Sistema di equazioni di 2 grado in 2 incognite

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#101999
avt
Gio?
Punto

Avrei bisogno di un aiuto con la risoluzione di un particolare sistema di equazioni di secondo grado in due incognite:

x−y = a−b ; x^2−y^2 = a^2−b^2

Vi ringrazio in anticipo.

#102001
avt
Ifrit
Amministratore

L'esercizio ci chiede di risolvere il sistema di equazioni non lineari

x−y = a−b ; x^2−y^2 = a^2−b^2

al variare dei parametri reali a e b.

Sebbene sia possibile precedere immediatamente con il metodo di sostituzione, usiamo una strategia differente: sfrutteremo le tecniche di scomposizione per poter semplificare le equazioni che compongono il sistema.

Più precisamente è proprio grazie alla regola di scomposizione della differenza di quadrati che permetterà di risolvere elegantemente il sistema. Essa infatti garantisce le seguenti uguaglianze

• x^2−y^2 = (x−y)(x+y) ; • a^2−b^2 = (a−b)(a+b)

con le quali il sistema diventa

x−y = a−b ; (x−y)(x+y) = (a−b)(a+b)

La prima equazione del sistema afferma che la differenza tra le incognite (x−y) è uguale alla differenza tra i parametri (a−b), per cui possiamo pensare bene di sostituire x−y con a−b nella seconda equazione

x−y = a−b ; (a−b)(x+y) = (a−b)(a+b)

La voglia di semplificare a−b dai membri della seconda equazione è tanta, però non possiamo farlo a cuor leggero: se a−b fosse uguale a 0, questo passaggio sarebbe illegale!

Dobbiamo necessariamente distinguere i casi a−b = 0 e a−b ne 0.

Caso a−b = 0

Se a−b = 0, ossia se a = b, il sistema

x−y = a−b ; (a−b)(x+y) = (a−b)(a+b)

diventa

x−y = b−b ; (b−b)(x+y) = (b−b)(b+b) → x−y = 0 ; 0 = 0

La seconda equazione è in realtà un'identità che è soddisfatta indipendentemente dai valori che assumono le incognite.

Per quanto riguarda la prima equazione, possiamo pensare bene di isolare y al primo membro

y = x ; 0 = 0

Il sistema è perciò soddisfatto da tutti i punti della forma

(x,y) = (x,x) con x∈R

che sono caratterizzati dal fatto che l'ordinata coincide con l'ascissa.

L'insieme soluzione per il caso a = b è quindi composto dalle coppie (x,y) tali che y = x:

S_(a = b) = (x,y) t.c. y = x con x∈R

Se interpretiamo geometricamente l'insieme S_(a = b), ci accorgiamo immediatamente che è costituito dai punti del piano cartesiano che appartengono alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Caso a−b ne 0

Se a−b ne 0, vale a dire se a ne b, siamo autorizzati a dividere i membri della seconda equazione del sistema

x−y = a−b ; (a−b)(x+y) = (a−b)(a+b)

per a−b, passando così al sistema equivalente

x−y = a−b ; ((a−b)(x+y))/(a−b) = ((a−b)(a+b))/(a−b)

Semplifichiamo a−b a destra e a sinistra

x−y = a−b ; x+y = a+b

isoliamo x al primo membro della prima equazione

x = y+a−b ; x+y = a+b

e sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda

x = y+a−b ; (y+a−b)+y = a+b

A questo punto portiamo a termine i calcoli nella seconda

x = y+a−b ; 2y = 2b

Siamo praticamente agli sgoccioli: dall'equazione 2y = 2b ricaviamo il valore di y dividendo per due membro a membro:

x = y+a−b ; y = b

Sostituendo y = b nella prima equazione otteniamo il corrispondente valore di x

x = b+a−b → x = a ; y = b

L'insieme soluzione S_(a ne b) è composto dall'unica coppia (x,y) = (a,b) dove a deve essere diverso da b.

S_(a ne b) = (a,b) con a ne b

Conclusioni

Se a = b, allora il sistema

x−y = a−b ; x^2−y^2 = a^2−b^2

è soddisfatto da tutte le coppie (x,y) = (x,x) con x∈R, ammette perciò infinite soluzioni.

Se a ne b, il sistema ammette una e una sola soluzione: la coppia (x,y) = (a,b).

Abbiamo finito!

Ringraziano: Omega, Gio?
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