Limite di un integrale con parametro

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Limite di un integrale con parametro #101978

avt
Luca Randa
Punto
Avrei bisogno di una mano con il limite di un integrale con un parametro.

Calcolare

lim_(n → +∞)∫_(1)^(n)(n)/((2n-x)(1+n^(2)x^(2))) ,dx

Grazie in anticipo
 
 

Limite di un integrale con parametro #101984

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di calcolare il seguente limite di successione

lim_(n → +∞)∫_(1)^(n)(n)/((2n-x)(1+n^(2)x^(2))) ,dx

Prima di occuparci del problema vero e proprio, effettuiamo un'analisi preliminare sull'integrale definito

∫_(1)^(n)(n)/((2n-x)(1+n^2x^2)) ,dx

Osserviamo che l'insieme di integrazione è l'intervallo chiuso e limitato [1,n], mentre la funzione integranda (dipendente da n)

f_(n)(x) = (n)/((2n-x)(1+n^2x^2))

è una funzione continua in [1,n], pertanto è integrabile su tale intervallo.


Idea per la risoluzione

Mettiamo subito le cose in chiaro: esplicitare l'integrale al variare di n ≥ 1 non se ne parla! In sede d'esame, non avremmo il tempo materiale per svolgerlo.

L'idea risolutiva che seguiremo è questa. Tenteremo di minorare e maggiorare l'integrale con due successioni numeriche, nella speranza che esse abbiano lo stesso limite per n che tende a +∞: se ciò accadesse, concluderemo grazie al teorema del confronto per successioni.

Procediamo con calma partendo dalla relazione

x∈ [1,n] ⇔ 1 ≤ x ≤ n

e proponiamoci come obiettivo quello di ricostruire nel membro centrale l'espressione 2n-x, sfruttando come si devono i principi di equivalenza delle disuguaglianze.

Consideriamo quindi la doppia disuguaglianza

1 ≤ x ≤ n

Cambiamo segni ai tre membri invertendo i versi

-n ≤ -x ≤ -1

dopodiché aggiungiamo ai due membri 2n, ricordando che questa operazione preserva i versi

2n-n ≤ 2n-x ≤ 2n-1 ; n ≤ 2n-x ≤ 2n-1

Questi passaggi dimostrano che per ogni n ≥ 1 e per ogni x∈ [1,n] vale la relazione

n ≤ 2n-x ≤ 2n-1

Partendo da 1 ≤ x ≤ n, usiamo lo stesso ragionamento per ricostruire nel termine centrale 1+n^2x^2.

1 ≤ x ≤ n

Eleviamo al quadrato i tre membri: poiché sono tutti positivi, i versi si conservano

1 ≤ x^2 ≤ n^2

Moltiplichiamo per il numero positivo n^2: anche in questo passaggio i versi si conservano

n^2 ≤ n^2x^2 ≤ n^2·n^2 ; n^2 ≤ n^2x^2 ≤ n^4

Aggiungiamo infine 1 ai tre membri, osservando che i versi si conservano

1+n^2 ≤ 1+n^2x^2 ≤ 1+n^4

I passaggi precedenti garantiscono la validità della doppia disuguaglianza

1+n^2 ≤ 1+n^2x^2 ≤ 1+n^4 ∀ n ≥ 1, ∀ x∈ [1,n]

Ricapitolando, abbiamo provato che per ogni x∈ [1,n] con n ≥ 1, sussistono le seguenti disuguaglianze:

• n ≤ 2n-x ≤ 2n-1 ; • 1+n^2 ≤ 1+n^2x^2 ≤ 1+n^4

Se moltiplichiamo ordinatamente i membri della prima con i membri omologhi della seconda, riusciamo a minorare e a maggiorare quello che è il denominatore della funzione integranda:

n(1+n^2) ≤ (2n-x)(1+n^2x^2) ≤ (2n-1)(1+n^4)

(Osserva che i membri sono tutt'e tre positivi)

Nel momento in cui passiamo ai reciproci, i versi si invertono

(1)/((2n-1)(1+n^4)) ≤ (1)/((2n-x)(1+n^2x^2)) ≤ (1)/(n(1+n^2))

Moltiplichiamo infine per il numero positivo n: i versi si conservano

(n)/((2n-1)(1+n^4)) ≤ (n)/((2n-x)(1+n^2x^2)) ≤ (n)/(n(1+n^2)) ; (n)/((2n-1)(1+n^4)) ≤ (n)/((2n-x)(1+n^2x^2)) ≤ (1)/(1+n^2)

In pratica abbiamo dimostrato che la funzione integranda è limitata da due successioni di numeri reali (che dipendono esclusivamente da n).

Applichiamo l'integrale su [1,n] ai tre membri: poiché l'operatore integrale è monotono, i versi si conservano

∫_(1)^(n)(n)/((2n-1)(1+n^4)) ,dx ≤ ∫_(1)^(n)(n)/((2n-x)(1+n^2x^2)) ,dx ≤ ∫_(1)^(n)(1)/(1+n^2) ,dx

Il primo e il terzo integrale sono pressoché immediati: le funzioni integrande non dipendono da x, per cui possono abbandonare il simbolo di integrazione. Più esplicitamente:

• ∫_(1)^(n)(n)/((2n-1)(1+n^4)) ,dx = (n)/((2n-1)(1+n^4))∫_(1)^(n) ,dx = (n(n-1))/((2n-1)(1+n^4)) ; • ∫_(1)^(n)(1)/(1+n^2) ,dx = (1)/(1+n^2)∫_(1)^(n) ,dx = (n-1)/(1+n^2)

Alla luce di ciò, la doppia disuguaglianza

∫_(1)^(n)(n)/((2n-1)(1+n^4)) ,dx ≤ ∫_(1)^(n)(n)/((2n-x)(1+n^2x^2)) ,dx ≤ ∫_(1)^(n)(1)/(1+n^2) ,dx

si semplifica in

(n(n-1))/((2n-1)(1+n^4)) ≤ ∫_(1)^(n)(n)/((2n-x)(1+n^2x^2)) ,dx ≤ (n-1)/(1+n^2)

Calcoliamo i limiti per n → +∞ del primo e del terzo membro sfruttando il principio di cancellazione degli infiniti di ordine inferiore:

• lim_(n → +∞)(n(n-1))/((2n-1)(1+n^4)) = lim_(n → +∞)(n^2)/(2n·n^4) = lim_(n → +∞)(1)/(2n^3) = 0 ; • lim_(n → +∞)(n-1)/(1+n^2) = lim_(n → +∞)(n)/(n^2) = lim_(n → +∞)(1)/(n) = 0

Ora abbiamo tutti gli elementi per concludere l'esercizio: in virtù del teorema del confronto, poiché il primo e il terzo membro della doppia disuguaglianza

(n(n-1))/((2n-1)(1+n^4)) ≤ ∫_(1)^(n)(n)/((2n-x)(1+n^2x^2)) ,dx ≤ (n-1)/(1+n^2)

tendono a 0, anche il termine centrale tende a 0 per n → +∞, ossia

lim_(n → +∞)∫_(1)^(n)(n)/((2n-x)(1+n^2x^2)) ,dx = 0

È fatta!
Ringraziano: Omega, Luca Randa

Limite di un integrale con parametro #101985

avt
Luca Randa
Punto
Grazie mille, sei stato magistrale!

Buona serata!
Ringraziano: Ifrit
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Os