Esercizio di Probabilità e Calcolo Combinatorio

Mi servirebbe una mano per risolvere un esercizio di calcolo combinatorio: si tratta di calcolare la probabilità di un certo evento con più tentativi.

In una scatola contenente 16 cioccolatini, 4 sono con ripieno al cocco. Qual è la probabilità che scegliendo 4 cioccolatini, nessuno sia con ripieno al cocco?

Grazie in anticipo!

Dal testo del problema è noto che una scatola contiene 16 cioccolatini e che 4 tra essi sono con ripieno al cocco.

Ci viene chiesto di calcolare la probabilità che scegliendo 4 cioccolatini, nessuno sia con ripieno al cocco.

Chiamiamo l'evento: "si scelgono 4 cioccolatini non ripieni al cocco", e proponiamoci di calcolare ossia la probabilità che si verifichi l'evento .

In generale la probabilità di un evento è data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili



dunque per risolvere il problema dobbiamo calcolare il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili.


Calcolo del numero dei casi possibili

Il numero di casi possibili è dato dal numero di modi in cui si possono scegliere cioccolatini da una scatola che ne contiene , dunque è un semplicissimo problema di calcolo combinatorio.

Poiché l'ordine con cui si scelgono i cioccolatini non ha importanza, e poiché in ogni raggruppamento uno stesso elemento (cioccolatino) non può essere ripetuto, il numero di casi favorevoli è dato dalle combinazioni semplici di oggetti distinti di classe .

Più esplicitamente:



dove indica un coefficiente binomiale, ossia



Il fattoriale di un numero è pari al prodotto di tutti i numeri naturali (escluso lo zero) minori o uguali al numero, dunque



Tornando al coefficiente binomiale abbiamo



semplifichiamo



In definitiva, il numero di casi possibili è 1820.


Calcolo del numero dei casi favorevoli

Poiché la scatola contiene 16 cioccolatini, di cui 4 con ripieno al cocco, quelli che non hanno il ripieno sono 12



Di conseguenza il numero dei casi favorevoli si ottiene moltiplicando tra loro:

- il numero di modi in cui si possono scegliere 0 cioccolatini tra i 4 con ripieno al cocco;

- il numero di modi in cui si possono scegliere 4 cioccolatini tra i 12 senza ripieno al cocco.

Anche in questi casi l'ordine con cui si scelgono i cioccolatini non ha importanza, e in ogni raggruppamento uno stesso elemento (cioccolatino) non può essere ripetuto, dunque:

- il numero di modi in cui si possono scegliere cioccolatini tra gli con ripieno al cocco è dato da (ricordiamo che il fattoriale di 0 è 1)



- il numero di modi in cui si possono scegliere cioccolatini tra gli senza ripieno al cocco è pari a



con le dovute semplificazioni



In definitiva, il numero di casi favorevoli è:




Probabilità dell'evento

Abbiamo tutto quello che serve per calcolare la probabilità che si verifichi l'evento :



Nell'ultimo passaggio abbiamo approssimato il risultato alla terza cifra decimale.

Ecco fatto!