Sistema di disequazioni con modulo e radice quadrata
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Sistema di disequazioni con modulo e radice quadrata #102136
![]() Icanboogie Punto | Ho bisogno di una mano per risolvere un sistema di disequazioni composto da una disequazione con valore assoluto e da una disequazione irrazionale. Risolvere il seguente sistema ![]() Grazie. |
Sistema di disequazioni con modulo e radice quadrata #102140
![]() Ifrit Amministratore | Per risolvere il sistema di disequazioni ![]() bisogna ricavare l'insieme delle soluzioni della disequazione con valore assoluto ![]() e l'insieme delle soluzioni associato alla disequazione irrazionale Risolte le due disequazioni, abbiamo praticamente finito, perché l'insieme delle soluzioni del sistema è dato dall'intersezione degli insiemi delle soluzioni delle due disequazioni. Risoluzione della disequazione con valore assoluto Consideriamo la disequazione con valore assoluto ![]() Essa si presenta nella forma ![]() e, in accordo con la teoria delle disequazioni, la disequazione è equivalente al seguente sistema ![]() Risolviamo separatamente le disequazioni di secondo grado partendo dalla prima Trasportiamo dopodiché ricaviamo il delta dell'equazione associata. Indicati con ![]() Siccome il delta è negativo e siccome il coefficiente del termine in è soddisfatta per ogni Occupiamoci della disequazione Trasportiamo 5 al primo membro e indichiamo con ![]() Questa volta il discriminante dell'equazione associata è ![]() per cui l'equazione associata ammette due soluzioni reali e distinte ![]() In accordo con la teoria delle disequazioni di secondo grado, siccome è soddisfatta per valori interni, ossia per i valori compresi tra i valori Intersecando l'insieme delle soluzioni della disequazione con quello delle soluzioni della disequazione ricaviamo l'insieme delle soluzioni del sistema ![]() che coincide con quello della disequazione con valore assoluto ![]() Esso è: Disequazione irrazionale Occupiamoci della disequazione irrazionale Il primo passo prevede di esprimerla in forma normale trasportando 2 al secondo membro Essa è una relazione del tipo ![]() dove ![]() Quando una disequazione irrazionale è del tipo ![]() la teoria ci avverte che è equivalente all'unione dei seguenti sistemi ![]() Per ![]() essi diventano ![]() Non ci resta che risolvere separatamente i sistemi e unire i loro insiemi soluzione. Cominciamo dal primo: ![]() Le prime due relazioni sono immediate: sono semplici disequazioni di primo grado ![]() Per risolvere la disequazione ![]() bisogna innanzitutto sviluppare il quadrato di binomio dopodiché trasportiamo tutti i termini a sinistra, e sommiamo i monomi simili ![]() Cambiamo i segni dei termini e il verso della disequazione e risolviamola usando ancora una volta la formula del delta. Poniamo ![]() e calcoliamo il discriminante ![]() Il discriminante è positivo, di conseguenza l'equazione associata ammette due soluzioni reali e distinte ![]() Siccome il coefficiente del termine in è soddisfatta per valori interni, ossia ![]() Abbiamo finalmente tutti gli elementi per risolvere il sistema ![]() Il suo insieme delle soluzioni si ricava intersecando gli insiemi definiti dalle condizioni ![]() ossia ![]() Il secondo sistema ![]() è incidentalmente più semplice da risolvere ![]() Intersecando le due condizioni, otteniamo ![]() Attenzione! Dobbiamo unire gli insiemi delle soluzioni dei due sistemi, così da ricavare l'insieme soluzione della disequazione irrazionale ![]() Deduciamo quindi che l'insieme delle soluzioni della disequazione irrazionale è ![]() Ricapitolando L'insieme delle soluzioni della disequazione ![]() è mentre l'insieme delle soluzioni della disequazione è ![]() Alla luce di ciò, l'insieme delle soluzioni del sistema ![]() è dato dall'intersezione di Abbiamo finito! |
Ringraziano: Omega, Icanboogie |
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