Quoziente tra numeri complessi in forma trigonometrica ed esponenziale

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Quoziente tra numeri complessi in forma trigonometrica ed esponenziale #102046

avt
xxautod
Punto
Devo esprimere in forma trigonometrica e in forma esponenziale il seguente numero complesso

α = (1-i^5)/(-1+i√(3))

ho provato a scrivere in forma esponenziale il numeratore e il denominatore ma non mi sembra che il mio risultato sia corretto.

Grazie e saluti.
 
 

Quoziente tra numeri complessi in forma trigonometrica ed esponenziale #102049

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao xxautod!

L'esercizio ci chiede di esprimere in forma trigonometrica e in forma esponenziale il seguente numero complesso

α = (1-i^(5))/(-1+i√(3))

dove i è l'unità immaginaria.

Una buona strategia risolutiva prevede di calcolare modulo e argomento dei numeri complessi

z_1 = 1-i^5 e z_2 = -1+i√(3)

e di usare quindi le seguenti regole:

- il modulo del quoziente di due numeri complessi è uguale al quoziente tra i moduli;

|(z_1)/(z_2)| = (|z_1|)/(|z_2|) con z_2 ne 0

- l'argomento (principale) del quoziente di due numeri complessi è uguale alla differenza degli argomenti

Arg((z_1)/(z_2)) = Arg(z_1)-Arg(z_2)


Modulo e argomento di z1

Calcoliamo il modulo e l'argomento di z_1 = 1-i^5, non prima di aver semplificato la potenza quinta dell'unità immaginaria

i^(5) = i^4·i = 1·i = i

In forma algebrica z_1 è:

z_1 = 1-i

da cui deduciamo che la sua parte reale e la sua parte immaginaria valgono rispettivamente

Re(z_1) = 1 e Im(z_1) = -1

A questo punto calcoliamo il modulo di z_1, definito come la radice quadrata della somma tra i quadrati della parte reale e della parte immaginaria

 |z_1| = √([Re(z_1)]^2+[Im(z_1)]^2) = √(1^2+(-1)^2) = √(2)

Determiniamo l'argomento (principale) di z_1, definito come quell'angolo Arg(z_1) = θ_1∈ [0,2π) che è soluzione del sistema trigonometrico

cos(θ_1) = (Re(z_1))/(|z_1|) ; sin(θ_1) = (Im(z_1))/(|z_1|) ; cos(θ_1) = (1)/(√(2)) ; sin(θ_1) = -(1)/(√(2))

L'unico angolo θ_1∈ [0,2π) che soddisfa il sistema è

Arg(z_1) = θ_1 = (7π)/(4)

] In definitiva il modulo e l'argomento di z_1 valgono

|z_1| = √(2) e Arg(z_1) = (7π)/(4)


Modulo e argomento di z2

Determiniamo il modulo e l'argomento del numero complesso

z_2 = -1+i√(3)

La sua parte reale e la sua parte immaginaria valgono rispettivamente

Re(z_2) = -1 e Im(z_2) = √(3)

Calcoliamo il modulo di z_2

 |z_2| = √([Re(z_2)]^2+[Im(z_2)]^2) = √((-1)^2+(√(3))^2) = √(4) = 2

e l'argomento (principale), definito come l'unico angolo Arg(z_2) = θ_2∈[0,2π) che soddisfa il sistema

 cos(θ_2) = (Re(z_2))/(|z_2|) ; sin(θ_2) = (Im(z_2))/(|z_2|)

vale a dire

 cos(θ_2) = -(1)/(2) ; sin(θ_2) = (√(3))/(2)

L'argomento di z_2 è quindi

Arg(z_2) = θ_2 = (2π)/(3)

]

Modulo e argomento di z1/z2

In base alle formule scritte in precedenza, il modulo e l'argomento del quoziente tra z_1 e z_2 sono:

 • |α| = |(z_1)/(z_2)| = (|z_1|)/(|z_2|) = (√(2))/(2) ; • Arg(α) = Arg((z_1)/(z_2)) = Arg(z_1)-Arg(z_2) = (7π)/(4)-(2π)/(3) = (13π)/(12)

Disponendo del modulo e dell'argomento di α, possiamo ricavare sia la sua espansione esponenziale

α = |α|e^(i Arg(α)) = (√(2))/(2)e^(i·(13π)/(12))

sia quella trigonometrica

 α = |α|(cos(Arg(α))+isin(Arg(α))) = (√(2))/(2)(cos((13π)/(12))+isin((13π)/(12)))

Abbiamo finito.


Nota

Per risolvere il sistema trigonometrico ti invito a ripassare le equazioni goniometriche e i valori notevoli delle funzioni trigonometriche.
Ringraziano: Galois

Quoziente tra numeri complessi in forma trigonometrica ed esponenziale #102050

avt
xxautod
Punto
Grazie per molto utile la risposta, però mi sono accorto di un errore, al numeratore doveva essere

(1-i)^5

comunque la risposta mi è utile ugualmente.

Quoziente tra numeri complessi in forma trigonometrica ed esponenziale #102051

avt
Ifrit
Amministratore
In tal caso, basta calcolare il modulo e l'argomento del numero complesso z = 1-i che valgono rispettivamente

|z| = √(2) e Arg(z) = (7π)/(4)

e usare le seguenti formule:

- il modulo della potenza n-esima di un numero complesso coincide con la potenza n-esima del modulo della base

• |z^n| = |z|^(n)

- l'argomento della potenza n-esima di un numero complesso è uguale al prodotto tra n e l'argomento della base (modulo 2π)

Arg(z^n) = n Arg(z) (mod 2π)

Nel nostro caso

 • |z^5| = |z|^5 = |1+i|^(5) = √(2^5) = 4√(2) ; • Arg(z^5) = 5 Arg(z) = 5·(7π)/(4) = (35π)/(4)

Attenzione

L'angolo (35π)/(4) non appartiene all'intervallo [0,2π). In questo caso devi trovare l'angolo associato a (35π)/(4) che vive nell'intervallo fissato. Per farlo basta un po' di algebra di base, sufficiente a esprimere (35π)/(4) come la somma tra l'angolo θ∈[0,2π) (è l'angolo che ci interessa) e un multiplo di 2π

(35π)/(4) = (32π+3π)/(4) = (3π)/(4)+8π

Da ciò ricaviamo che l'argomento (principale) di z^5 è:

Arg[(1-i)^5] = (3π)/(4)

Adesso basta usare le formule di prima, sostituendo il nuovo modulo e il nuovo argomento.

Otterrai

 α = 2√(2)e^(i·(π)/(12)) ; α = 2√(2)(cos((π)/(12))+isin((π)/(12)))
Ringraziano: xxautod
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