette due soluzioni reali e distinte
In accordo con la teoria delle disequazioni di secondo grado, siccome e
, la disequazione
è soddisfatta per valori interni, ossia per i valori compresi tra i valori
Intersecando l'insieme delle soluzioni della disequazione
con quello delle soluzioni della disequazione
ricaviamo l'insieme delle soluzioni del sistema
che coincide con quello della disequazione con valore assoluto
Esso è:
Disequazione irrazionale
Occupiamoci della disequazione irrazionale
Il primo passo prevede di esprimerla in forma normale trasportando 2 al secondo membro
Essa è una relazione del tipo
dove
Quando una disequazione irrazionale è del tipo
la teoria ci avverte che è equivalente all'unione dei seguenti sistemi
Per
essi diventano
Non ci resta che risolvere separatamente i sistemi e unire i loro insiemi soluzione.
Cominciamo dal primo:
Le prime due relazioni sono immediate: sono semplici disequazioni di primo grado
Per risolvere la disequazione
bisogna innanzitutto sviluppare il quadrato di binomio
dopodiché trasportiamo tutti i termini a sinistra, e sommiamo i monomi simili
Cambiamo i segni dei termini e il verso della disequazione
e risolviamola usando ancora una volta la formula del delta. Poniamo
e calcoliamo il discriminante
Il discriminante è positivo, di conseguenza l'equazione associata ammette due soluzioni reali e distinte
Siccome il coefficiente del termine in è positivo, la disequazione
è soddisfatta per valori interni, ossia
Abbiamo finalmente tutti gli elementi per risolvere il sistema
Il suo insieme delle soluzioni si ricava intersecando gli insiemi definiti dalle condizioni
ossia
Il secondo sistema
è incidentalmente più semplice da risolvere
Intersecando le due condizioni, otteniamo
Attenzione! Dobbiamo unire gli insiemi delle soluzioni dei due sistemi, così da ricavare l'insieme soluzione della disequazione irrazionale
Deduciamo quindi che l'insieme delle soluzioni della disequazione irrazionale è
Ricapitolando
L'insieme delle soluzioni della disequazione
è
mentre l'insieme delle soluzioni della disequazione
è
Alla luce di ciò, l'insieme delle soluzioni del sistema
è dato dall'intersezione di , vale a dire:
Abbiamo finito!
|