Problema con segmento, retta e punto medio in Geometria Analitica

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#102087
avt
Buonaventura80
Punto

Geometria analitica segmenti

Dati 2 punti A (6,5) e B (1,0). Calcolare il punto R che è il punto finale del segmento perpendicolare partente dal punto medio C del segmento AB di lunghezza F = 10.

Vorrei arrivare arrivare alla soluzione con un paio di metodi.

#102092
avt
Ifrit
Amministratore

Consideriamo i punti del piano cartesiano

A(x_A,y_A) = (6,5) ; B(x_B,y_B) = (1,0)

Il nostro obiettivo prevede di calcolare le coordinate del punto R(x_(R),y_(R)) sapendo che:

- è il punto finale del segmento perpendicolare che parte dal punto medio C(x_(C),y_(C)) del segmento AB

- la lunghezza del segmento RC è uguale a 10.

Per rispondere al quesito esistono almeno due strategie.

Prima strategia

La prima strategia consiste nel ricavare le coordinate del punto medio di AB: nulla di complicato, basta calcolare la semisomma delle ascisse di A e B e la semisomma delle ordinate di A e B

C(x_(C),y_(C)) = ((x_(A)+x_(B))/(2),(y_(A)+y_(B))/(2)) = ((6+1)/(2),(5+0)/(2)) = ((7)/(2),(5)/(2))

Il passo successivo consiste nel determinare l'equazione dell'asse del segmento AB definito come la retta passante per il punto medio e a esso perpendicolare.

L'equazione dell'asse è:

r: y−y_(C) = −(1)/(m_(AB)) (x−x_(C))

dove:

• x_(C) e y_(C) sono l'ascissa e l'ordinata del punto medio di AB;

• m_(AB) è il coefficiente angolare della retta passante per i punti A e B, che si ottiene dalla formula

m_(AB) = (y_(B)−y_(A))/(x_(B)−x_(A)) = (1−6)/(0−5) = (−5)/(−5) = 1

Se sostituiamo i valori noti, scopriamo che l'equazione dell'asse di AB è

r: y−(5)/(2) = −(1)/(1)(x−(7)/(2))

ossia

y−(5)/(2) = −x+(7)/(2) ; y = −x+(12)/(2) ; y = −x+6

L'equazione dell'asse è quindi

r: y = −x+6

Il punto R che stiamo ricercando (o per meglio dire i punti) appartiene a r, per cui le sue coordinate rispettano l'equazione

R(x_(R),y_(R))∈ r ⇔ y_(R) = −x_(R)+6

pertanto le coordinate di R devono essere della forma

R(x_(R),y_(R)) = (x_(R),−x_(R)+6)

Per ricavare x_(R) e y_(R) è sufficiente richiedere che la distanza tra i punti R e C sia proprio uguale a 10

RC = 10

vale a dire

√((x_(C)−x_(R))^2+(y_(C)−y_(R))^2) = 10

Sostituiamo i valori e l'espressione di y_(R) così da ricavare la seguente equazione irrazionale

√(((7)/(2)−x_(R))^2+((5)/(2)−(−x_(R)+6))^2) = 10 ; √(((7)/(2)−x_(R))^2+((5)/(2)+x_(R)−6)^2) = 10 ; √(((7)/(2)−x_(R))^2+(x_(R)−(7)/(2))^2) = 10

Sviluppiamo i quadrati di binomio

√((49)/(4)−7x_(R)+x_(R)^2+(49)/(4)−7x_(R)+x_(R)^(2)) = 10

dopodiché sommiamo i monomi simili

√((49)/(2)−14 x_(R)+2x_(R)^2) = 10

A questo punto eleviamo al quadrato membro a membro così da sbarazzarci della radice quadrata

2x_(R)^(2)−14 x_(R)+(49)/(2) = 100

Trasportiamo 100 al primo membro e sommiamo tra loro i termini noti

2x_(R)^(2)−14 x_(R)+(49)/(2)−100 = 0 ; 2x_(R)^(2)−14 x_(R)−(151)/(2) = 0

Scriviamo il primo membro a denominatore comune così da ricondurci alla seguente equazione di secondo grado

4x_(R)^(2)−28x_(R)−151 = 0

Indicati con a,b,c rispettivamente il coefficiente del termine in x_(R)^2, quello del termine in x_(R) e il termine noto, possiamo risolvere l'equazione con la formula del delta quarti

x_(R,1,2) = (−(b)/(2)±√(((b)/(2))^2−ac))/(a) = (−(−14)±√(14^2−4·(−151)))/(4) = (14±√(800))/(4) =

Poiché le proprietà dei radicali garantiscono l'uguaglianza √(800) = 20√(2), la precedente espressione diventa

= (14±20√(2))/(4) = (2(7±10√(2)))/(4) = (7±10√(2))/(2) = (7−10√(2))/(2) = x_(R,1) ; (7+10√(2))/(2) = x_(R,2)

L'equazione ammette due soluzioni reali e distinte che corrispondono alle ascisse dei punti R che soddisfano le condizioni del problema. Per ricavare le relative ordinate è sufficiente sostituire nell'equazione dell'asse.

- a x_(R,1) = (7−10√(2))/(2) associamo l'ordinata

y_(R,1) = −x_(R,1)+6 = −(7−10√(2))/(2)+6 = (5+10√(2))/(2)

Esse individuano il punto

R_1 = (x_(R,1),y_(R,1)) = ((7−10√(2))/(2),(5+10√(2))/(2))

- A x_(R,2) = (7+10√(2))/(2) associamo l'ordinata

y_(R,2) = −x_(R,2)+6 = −(7+10√(2))/(2)+6 = (5−10√(2))/(2)

Esse individuano il punto

R_2 = (x_(R,2),y_(R,2)) = ((7+10√(2))/(2),(5−10√(2))/(2))

Abbiamo finito.

Seconda strategia

La seconda strategia prevede di ricavare l'equazione della retta passante per i punti A e B

r_(AB) : (y−y_(A))/(y_(B)−y_(A)) = (x−x_(A))/(x_(B)−x_(A)) ; (y−5)/(−5) = (x−6)/(−5)

Semplificando -5 ricaviamo la seguente uguaglianza

y−5 = x−6 → x−y−1 = 0

L'equazione della retta r_(AB) passante per i punti A e B è

r_(AB) : x−y−1 = 0

Consideriamo un generico punto R dell'asse r (la cui equazione è quella che abbiamo calcolato nel precedente svolgimento)

R(x_(R),y_(R)) = (x_(R),−x_(R)+6)

Per definizione di distanza punto retta, la distanza di R dal punto medio C coincide con la distanza tra R e la retta passante per A e B.

Per risolvere il problema occorre pretendere che la distanza tra il punto R e la retta r_(AB) sia uguale a 10

dist(R,r_(AB)) = 10

Indicati con a,b,c i coefficienti della retta r_(AB) (espressa in forma implicita), la precedente equazione diventa

(|ax_(R)+by_(R)+c|)/(√(a^2+b^2)) = 10

ossia

(|x_(R)−(−x_(R)+6)−1|)/(√(1^2+1^2)) = 10 ; (|2x_(R)−7|)/(√(2)) = 10

Ci siamo ricondotti a un'equazione con valore assoluto nell'incognita x_(R).

Per risolverla moltiplichiamo i due membri per √(2)

|2x_(R)−7| = 10√(2)

dopodiché spezziamo nelle seguenti equazioni di primo grado

2x_(R)−7 = −10√(2) ∨ 2x_(R)−7 = 10√(2)

Da queste si ottengono due valori di x_(R)

x_(R,1) = (7−10√(2))/(2) ; x_(R,2) = (7+10√(2))/(2)

Essi rappresentano le ascisse dei punti R: per determinare le rispettive ordinate basta sostituire i valori nella formula

y_(R) = −x_(R)+6

Otterremo esattamente gli stessi valori visti nel metodo precedente.

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