Metodo di Raphson-Newton

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Metodo di Raphson-Newton #102072

avt
charly72
Punto
Ciao, sono alle prese con la seguente formula di Raphson Newton:
la mia variabile indipendente la chiamo y

y_{i+1}=y_{i}-\frac{f(y_{i})}{f'(y_i)}

La funzione f(y_i) è l'esponenziale: e^{-y}; la derivata: -e^{-y}.
Partendo dal valore iniziale y_i=0.1 non riesco a ottenere coerenti variazioni di y_i dato che il rapporto \frac{e^{-y}}{-e^{-y}} restituisce sempre -1.

Dove commetto un errore?
 
 

Re: Metodo di Raphson-Newton #102073

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Charly72,

ho modificato il corpo della domanda per inserire i tag per le formule. Puoi confermare che sia tutto ok?

Grazie mille!

Re: Metodo di Raphson-Newton #102075

avt
charly72
Punto
si mi sembra sia tutto ok,
grazie

Re: Metodo di Raphson-Newton #102076

avt
Ifrit
Amministratore
Risposta secca: il metodo di Raphson-Newton non può essere applicato alla funzione f(y)=e^{-y} perché l'equazione esponenziale

f(y)=0 \ \ \to \ \ e^{-y}=0

non ammette soluzioni.

Il metodo di Raphson-Newton, detto anche metodo delle tangenti, è un processo iterativo che consente di costruire una successione numerica che converge alla soluzione di un'equazione della forma f(y)=0 dove f è una funzione che deve soddisfare alcune ipotesi di regolarità.


Metodo di Raphson-Newton

Proponiamo una formulazione del metodo di Raphson-Newton (ne esistono diverse).

Consideriamo una funzione f definita in un intervallo chiuso e limitato [a,b] tale che:

- esiste un solo numero reale \alpha\in (a,b) che annulla la funzione, vale a dire f(\alpha)=0;

\bullet \ \ \ f è una funzione continua in [a,b];

\bullet \ \ \ f è una funzione due volte derivabile con continuità in [a,b] (significa che la derivata prima e la derivata seconda di f devono essere a loro volta funzioni continue in [a,b]).

Supponiamo inoltre che per ogni y\in [a,b] sussistano le seguenti condizioni:

1) la derivata prima deve essere diversa da 0, (f'(y)\ne 0);

2) la derivata seconda deve essere a segno costante (f''(y)<0 \ \mbox{oppure} \ f''(y)>0).

Se le ipotesi sono rispettate, allora fissato il punto iniziale

\\ y_0=a \ \ \ \mbox{se} \ f(a)f''(a)>0 \\ \\\mbox{oppure} \\ \\ y_0=b \ \ \ \mbox{se} \ f(b)f''(b)<0

la successione numerica

y_{i+1}=y_{i}-\frac{f(y_{i})}{f'(x_{i})}

converge ad \alpha per i\to +\infty.


Risoluzione del problema

Consideriamo la funzione f(y)=e^{-y}. Essa è una funzione esponenziale derivabile infinite volte sull'intero asse reale.

Il calcolo della sua derivata prima è immediato

f'(y)=\frac{d}{dy}[e^{-y}]=e^{-y}\cdot\frac{d}{dy}[-y]=-e^{-y}

così come è immediato il calcolo della derivata seconda

\\ f''(y)=\frac{d}{dy}[f'(y)]=\frac{d}{dy}[-e^{-y}]=\\ \\ =-e^{-y}\cdot\frac{d}{dy}[-y]=e^{-y}

Sottolineiamo che:

\bullet \ \ \ f è una funzione continua su tutto l'asse reale perché composizione di funzioni continue;

\bullet \ \ \ f è derivabile infinite volte su tutto l'asse reale, e inoltre:

- la derivata prima è sempre diversa da zero;

- la derivata prima è sempre positiva.

La funzione rispetta quasi tutte le ipotesi del metodo tranne una: l'equazione

f(y)=0 \ \ \ \to \ \ \ e^{-y}=0

non ammette soluzioni.

Tra l'altro, se inneschiamo il metodo iterativo, la relazione

y_{i+1}=y_{i}-\frac{f(y_i)}{f'(y_i)}

diventa

y_{i+1}=y_{i}-\frac{e^{-y_{i}}}{-e^{-y_{i}}}

da cui ricaviamo la successione ricorsiva a un passo

y_{i+1}=y_{i}+1 \ \ \ \forall i\in\mathbb{N}

che possiamo esplicitare con un semplice ragionamento ricorsivo.

Se sostituiamo y_{i}=y_{i-1}+1 nella formula

y_{i+1}=y_{i}+1

otteniamo

y_{i+1}=(y_{i-1}+1)+1=y_{i-1}+2

Se sostituiamo y_{i-1}=y_{i-2}+1 ricaviamo invece

y_{i+1}=y_{i-1}+2=(y_{i-2}+1)+2=y_{i-2}+3

Iterando questo processo, troviamo la seguente espressione

y_{i+1}=y_{0}+i+1=0,1+1+i=1,1+i

In altri termini l'espressione esplicita della successione ricorsiva è

y_{i+1}=1.1+i

che per i\to +\infty diverge positivamente.

Re: Metodo di Raphson-Newton #102077

avt
charly72
Punto
3e^{-y\cdot 0.5}+3e^{-y\cdot 1}+3e^{-y\cdot 1.5}+103\cdot e^{-y\cdot 2}=98.39

Il mio manuale di finanza ricava il valore y=6.76\% applicando il metodo Raphson Newton:


y_{i+1}=y_i-\frac{f(y_i)}{f'(y_i)}

Grazie.

Re: Metodo di Raphson-Newton #102078

avt
Ifrit
Amministratore
Ora l'esercizio può essere risolto: il problema di fondo è che f(y)=e^{-y} non è la funzione da usare per sfruttare il metodo.

Consideriamo l'equazione

3e^{-y\cdot 0.5}+3e^{-y\cdot 1}+3e^{-y\cdot 1.5}+103\cdot e^{-y\cdot 2}=98.39

Il nostro obiettivo consiste nel ricavare la funzione che svolge il ruolo di f nell'equazione

f(y)=0

(Nota: al secondo membro c'è zero.)

In termini molto semplici, per ricavare f(y) bisogna portare 98.39 al primo membro: bisogna passare cioè da

3e^{-y\cdot 0.5}+3e^{-y\cdot 1}+3e^{-y\cdot 1.5}+103\cdot e^{-y\cdot 2}=98.39

all'equazione equivalente

\overbrace{3e^{-y\cdot 0.5}+3e^{-y\cdot 1}+3e^{-y\cdot 1.5}+103\cdot e^{-y\cdot 2}-98.39}^{f(y)}=0

Il primo membro è esattamente l'espressione analitica di f(y)

\\ f(y)=3e^{-y\cdot 0.5}+3e^{-y}+3e^{-y\cdot 1.5}+103\cdot e^{-y\cdot 2}-98.39=\\ \\ =3e^{-0.5y}+3e^{-y}+3e^{-1.5y}+103\cdot e^{-2y}-98.39

A questo punto calcoliamone la derivata prima

\\ f'(y)=\frac{d}{dy}[3e^{-0.5y}+3e^{-y}+3e^{-1.5y}+103\cdot e^{-2y}-98.39]=

ricordando che:

- la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate;

- la derivata del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione

=3\cdot\frac{d}{dy}[e^{-0.5y}]+3\cdot\frac{d}{dy}[e^{-y}]+3\frac{d}{dy}[e^{-1.5y}]+103\cdot\frac{d}{dy}[e^{-2y}]-\frac{d}{dy}[98.39]=

La derivata rispetto a y di 98.39 è zero per la regola della derivata di una costante

=3\cdot\frac{d}{dy}[e^{-0.5y}]+3\cdot\frac{d}{dy}[e^{-y}]+3\cdot\frac{d}{dy}[e^{-1.5y}]+103\cdot\frac{d}{dy}[e^{-2y}]=

A questo punto deriviamo le funzioni esponenziali e semplifichiamo l'espressione che otterremo

\\ =3\cdot (-0.5)e^{-0.5 y}+3\cdot (-1)e^{-y}+3\cdot (-1.5)e^{-1.5y}+103\cdot(-2)e^{-2y}= \\ \\ =-1.5e^{-0.5 y}-3e^{-y}-4.5e^{-1.5y}-206e^{-2y}

Avendo a disposizione sia l'espressione di f(y) che quella della sua derivata, possiamo finalmente applicare il metodo di Newton, usando come punto iniziale y_0=0.1.

Aiutandoci con una calcolatrice, valutiamo sia la funzione che la sua derivata in y_0=0.1. Ricaviamo le seguenti approssimazioni:

\\ \bullet \ \ \ f(y_0)=f(0.1)\simeq -5.91041\\ \\ \bullet \ \ \ f'(y_0)=f'(0.1)\simeq-176.673

grazie alle quali otteniamo y_1: basta sostituirli nella formula

\\ y_1=y_0-\frac{f(y_0)}{f'(y_0)} \simeq \\ \\ \\ \simeq 0.1-\frac{-5.91041}{-176.673}\simeq 0.066546

Valutiamo f e la sua derivata in y_1\simeq 0.066546

\\ \bullet \ \ \ f(y_1)\simeq f(0.066546)\simeq 0.198296\\ \\ \bullet \ \ \ f'(y_1)\simeq f'(0.066546)\simeq -188.659

e usiamoli per calcolare (l'approssimazione di) y_{2}

\\ y_{2}=y_1-\frac{f(y_1)}{f'(y_1)}\simeq \\ \\ \\ \simeq 0.066546-\frac{0.198296}{-188.659}\simeq 0.0675971 \simeq 6.76\%

Per i lettori che non hanno famigliarità con le percentuali esplicito i passaggi per passare da 0.0675971 alla sua approssimazione in percentuale

0.0675971\simeq \frac{6.75971}{100}\simeq 6.76\%

Abbiamo finito.

Re: Metodo di Raphson-Newton #102083

avt
charly72
Punto
grazie intervento eccellente;)
Ringraziano: Ifrit
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Os