Metodo di Raphson-Newton

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Metodo di Raphson-Newton #102072

charly72 Punto	Ciao, sono alle prese con la seguente formula di Raphson Newton: la mia variabile indipendente la chiamo y $y_{i+1}=y_{i}-\frac{f(y_{i})}{f'(y_i)}$ La funzione è l'esponenziale: $e^{-y}$ ; la derivata: $-e^{-y}$ . Partendo dal valore iniziale non riesco a ottenere coerenti variazioni di dato che il rapporto $\frac{e^{-y}}{-e^{-y}}$ restituisce sempre . Dove commetto un errore?

Re: Metodo di Raphson-Newton #102073

Ifrit Amministratore	Ciao Charly72, ho modificato il corpo della domanda per inserire i tag per le formule. Puoi confermare che sia tutto ok? Grazie mille!

Re: Metodo di Raphson-Newton #102075

charly72 Punto	si mi sembra sia tutto ok, grazie

Re: Metodo di Raphson-Newton #102076

Ifrit

Amministratore

Risposta secca: il metodo di Raphson-Newton non può essere applicato alla funzione $f(y)=e^{-y}$ perché l'equazione esponenziale

$f(y)=0 \ \ \to \ \ e^{-y}=0$

non ammette soluzioni.

Il metodo di Raphson-Newton, detto anche metodo delle tangenti, è un processo iterativo che consente di costruire una successione numerica che converge alla soluzione di un'equazione della forma

dove

è una funzione che deve soddisfare alcune ipotesi di regolarità.

Metodo di Raphson-Newton

Proponiamo una formulazione del metodo di Raphson-Newton (ne esistono diverse).

Consideriamo una funzione

definita in un intervallo chiuso e limitato

tale che:

- esiste un solo numero reale $\alpha\in (a,b)$ che annulla la funzione, vale a dire $f(\alpha)=0$ ;

$\bullet \ \ \ f$ è una funzione continua in

;

$\bullet \ \ \ f$ è una funzione due volte derivabile con continuità in

(significa che la derivata prima e la derivata seconda di

devono essere a loro volta funzioni continue in

).

Supponiamo inoltre che per ogni $y\in [a,b]$ sussistano le seguenti condizioni:

1) la derivata prima deve essere diversa da 0, $(f'(y)\ne 0)$ ;

2) la derivata seconda deve essere a segno costante $(f''(y)<0 \ \mbox{oppure} \ f''(y)>0)$ .

Se le ipotesi sono rispettate, allora fissato il punto iniziale

$\\ y_0=a \ \ \ \mbox{se} \ f(a)f''(a)>0 \\ \\\mbox{oppure} \\ \\ y_0=b \ \ \ \mbox{se} \ f(b)f''(b)<0$

la successione numerica

$y_{i+1}=y_{i}-\frac{f(y_{i})}{f'(x_{i})}$

converge ad $\alpha$ per $i\to +\infty$ .

Risoluzione del problema

Consideriamo la funzione $f(y)=e^{-y}$ . Essa è una funzione esponenziale derivabile infinite volte sull'intero asse reale.

Il calcolo della sua derivata prima è immediato

$f'(y)=\frac{d}{dy}[e^{-y}]=e^{-y}\cdot\frac{d}{dy}[-y]=-e^{-y}$

così come è immediato il calcolo della derivata seconda

$\\ f''(y)=\frac{d}{dy}[f'(y)]=\frac{d}{dy}[-e^{-y}]=\\ \\ =-e^{-y}\cdot\frac{d}{dy}[-y]=e^{-y}$

Sottolineiamo che:

$\bullet \ \ \ f$ è una funzione continua su tutto l'asse reale perché composizione di funzioni continue;

$\bullet \ \ \ f$ è derivabile infinite volte su tutto l'asse reale, e inoltre:

- la derivata prima è sempre diversa da zero;

- la derivata prima è sempre positiva.

La funzione rispetta quasi tutte le ipotesi del metodo tranne una: l'equazione

$f(y)=0 \ \ \ \to \ \ \ e^{-y}=0$

non ammette soluzioni.

Tra l'altro, se inneschiamo il metodo iterativo, la relazione

$y_{i+1}=y_{i}-\frac{f(y_i)}{f'(y_i)}$

diventa

$y_{i+1}=y_{i}-\frac{e^{-y_{i}}}{-e^{-y_{i}}}$

da cui ricaviamo la successione ricorsiva a un passo

$y_{i+1}=y_{i}+1 \ \ \ \forall i\in\mathbb{N}$

che possiamo esplicitare con un semplice ragionamento ricorsivo.

Se sostituiamo $y_{i}=y_{i-1}+1$ nella formula

$y_{i+1}=y_{i}+1$

otteniamo

$y_{i+1}=(y_{i-1}+1)+1=y_{i-1}+2$

Se sostituiamo $y_{i-1}=y_{i-2}+1$ ricaviamo invece

$y_{i+1}=y_{i-1}+2=(y_{i-2}+1)+2=y_{i-2}+3$

Iterando questo processo, troviamo la seguente espressione

$y_{i+1}=y_{0}+i+1=0,1+1+i=1,1+i$

In altri termini l'espressione esplicita della successione ricorsiva è

$y_{i+1}=1.1+i$

che per $i\to +\infty$ diverge positivamente.

Re: Metodo di Raphson-Newton #102077

charly72 Punto	$3e^{-y\cdot 0.5}+3e^{-y\cdot 1}+3e^{-y\cdot 1.5}+103\cdot e^{-y\cdot 2}=98.39$ Il mio manuale di finanza ricava il valore $y=6.76\%$ applicando il metodo Raphson Newton: $y_{i+1}=y_i-\frac{f(y_i)}{f'(y_i)}$ Grazie.

Re: Metodo di Raphson-Newton #102078

Ifrit

Amministratore

Ora l'esercizio può essere risolto: il problema di fondo è che $f(y)=e^{-y}$ non è la funzione da usare per sfruttare il metodo.

Consideriamo l'equazione

$3e^{-y\cdot 0.5}+3e^{-y\cdot 1}+3e^{-y\cdot 1.5}+103\cdot e^{-y\cdot 2}=98.39$

Il nostro obiettivo consiste nel ricavare la funzione che svolge il ruolo di

nell'equazione

(Nota: al secondo membro c'è zero.)

In termini molto semplici, per ricavare

bisogna portare 98.39 al primo membro: bisogna passare cioè da

$3e^{-y\cdot 0.5}+3e^{-y\cdot 1}+3e^{-y\cdot 1.5}+103\cdot e^{-y\cdot 2}=98.39$

all'equazione equivalente

$\overbrace{3e^{-y\cdot 0.5}+3e^{-y\cdot 1}+3e^{-y\cdot 1.5}+103\cdot e^{-y\cdot 2}-98.39}^{f(y)}=0$

Il primo membro è esattamente l'espressione analitica di

$\\ f(y)=3e^{-y\cdot 0.5}+3e^{-y}+3e^{-y\cdot 1.5}+103\cdot e^{-y\cdot 2}-98.39=\\ \\ =3e^{-0.5y}+3e^{-y}+3e^{-1.5y}+103\cdot e^{-2y}-98.39$

A questo punto calcoliamone la derivata prima

$\\ f'(y)=\frac{d}{dy}[3e^{-0.5y}+3e^{-y}+3e^{-1.5y}+103\cdot e^{-2y}-98.39]=$

ricordando che:

- la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate;

- la derivata del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione

$=3\cdot\frac{d}{dy}[e^{-0.5y}]+3\cdot\frac{d}{dy}[e^{-y}]+3\frac{d}{dy}[e^{-1.5y}]+103\cdot\frac{d}{dy}[e^{-2y}]-\frac{d}{dy}[98.39]=$

La derivata rispetto a

di 98.39 è zero per la regola della derivata di una costante

$=3\cdot\frac{d}{dy}[e^{-0.5y}]+3\cdot\frac{d}{dy}[e^{-y}]+3\cdot\frac{d}{dy}[e^{-1.5y}]+103\cdot\frac{d}{dy}[e^{-2y}]=$

A questo punto deriviamo le funzioni esponenziali e semplifichiamo l'espressione che otterremo

$\\ =3\cdot (-0.5)e^{-0.5 y}+3\cdot (-1)e^{-y}+3\cdot (-1.5)e^{-1.5y}+103\cdot(-2)e^{-2y}= \\ \\ =-1.5e^{-0.5 y}-3e^{-y}-4.5e^{-1.5y}-206e^{-2y}$

Avendo a disposizione sia l'espressione di

che quella della sua derivata, possiamo finalmente applicare il metodo di Newton, usando come punto iniziale

.

Aiutandoci con una calcolatrice, valutiamo sia la funzione che la sua derivata in

. Ricaviamo le seguenti approssimazioni:

$\\ \bullet \ \ \ f(y_0)=f(0.1)\simeq -5.91041\\ \\ \bullet \ \ \ f'(y_0)=f'(0.1)\simeq-176.673$

grazie alle quali otteniamo

: basta sostituirli nella formula

$\\ y_1=y_0-\frac{f(y_0)}{f'(y_0)} \simeq \\ \\ \\ \simeq 0.1-\frac{-5.91041}{-176.673}\simeq 0.066546$

Valutiamo

e la sua derivata in $y_1\simeq 0.066546$

$\\ \bullet \ \ \ f(y_1)\simeq f(0.066546)\simeq 0.198296\\ \\ \bullet \ \ \ f'(y_1)\simeq f'(0.066546)\simeq -188.659$

e usiamoli per calcolare (l'approssimazione di) $y_{2}$

$\\ y_{2}=y_1-\frac{f(y_1)}{f'(y_1)}\simeq \\ \\ \\ \simeq 0.066546-\frac{0.198296}{-188.659}\simeq 0.0675971 \simeq 6.76\%$

Per i lettori che non hanno famigliarità con le percentuali esplicito i passaggi per passare da

alla sua approssimazione in percentuale

$0.0675971\simeq \frac{6.75971}{100}\simeq 6.76\%$

Abbiamo finito.

Re: Metodo di Raphson-Newton #102083

charly72 Punto	grazie intervento eccellente;)
	Ringraziano: Ifrit

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