L'esercizio ci chiede di risolvere il
sistema di equazioni non lineari
al variare dei parametri reali

.
Sebbene sia possibile precedere immediatamente con il
metodo di sostituzione, usiamo una strategia differente: sfrutteremo le
tecniche di scomposizione per poter semplificare le equazioni che compongono il sistema.
Più precisamente è proprio grazie alla regola di scomposizione della
differenza di quadrati che permetterà di risolvere elegantemente il sistema. Essa infatti garantisce le seguenti uguaglianze
con le quali il sistema diventa
La prima equazione del sistema afferma che la differenza tra le incognite

è uguale alla differenza tra i parametri

, per cui possiamo pensare bene di sostituire

con

nella seconda equazione
La voglia di semplificare

dai membri della seconda equazione è tanta, però non possiamo farlo a cuor leggero: se

fosse uguale a 0, questo passaggio sarebbe
illegale!
Dobbiamo necessariamente distinguere i casi

e

.
Caso
Se

, ossia se

, il sistema
diventa
La seconda equazione è in realtà un'identità che è soddisfatta indipendentemente dai valori che assumono le incognite.
Per quanto riguarda la prima equazione, possiamo pensare bene di isolare

al primo membro
Il sistema è perciò soddisfatto da tutti i punti della forma
che sono caratterizzati dal fatto che l'
ordinata coincide con l'
ascissa.
L'insieme soluzione per il caso

è quindi composto dalle coppie

tali che

:
Se interpretiamo geometricamente l'insieme

, ci accorgiamo immediatamente che è costituito dai punti del
piano cartesiano che appartengono alla
bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Caso
Se

, vale a dire se

, siamo autorizzati a dividere i membri della seconda equazione del sistema
per

, passando così al sistema equivalente
Semplifichiamo

a destra e a sinistra
isoliamo

al primo membro della prima equazione
e sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda
A questo punto portiamo a termine i calcoli nella seconda
Siamo praticamente agli sgoccioli: dall'equazione

ricaviamo il valore di

dividendo per due membro a membro:
Sostituendo

nella prima equazione otteniamo il corrispondente valore di
L'insieme soluzione

è composto dall'unica coppia

dove

deve essere diverso da

.
Conclusioni Se

, allora il sistema
è soddisfatto da tutte le coppie

con

, ammette perciò infinite soluzioni.
Se

, il sistema ammette una e una sola soluzione: la coppia

.
Abbiamo finito!