Studio di funzione: radice cubica e esponenziale alla 1/x

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Studio di funzione: radice cubica e esponenziale alla 1/x #102030

avt
misterm
Punto
Ho difficoltà nello studio di una funzione data dal prodotto tra una radice cubica e un'esponenziale elevato a 1/x

f(x) = [3]√(x)·e^((1)/(x)).

Ho provato a fare confronti con diverse soluzioni, ma la mia è sempre diversa.

Credo di sbagliare sia la derivata prima (per la monotonia) che la derivata seconda (per concavità e convessità): potreste risolverle step-by-step?

Grazie!
 
 

Studio di funzione: radice cubica e esponenziale alla 1/x #102032

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di svolgere lo studio della funzione

f(x) = [3]√(x)e^((1)/(x))


Dominio della funzione

Il primo passo prevede di determinare il dominio della funzione, osservando che:

- la funzione irrazionale y = [3]√(x) è definita per ogni x∈R (è una radice con indice dispari)

- la funzione esponenziale y = e^((1)/(x)) è ben definita per tutti i numeri reali x diversi da 0.

Alla luce di ciò, il dominio di f è

Dom(f) = x∈R t.c. x ne 0 = (-∞,0) U (0,+∞)


Studio della parità e della disparità

La funzione f(x) è definita su un insieme simmetrico rispetto all'origine, per cui ha senso chiedersi se essa è una funzione pari o dispari.

A tal proposito, consideriamo l'espressione f(-x), che si ottiene valutando la funzione in -x

f(-x) = [3]√(-x)e^((1)/(-x)) =

Per le proprietà dei radicali, possiamo esprimere la radice del prodotto -x = (-1)·x come il prodotto delle radici dei singoli fattori

= -[3]√(x)e^(-(1)/(x))

L'espressione che abbiamo ricavato non coincide né con f(x), né con il suo opposto, per cui f(x) non è né pari né dispari.


Intersezione con gli assi

La funzione data non interseca l'asse delle ascisse, infatti la risolvente del sistema costituito dall'equazione y = f(x) e dall'equazione dell'asse x

y = [3]√(x)e^((1)/(x)) ; y = 0

è

[3]√(x)e^((1)/(x)) = 0

In virtù della legge di annullamento del prodotto, il prodotto al primo membro è zero nel momento in cui almeno uno dei due fattori è nullo

• [3]√(x) = 0 → x = 0 ; • e^((1)/(x)) = 0 → mai

L'unica soluzione sembrerebbe essere x = 0, però non è accettabile perché non è un elemento del dominio.

Possiamo affermare che la funzione non interseca l'asse delle ascisse.

Per quanto concerne l'intersezione con l'asse delle ordinate, dovremmo risolvere il sistema costituito dalle equazioni x = 0 e y = f(x)

x = 0 ; y = [3]√(x)e^((1)/(x))

Esso però è impossibile perché x = 0 non appartiene al dominio della funzione: f(x) non interseca nemmeno l'asse delle ordinate.


Segno della funzione

Studiamo il segno della funzione impostando la disequazione

f(x) > 0 → [3]√(x)e^((1)/(x)) > 0

la quale fornirà gli intervalli in cui f è una funzione positiva (e di riflesso, gli intervalli in cui è negativa).

Studiamo la disequazione con la regola dei segni. In altri termini analizziamo il segno di ciascun fattore, creiamo la tabella dei segni e da essa deduciamo il segno della funzione

Osserviamo che:

• [3]√(x) > 0 rightarrow x > 0 ; • e^((1)/(x)) > 0 rightarrow ∀ x ne 0

La tabella dei segni sarà quindi

beginarrayc|ccc 0 ; hline ; [3]√(x) --- 0 +++; ; e^((1)/(x)) +++ !∃ +++; ; hline ; [3]√(x) , e^((1)/(x)) --- !∃ +++ endarray

Possiamo concludere che f(x) è:

- una funzione negativa nell'intervallo (-∞,0);

- una funzione positiva nell'intervallo (0,+∞).


Limiti agli estremi del dominio

Il prossimo passo consiste nel calcolare i limiti agli estremi del dominio che in questo caso sono i seguenti

lim_(x → -∞)f(x) ; lim_(x → 0^(-))f(x) ; lim_(x → 0^(+))f(x) ; lim_(x → +∞)f(x)

Partiamo dal limite per x → -∞

lim_(x → -∞)f(x) = lim_(x → -∞)[3]√(x)e^((1)/(x))

Notiamo che per x → -∞ il termine irrazionale tende a -∞, mentre e^((1)/(x)) tende a e^(0) = 1, per cui, in accordo con l'algebra degli infiniti, ricaviamo che:

lim_(x → -∞)[3]√(x)e^((1)/(x)) = [-∞·1] = -∞


Osservazione

Poiché il limite per x → -∞ di f(x) è -∞, possiamo immediatamente concludere che f(x) non ammette asintoto orizzontale sinistro, d'altro canto potrebbe ammettere asintoto obliquo sinistro.

Verifichiamolo considerando il limite che definisce il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo

m = lim_(x → -∞)(f(x))/(x) = lim_(x → -∞)([3]√(x)e^((1)/(x)))/(x) =

Esso genera una forma indeterminata del tipo [(∞)/(∞)] che possiamo risolvere scrivendo [3]√(x) nella forma x^((1)/(3)) (potenza a esponente fratto) e sfruttando in seguito le proprietà delle potenze

= lim_(x → -∞)(x^((1)/(3))e^((1)/(x)))/(x) = lim_(x → -∞)(e^((1)/(x)))/(x^(1-(1)/(3))) = lim_(x → -∞)(e^((1)/(x)))/(x^((2)/(3))) = 0

Il limite è 0 perché il numeratore tende a 1 mentre il denominatore esplode a +∞.

Poiché m = 0, la funzione non ammette asintoto obliquo sinistro.


Consideriamo i limiti sinistro e destro per x → 0, partendo dal primo

lim_(x → 0^(-))f(x) = lim_(x → 0^(-))[3]√(x)e^((1)/(x))

Il termine irrazionale tende chiaramente a 0.

Per quanto concerne il termine esponenziale, osserviamo che se x → 0 per valori negativi, allora (1)/(x) tende a -∞, di conseguenza e^((1)/(x)) tende a 0.

In definitiva:

lim_(x → 0^(-))f(x) = lim_(x → 0^(-))[3]√(x)e^((1)/(x)) = 0


Occupiamoci del limite destro.

lim_(x → 0^(+))f(x) = lim_(x → 0^(+))[3]√(x)e^((1)/(x))

Notiamo che per x → 0^(+), il termine irrazionale tende ancora a 0, mentre (1)/(x) tende a +∞ e dunque e^((1)/(x)) tende a +∞. Si genera quindi una forma di indecisione [0·+∞] che possiamo agilmente risolvere osservando che l'esponenziale è un infinito di ordine superiore: il limite tende a +∞.

lim_(x → 0^(+))[3]√(x)e^((1)/(x)) = +∞

Poiché il limite destro è +∞, la funzione ammette un asintoto verticale destro di equazione x = 0.


Occupiamoci del limite per x → +∞

lim_(x → +∞)f(x) = lim_(x → +∞)[3]√(x)e^((1)/(x))

In questo caso

• [3]√(x) → +∞ ; • e^((1)/(x)) → e^(0) = 1

per cui il limite è +∞

lim_(x → +∞)f(x) = lim_(x → +∞)[3]√(x)e^((1)/(x)) = +∞

Deduciamo che la funzione non ammette nemmeno asintoto orizzontale destro, e se procediamo come per il caso x → -∞, scopriamo che non ammette nemmeno l'asintoto obliquo destro.


Calcolo della derivata prima

Calcoliamo la derivata prima della funzione usando le dovute tecniche di derivazione

f'(x) = (d)/(dx)[f(x)] = (d)/(dx)[[3]√(x)e^((1)/(x))] =

Usiamo innanzitutto la regola della derivata del prodotto

= (d)/(dx)[[3]√(x)]·e^((1)/(x))+[3]√(x)·(d)/(dx)[e^((1)/(x))] =

dopodiché deriviamo il termine irrazionale con la formula di derivazione delle radici

= (1)/(3[3]√(x^2))·e^((1)/(x))+[3]√(x)·(d)/(dx)[e^((1)/(x))] = (•)

Per derivare il termine esponenziale e^((1)/(x)) è necessario ricorrere alla regola di derivazione delle funzioni composte, in combo con la regola di derivazione delle funzioni esponenziali. In termini più espliciti, la derivata di e^((1)/(x)) è il prodotto dell'esponenziale per la derivata dell'esponente

(d)/(dx)[e^((1)/(x))] = e^((1)/(x))·(d)/(dx)[(1)/(x)] = e^((1)/(x))(-(1)/(x^2)) = -(e^((1)/(x)))/(x^2)

Sostituiamo in (•) ricavando così

= (1)/(3[3]√(x^2))·e^((1)/(x))+[3]√(x)·(-(e^((1)/(x)))/(x^2)) = (1)/(3[3]√(x^2))·e^((1)/(x))-([3]√(x)·e^((1)/(x)))/(x^2)) =

A questo punto è solo questione di usare i giusti passaggi algebrici per abbellire l'espressione.

Raccogliamo il fattore comune e^((1)/(x))

= e^((1)/(x))((1)/(3[3]√(x^2))-([3]√(x))/(x^2)) =

dopodiché portiamo a denominatore comune e sfruttiamo le proprietà dei radicali per semplificare il semplificabile

= e^((1)/(x))((x^2-3[3]√(x^2)·[3]√(x))/(3x^2[3]√(x^2))) = e^((1)/(x))((x^2-3[3]√(x^3))/(3x^2[3]√(x^2))) = e^((1)/(x))((x^2-3x)/(3x^2[3]√(x^2))) = e^((1)/(x))((x(x-3))/(3x^(2)[3]√(x^2))) =

Semplifichiamo x con x^2

= e^((1)/(x))(x-3)/(3x[3]√(x^2)) =

e trasportiamo l'x a denominatore all'interno del radicale

= e^((1)/(x))(x-3)/(3[3]√(x^3·x^2)) = e^((1)/(x))(x-3)/(3[3]√(x^5))

In definitiva, la derivata prima della funzione è

f'(x) = e^((1)/(x))(x-3)/(3[3]√(x^5))


Studio del segno della derivata prima

Studiamo il segno della derivata prima così da ricavare gli intervalli in cui f(x) è una funzione crescente e quelli in cui è monotona decrescente

Impostiamo la disequazione

f'(x) > 0 → e^((1)/(x))(x-3)/(3[3]√(x^5)) > 0

e risolviamola analizzando i segni dei termini che la compongono

• e^((1)/(x)) > 0 → ∀ x ne 0 ; • x-3 > 0 → x > 3 ; • [3]√(x^5) > 0 → x > 0

Tabuliamo i segni

beginarrayc|ccccc 0 3 ; hline ; e^((1)/(x)) +++ !∃ +++ + +++; ; x-3 --- - --- 0 +++; ; [3]√(x^5) --- 0 +++ + +++; ; hline ; (e^((1)/(x))(x-3))/([3]√(x^5)) +++ !∃ --- 0 +++ endarray

Dall'ultima riga scopriamo che f'(x) è:

- positiva negli intervalli (-∞, 0) e (3,+∞)

- nulla per x = 0;

- negativa nell'intervallo (0,3),

Di conseguenza f(x) è:


- crescente negli intervalli (-∞, 0) e (3,+∞)

- decrescente nell'intervallo (0,3).

Il punto x = 3 è un punto di minimo relativo, il minimo relativo associato è m = f(3) = e^((1)/(3))[3]√(3).


Calcolo della derivata seconda

Calcoliamo la derivata seconda di f(x) applicando le giuste regole di derivazione su f'(x)

f''(x) = (d)/(dx)[f'(x)] = (d)/(dx)[(e^((1)/(x))(x-3))/(3[3]√(x^5))]

Sfruttiamo innanzitutto la regola di derivazione del quoziente

= ((d)/(dx)[e^((1)/(x))(x-3)]·3[3]√(x^5)-e^((1)/(x))(x-3)·3·(d)/(dx)[[3]√(x^5)])/((3[3]√(x^5))^2)

dopodiché calcoliamo la derivata del prodotto tra e^((1)/(x)) e x-3, e la derivata del termine irrazionale

= ([-(e^(frac1x))/(x^2)(x-3)+e^((1)/(x))]·3[3]√(x^5)-e^((1)/(x))(x-3)·3·(5)/(3)[3]√(x^2))/((3[3]√(x^5))^2) =

È giunto il momento in cui bisogna essere lucidi (e sapere manipolare a dovere i radicali)

Mettiamo in evidenza sia il termine esponenziale e^((1)/(x))

= e^((1)/(x))([-(x-3)/(x^2)+1]·3[3]√(x^5)-(x-3)·5[3]√(x^2))/((3[3]√(x^5))^2) =

sia il termine [3]√(x^2)

= e^((1)/(x))[3]√(x^2)([-(x-3)/(x^2)+1]·3[3]√(x^3)-(x-3)·5)/((3[3]√(x^5))^2) =

Sostituiamo [3]√(x^3) con x

= e^((1)/(x))[3]√(x^2)([-(x-3)/(x^2)+1]·3x-(x-3)·5)/((3[3]√(x^5))^2) =

e svolgiamo i semplici calcoli all'interno della parentesi graffa

= e^((1)/(x))[3]√(x^2)(-2x^2+12x+9)/(x (3[3]√(x^5))^2)

La derivata seconda della funzione è

f''(x) = e^((1)/(x))[3]√(x^2)(-2x^2+12x+9)/(x (3[3]√(x^5))^2)

Nota

L'espressione ottenuta può essere ulteriormente semplificata, però non ha senso farlo perché così com'è consente di studiare facilmente il segno.


Segno della derivata seconda

Impostiamo la disequazione

f''(x) > 0 → e^((1)/(x))[3]√(x^2)(-2x^2+12x+9)/(x(3[3]√(x^5))^2) > 0

Studiamola osservando che i fattori

• e^((1)/(x)) ; [3]√(x^2) ; (3[3]√(x^5))^2

sono tutti positivi nel dominio di f e non influiscono sul segno di f''(x): esso dipende esclusivamente dai fattori -2x^2+12x+9 e x.

• -2x^2+12x+9 > 0

è una disequazione di secondo grado, soddisfatta per

(3(2-√(6)))/(2) < x < (3(2+√(6)))/(2)

• x > 0 è banalmente risolta.

Se tabuliamo i segni delle due disequazioni scopriamo che f''(x) è:

- positiva negli intervalli

(-∞,(3(2-√(6)))/(2)) ; (0,(3(2+√(6)))/(2))

- nulla per x = (3(2-√(6)))/(2) e x = (3(2+√(6)))/(2)

- negativa negli intervalli

((3(2-√(6)))/(2), 0) ; ((3(2+√(6)))/(2),+∞)

Di conseguenza f(x) è:

- una funzione convessa negli intervalli

(-∞,(3(2-√(6)))/(2)) ; (0,(3(2+√(6)))/(2))


- una funzione concava negli intervalli

((3(2-√(6)))/(2), 0) ; ((3(2+√(6)))/(2),+∞)

e infine possiede due punti di flesso di ascissa

x = (3(2-√(6)))/(2) e x = (3(2+√(6)))/(2)

Abbiamo finito.

Re: Studio di funzione: radice cubica e esponenziale alla 1/x #102037

avt
misterm
Punto
Grazie 1000. Un domanda: la la derivata del quoziente 3[3]√(x^(5)) è stata calcolata solo come [3]√(x^(5)) essendo la derivata di un numero (3) uguale a zero? O si sfrutta un altra regola? Perché l'errore che facevo era quello di mettere nella formula anche lo zero quindi sopra dopo il - veniva tutto zero...

Re: Studio di funzione: radice cubica e esponenziale alla 1/x #102038

avt
Ifrit
Amministratore
Calcoliamo con calma la derivata di 3[3]√(x^5).

(d)/(dx)[3[3]√(x^5)] =

Il primo passo prevede di trasportare fuori dal simbolo di derivazione le costanti moltiplicative (ossia il 3)

= 3·(d)/(dx)[[3]√(x^(5))]

Da qui si aprono due strade perfettamente equivalenti tra loro.

Sfrutti la regola di derivazione dei radicali

(d)/(dx)[[m]√(x^n)] = (n)/(m)[m]√(x^(n-m))

mediante la quale otterrai che

3·(d)/(dx)[[3]√(x^(5))] = 3·(5)/(3)[3]√(x^(5-2)) = 5·[3]√(x^2)

In effetti questa formula è piuttosto difficile da ricordare. Io solitamente preferisco l'alternativa che consiste nel trasformare il termine irrazionale [3]√(x^5) in una potenza di x, secondo la regola

[m]√(x^n) = x^((n)/(m))

Grazie a questa formula [3]√(x^5) diventa

[3]√(x^5) = x^((5)/(3))

A questo punto uso la regola per la derivata delle potenze

(d)/(dx)[x^(α)] = α x^(α-1)

mediante la quale ottengo:

3·(d)/(dx)[[3]√(x^5)] = 3·(d)/(dx)[x^((5)/(3))] = 3·(5)/(3)·x^((5)/(3)-1) = 5·x^((2)/(3)) =

Per concludere passo dalla potenza a esponente fratto alla relativo termine irrazionale

= 5·[3]√(x^2)

Entrambe le strade sono valide ed equivalenti. Preferisco la seconda solo per una questione di comodità (riesco a lavorare meglio con le potenze che con le radici).

PS: ho modificato la mia risposta precedente perché il latex non aveva renderizzato correttamente un pezzo di formula.
  • Pagina:
  • 1
Os