Sistema di equazioni di 2 grado in 2 incognite

Avrei bisogno di un aiuto con la risoluzione di un particolare sistema di equazioni di secondo grado in due incognite:
Vi ringrazio in anticipo.

L'esercizio ci chiede di risolvere il sistema di equazioni non lineari
al variare dei parametri reali .
Sebbene sia possibile precedere immediatamente con il metodo di sostituzione, usiamo una strategia differente: sfrutteremo le tecniche di scomposizione per poter semplificare le equazioni che compongono il sistema.
Più precisamente è proprio grazie alla regola di scomposizione della differenza di quadrati che permetterà di risolvere elegantemente il sistema. Essa infatti garantisce le seguenti uguaglianze
con le quali il sistema diventa
La prima equazione del sistema afferma che la differenza tra le incognite è uguale alla differenza tra i parametri
, per cui possiamo pensare bene di sostituire
con
nella seconda equazione
La voglia di semplificare dai membri della seconda equazione è tanta, però non possiamo farlo a cuor leggero: se
fosse uguale a 0, questo passaggio sarebbe illegale!
Dobbiamo necessariamente distinguere i casi e
.
Caso
Se , ossia se
, il sistema
diventa
La seconda equazione è in realtà un'identità che è soddisfatta indipendentemente dai valori che assumono le incognite.
Per quanto riguarda la prima equazione, possiamo pensare bene di isolare al primo membro
Il sistema è perciò soddisfatto da tutti i punti della forma
che sono caratterizzati dal fatto che l'ordinata coincide con l'ascissa.
L'insieme soluzione per il caso è quindi composto dalle coppie
tali che
:
Se interpretiamo geometricamente l'insieme , ci accorgiamo immediatamente che è costituito dai punti del piano cartesiano che appartengono alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Caso
Se , vale a dire se
, siamo autorizzati a dividere i membri della seconda equazione del sistema
per , passando così al sistema equivalente
Semplifichiamo a destra e a sinistra
isoliamo al primo membro della prima equazione
e sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda
A questo punto portiamo a termine i calcoli nella seconda
Siamo praticamente agli sgoccioli: dall'equazione ricaviamo il valore di
dividendo per due membro a membro:
Sostituendo nella prima equazione otteniamo il corrispondente valore di
L'insieme soluzione è composto dall'unica coppia
dove
deve essere diverso da
.
Conclusioni
Se , allora il sistema
è soddisfatto da tutte le coppie con
, ammette perciò infinite soluzioni.
Se , il sistema ammette una e una sola soluzione: la coppia
.
Abbiamo finito!
|