Metodo di Raphson-Newton
Ciao, sono alle prese con la seguente formula di Raphson Newton:
la mia variabile indipendente la chiamo y
La funzione 
è l'esponenziale: 
; la derivata: 
.
Partendo dal valore iniziale 
non riesco a ottenere coerenti variazioni di 
dato che il rapporto 
restituisce sempre 
.
Dove commetto un errore?
Risposta secca: il metodo di Raphson-Newton non può essere applicato alla funzione 
perché l'equazione esponenziale
non ammette soluzioni.
Il metodo di Raphson-Newton, detto anche metodo delle tangenti, è un processo iterativo che consente di costruire una successione numerica che converge alla soluzione di un'equazione della forma 
dove 
è una funzione che deve soddisfare alcune ipotesi di regolarità.
Metodo di Raphson-Newton
Proponiamo una formulazione del metodo di Raphson-Newton (ne esistono diverse).
Consideriamo una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato ![[a,b]](data:image/gif;base64,R0lGODlhIQASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKimJiYnR0dBYWFgQEBMzMzLa2tp6enubm5lBQUEBAQAwMDCH5BAEAAAAALAAAAAAhABIAAAScEAAxiLw466KuGYMUaqSmCIE2jmUrLYIqunTTyABLk8eC64BCwUA4uBgBAqFgmeUwAoMImCEEEhIEw8kyGEXSluOW9T3PAEQ4jW09zMjOeZS4ShSIY2ALsF5WdykSBTFmGgl5EgJkcxdaAAwHN1IJA3wXDy9fXBcLDUqVBVsKAWsvnwUZgDt9rI2sTTurNAuXNLMusbKKFa40HwMRADs=){kind=small}
tale che:
- esiste un solo numero reale 
che annulla la funzione, vale a dire 
;
è una funzione continua in ;
è una funzione due volte derivabile con continuità in (significa che la derivata prima e la derivata seconda di devono essere a loro volta funzioni continue in ).
Supponiamo inoltre che per ogni ![y∈ [a,b]](data:image/gif;base64,R0lGODlhQQASAOMAAP///wAAALa2toqKiiIiIjAwMObm5nR0dAQEBFBQUJ6enszMzAwMDGJiYhYWFkBAQCH5BAEAAAAALAAAAABBABIAAAT+EMhJq72WlIH7bMJ0FIVnnkCJWgIRWOoqT/EsKQRsA0tC/IRGp2ZLJHSzAyGEIs4cCp1gkJMMnADFY0ZsNA4Dh8cQGAwaHEnBcAAgmIWjRcylENop7GQQWEgQBmpRCy9/URU9NjEHdCl4GA9ybocqCSoChRUKDECdQhgxCI8Ifh0Mh2RwEgxpDY0UC1t1PH0SAghjAYEAfDQSuhIEkhWvTbaZDTmHFgu4wZIqwITLFQJ6oBOAAAYOR20LaxUMN68qBwnnmRdUA6UmMQoJZuANgZiPN/KfvhTJJmwPgOxDciLNiRIIDiXcMWSFwXcGZCWQxfDCNQoKdh0EcOAcvooOFS7ukSESZLANJkWQiAAAOw==){kind=small}
sussistano le seguenti condizioni:
1) la derivata prima deve essere diversa da 0, 
;
2) la derivata seconda deve essere a segno costante 
.
Se le ipotesi sono rispettate, allora fissato il punto iniziale
la successione numerica
converge ad 
per 
.
Risoluzione del problema
Consideriamo la funzione . Essa è una funzione esponenziale derivabile infinite volte sull'intero asse reale.
Il calcolo della sua derivata prima è immediato
![f'(y) = (d)/(dy)[e^(−y)] = e^(−y)·(d)/(dy)[−y] = −e^(−y)](/images/joomlatex/8/1/81e9b9e60428316914728c4855eef4be.gif)
così come è immediato il calcolo della derivata seconda
![f''(y) = (d)/(dy)[f'(y)] = (d)/(dy)[−e^(−y)] = −e^(−y)·(d)/(dy)[−y] = e^(−y)](/images/joomlatex/8/9/8921a3cec1e6fc0034bb8b45bdd952b3.gif)
Sottolineiamo che:
è una funzione continua su tutto l'asse reale perché composizione di funzioni continue;
è derivabile infinite volte su tutto l'asse reale, e inoltre:
- la derivata prima è sempre diversa da zero;
- la derivata prima è sempre positiva.
La funzione rispetta quasi tutte le ipotesi del metodo tranne una: l'equazione
non ammette soluzioni.
Tra l'altro, se inneschiamo il metodo iterativo, la relazione
diventa
da cui ricaviamo la successione ricorsiva a un passo
che possiamo esplicitare con un semplice ragionamento ricorsivo.
Se sostituiamo 
nella formula
otteniamo
Se sostituiamo 
ricaviamo invece
Iterando questo processo, troviamo la seguente espressione
In altri termini l'espressione esplicita della successione ricorsiva è
che per diverge positivamente.
Il mio manuale di finanza ricava il valore 
applicando il metodo Raphson Newton:
Grazie.
Ora l'esercizio può essere risolto: il problema di fondo è che non è la funzione da usare per sfruttare il metodo.
Consideriamo l'equazione
Il nostro obiettivo consiste nel ricavare la funzione che svolge il ruolo di nell'equazione
(Nota: al secondo membro c'è zero.)
In termini molto semplici, per ricavare 
bisogna portare 98.39 al primo membro: bisogna passare cioè da
all'equazione equivalente
Il primo membro è esattamente l'espressione analitica di
A questo punto calcoliamone la derivata prima
![f'(y) = (d)/(dy)[3e^(−0.5y)+3e^(−y)+3e^(−1.5y)+103·e^(−2y)−98.39] =](/images/joomlatex/d/1/d11589d81e939d0a9356469a6d0c5feb.gif)
ricordando che:
- la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate;
- la derivata del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione
![= 3·(d)/(dy)[e^(−0.5y)]+3·(d)/(dy)[e^(−y)]+3(d)/(dy)[e^(−1.5y)]+103·(d)/(dy)[e^(−2y)]−(d)/(dy)[98.39] =](/images/joomlatex/d/7/d794dffc7d58061a0bb9358919e7f013.gif)
La derivata rispetto a 
di 98.39 è zero per la regola della derivata di una costante
![= 3·(d)/(dy)[e^(−0.5y)]+3·(d)/(dy)[e^(−y)]+3·(d)/(dy)[e^(−1.5y)]+103·(d)/(dy)[e^(−2y)] =](/images/joomlatex/1/f/1f07419085c2a3abac3ea14e4fd71d32.gif)
A questo punto deriviamo le funzioni esponenziali e semplifichiamo l'espressione che otterremo
Avendo a disposizione sia l'espressione di che quella della sua derivata, possiamo finalmente applicare il metodo di Newton, usando come punto iniziale 
.
Aiutandoci con una calcolatrice, valutiamo sia la funzione che la sua derivata in . Ricaviamo le seguenti approssimazioni:
grazie alle quali otteniamo 
: basta sostituirli nella formula
Valutiamo e la sua derivata in 
e usiamoli per calcolare (l'approssimazione di) 
Per i lettori che non hanno famigliarità con le percentuali esplicito i passaggi per passare da 
alla sua approssimazione in percentuale
Abbiamo finito.
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