Esercizio sul calcolo delle probabilità con Poisson

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#102112
avt
stefanolippera
Punto

Mi potete spiegare come risolvere questo esercizio di probabilità sulla distribuzione di Poisson?

Un libro di 500 pagine contiene 50 errori di stampa. Qual è la probabilità di trovare almeno 3 errori su una pagina scelta a caso?

Grazie!

#102115
avt
Galois
Amministratore

Sappiamo che in un libro di 500 pagine ci sono, in tutto, 50 errori di stampa e ci viene chiesto di calcolare la probabilità di trovare almeno 3 errori su una pagina scelta a caso.

Per risolvere il problema faremo ricorso alla distribuzione di Poisson, che esprime le probabilità del verificarsi di un numero di eventi sapendo che, mediamente, se ne verifica un numero λ.

Se indichiamo con X il numero di eventi e con λ il numero medio di eventi che si verificano nell'unità, allora:

- la probabilità di avere un numero di eventi esattamente uguale a k, con k ∈ N, è data da:

P(X = k) = (e^(−λ)·λ^k)/(k!)

- la probabilità di ottenere un numero di eventi uguale al più a k è data da:

P(X ≤ k) = Σ_(n = 0)^(k)(e^(−λ)·λ^n)/(n!)

- la probabilità di ottenere un numero di eventi uguale almeno a k è data da:

P(X ≥ k) = 1−P(X ≤ (k−1)) = 1−Σ_(n = 0)^(k−1)(e^(−λ)·λ^n)/(n!)

Dopo questa breve ma fondamentale premessa teorica torniamo all'esercizio e indichiamo con X la variabile aleatoria che esprime il numero di errori che si trovano in una pagina, e con λ il numero medio di errori in una pagina.

Le pagine totali del libro sono 500, e il numero totale di errori è 50, per cui il valore di λ (numero medio di errori) è dato dal rapporto tra il numero di errori (50) e il numero di pagine (500), ossia

λ = (50)/(500) = 0,1

Per quanto ricordato in precedenza, la probabilità di trovare almeno 3 errori su una pagina scelta a caso è

P(X ≥ 3) = 1−P(X ≤ 2) = 1−Σ_(n = 0)^(2)(e^(−λ)·λ^n)/(n!) =

sviluppiamo la sommatoria e sostituiamo λ con 0,1

= 1−((e^(−0,1)·(0,1)^0)/(0!)+(e^(−0,1)·(0,1)^1)/(1!)+(e^(−0,1)·(0,1)^2)/(2!)) =

svolgiamo i calcoli nella coppia di parentesi tonde e calcoliamo le potenze di 0,1 e i fattoriali

= 1−((e^(−0,1))/(1)+(e^(−0,1)·0,1)/(1)+(e^(−0,1)·0,01)/(2)) =

Raccogliamo a fattor comune e^(−0,1)

= 1−e^(−0,1)(1+0,1+(0,01)/(2)) =

svolgiamo la somma nella coppia di parentesi tonde

= 1−e^(−0,1)·(2,21)/(2) = 1−e^(−0,1)·1,105 ≃

servendoci di una calcolatrice e approssimando il risultato alla quinta cifra decimale

≃ 0,00015

In definitiva, la probabilità di trovare almeno 3 errori su una pagina scelta a caso in un libro di 500 pagine e con 50 errori di stampa è di 0,00015.

È tutto!

Ringraziano: Omega
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