Esercizio di Probabilità e Calcolo Combinatorio

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Esercizio di Probabilità e Calcolo Combinatorio #102111

avt
stefanolippera
Punto
Mi servirebbe una mano per risolvere un esercizio di calcolo combinatorio: si tratta di calcolare la probabilità di un certo evento con più tentativi.

In una scatola contenente 16 cioccolatini, 4 sono con ripieno al cocco. Qual è la probabilità che scegliendo 4 cioccolatini, nessuno sia con ripieno al cocco?

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Esercizio di Probabilità e Calcolo Combinatorio #102114

avt
Galois
Amministratore
Dal testo del problema è noto che una scatola contiene 16 cioccolatini e che 4 tra essi sono con ripieno al cocco.

Ci viene chiesto di calcolare la probabilità che scegliendo 4 cioccolatini, nessuno sia con ripieno al cocco.

Chiamiamo E l'evento: "si scelgono 4 cioccolatini non ripieni al cocco", e proponiamoci di calcolare P(E) ossia la probabilità che si verifichi l'evento E.

In generale la probabilità di un evento è data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili

P(E) = (# casi favorevoli)/(# casi possibili)

dunque per risolvere il problema dobbiamo calcolare il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili.


Calcolo del numero dei casi possibili

Il numero di casi possibili è dato dal numero di modi in cui si possono scegliere k = 4 cioccolatini da una scatola che ne contiene n = 16, dunque è un semplicissimo problema di calcolo combinatorio.

Poiché l'ordine con cui si scelgono i cioccolatini non ha importanza, e poiché in ogni raggruppamento uno stesso elemento (cioccolatino) non può essere ripetuto, il numero di casi favorevoli è dato dalle combinazioni semplici di n = 16 oggetti distinti di classe k = 4.

Più esplicitamente:

# casi favorevoli = C_(16,4) = binom(16)(4)

dove binom(16)(4) indica un coefficiente binomiale, ossia

binom(16)(4) = (16!)/(4!(16-4)!) = (16!)/(4!·12!)

Il fattoriale di un numero è pari al prodotto di tutti i numeri naturali (escluso lo zero) minori o uguali al numero, dunque

 16! = 1·2·3 ··· 12·13·14·15·16 ; 4! = 1·2·3·4 = 24 ; 12! = 1·2·3 ··· 11·12

Tornando al coefficiente binomiale binom(16)(4) abbiamo

 binom(16)(4) = (16!)/(4!·12!) = (1·2·3 ··· 12·13·14·15·16)/(24·(1·2·3 ··· 11·12)) =

semplifichiamo

= (13·14·15·16)/(24) = (43680)/(24) = 1820

In definitiva, il numero di casi possibili è 1820.


Calcolo del numero dei casi favorevoli

Poiché la scatola contiene 16 cioccolatini, di cui 4 con ripieno al cocco, quelli che non hanno il ripieno sono 12

16-4 = 12

Di conseguenza il numero dei casi favorevoli si ottiene moltiplicando tra loro:

- il numero di modi in cui si possono scegliere 0 cioccolatini tra i 4 con ripieno al cocco;

- il numero di modi in cui si possono scegliere 4 cioccolatini tra i 12 senza ripieno al cocco.

Anche in questi casi l'ordine con cui si scelgono i cioccolatini non ha importanza, e in ogni raggruppamento uno stesso elemento (cioccolatino) non può essere ripetuto, dunque:

- il numero di modi in cui si possono scegliere k = 0 cioccolatini tra gli n = 4 con ripieno al cocco è dato da (ricordiamo che il fattoriale di 0 è 1)

C_(4,0) = binom(4)(0) = (4!)/(0!(4-0)!) = (4!)/(4!) = 1

- il numero di modi in cui si possono scegliere k = 4 cioccolatini tra gli n = 12 senza ripieno al cocco è pari a

C_(12,4) = binom(12)(4) = (12!)/(4!(12-4)!) = (12!)/(4!·8!) =

con le dovute semplificazioni

= (9·10·11·12)/(24) = (11880)/(24) = 495

In definitiva, il numero di casi favorevoli è:

binom(4)(0)·binom(12)(4) = 1·495 = 495


Probabilità dell'evento E

Abbiamo tutto quello che serve per calcolare la probabilità che si verifichi l'evento E:

P(E) = (# casi favorevoli)/(# casi possibili) = (495)/(1820) = (159)/(364) ≃ 0,272

Nell'ultimo passaggio abbiamo approssimato il risultato alla terza cifra decimale.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega
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Os