Convergenza puntuale e uniforme con seno su un intervallo limitato

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Convergenza puntuale e uniforme con seno su un intervallo limitato #101977

avt
Luca Randa
Punto
Ho appena finito di studiare la teoria e vorrei una mano per capire come affrontare gli esercizi:

Si consideri la successione di funzioni

f_{n}:\left[0,2\pi\right]\to\mathbb{R}

definite da:

f_{n}(x)= \sin\left(\frac{x}{n}\right), \forall x\in\left [ 0,2\pi  \right], n\ge 5

Discuterne la convergenza puntuale ed uniforme su \left[0,2\pi\right].
 
 

Convergenza puntuale e uniforme con seno su un intervallo limitato #101981

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni

f_n:[0,2\pi]\to\mathbb{R}

di espressioni analitiche

f_n(x)=\sin\left(\frac{x}{n}\right)


Convergenza puntuale

Lo studio della convergenza puntuale di una successione di funzioni prevede di determinare sia l'insieme di convergenza della successione, sia la funzione limite f.

Nella pratica bisogna fissare x nell'insieme su cui sono definite le funzioni f_n (nel nostro caso [0,2\pi]) e studiare il limite di successione

\lim_{n\to+\infty} f_n(x)

Tutti i valori di x per cui il limite converge costituiscono l'insieme di definizione della funzione limite (è la funzione risultante dal limite).

Dopo questo brevissimo cenno di teoria, passiamo alla pratica.

Fissiamo x nell'intervallo [0,2\pi], e consideriamo il limite di successione

\lim_{n\to+\infty}f_n(x)=\lim_{n\to+\infty}\sin\left(\frac{x}{n}\right)=(\bullet)

Attenzione ora: x è fissato, per cui è un numero reale. Quando n tende a +\infty, il rapporto \frac{x}{n} tende a 0 (nel contesto dell'algebra degli infiniti siamo di fronte a un'espressone del tipo un numero su +infinito, che fa appunto 0).

Ricordando inoltre che se l'argomento del seno tende a zero, tende a zero anche il seno, possiamo affermare che il limite è 0

(\bullet)=\sin(0)=0

Questo procedimento si può applicare per ogni x\in[0,2\pi], perciò


\lim_{n\to+\infty}\sin\left(\frac{x}{n}\right)=0 \ \ \ \forall x\in[0,2\pi]

Ciò significa che:

- la funzione limite è definita sull'intero intervallo [0,2\pi];

- la funzione limite è identicamente nulla su [0,2\pi], ossia

f(x)=0 \ \ \ \forall x\in [0,2\pi]

Lo studio della convergenza puntuale finisce qui.


Studio della convergenza uniforme della successione di funzioni

Riportiamo la definizione di convergenza uniforme per una successione di funzioni.

Sia A un sottoinsieme non vuoto di \mathbb{R}. Una successione di funzioni f_{n}:A\to\mathbb{R} converge uniformemente in A, con funzione limite f:A\to\mathbb{R}, se vale la seguente condizione:

il limite dell'estremo superiore su A del modulo della differenza tra f_n(x)\ \mbox{e} \ f(x) è 0. In simboli:

f_n\rightrightarrows f\ \mbox{in} \ A \ \iff \ \lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in A}|f_n(x)-f(x)|=0

Nella pratica dobbiamo partire dalla funzione

y=|f_n(x)-f(x)|

per poi tentare di dimostrare che il suo estremo superiore su A tenda a 0 per n\to+\infty. Generalmente questa è la parte più delicata dell'esercizio, perché solitamente è difficile esplicitare l'estremo superiore: di più, non esiste nemmeno una tecnica che valga in generale... Dovremo ingegnarci di volta in volta.

La tecnica che fa al caso nostro prevede di maggiorare l'espressione |f_n(x)-f(x)| con una successione infinitesima che dipende esclusivamente da n (e non da x).

Nel caso in esame:

f_{n}(x)=\sin\left(\frac{x}{n}\right) \ \ \ ,\ \ \ f(x)=0 \ \ \ , \ \ \ A=[0,2\pi]

pertanto l'espressione |f_n(x)-f(x)| diventa

\\ |f_n(x)-f(x)|=\left|\sin\left(\frac{x}{n}\right)-0\right|= \\ \\ \\ =\left|\sin\left(\frac{x}{n}\right)\right| \ \ \ \mbox{con} \ x\in[0,2\pi]

Per risolvere il problema usiamo la disuguaglianza notevole del seno, secondo cui il valore assoluto del seno di un numero reale \alpha è minore o uguale del modulo di \alpha

\left|\sin(\alpha)\right|\le |\alpha|

Questa disuguaglianza garantisce la seguente relazione

\left|\sin\left(\frac{x}{n}\right)\right|\le\left|\frac{x}{n}\right| \ \ \ \forall x\in[0,2\pi]

Poiché x varia in [0,2\pi], allora dev'essere compreso tra 0\ \mbox{e} \ 2\pi ( in altri termini 0\le x\le 2\pi), per cui il valore assoluto al secondo membro può essere eliminato

\left|\sin\left(\frac{x}{n}\right)\right|\le\frac{x}{n} \ \ \ \forall x\in[0,2\pi]

Dalla doppia relazione 0\le x\le 2\pi segue inoltre che

0\le\frac{x}{n}\le\frac{2\pi}{n} \ \ \ \forall n\ge 5

pertanto

0\le \left|\sin\left(\frac{x}{n}\right)\right|\le\frac{x}{n}\le\frac{2\pi}{n} \ \ \forall x\in [0,2\pi],\, n\ge 5

In definitiva abbiamo dimostrato che |f_n(x)-f(x)| è compresa tra 0 e una successione che non dipende da x:

0\le \left|\sin\left(\frac{x}{n}\right)\left|\le\frac{2\pi}{n} \ \ \ \forall x\in [0,2\pi],\, n\ge 5

Nel momento in cui passiamo ai sup dei tre membri, i versi delle disuguaglianze si conservano

0\le\sup_{x\in[0,2\pi]}\left|\sin\left(\frac{x}{n}\right)\right|\le\sup_{x\in [0,2\pi]}\frac{2\pi}{n}

Poiché \frac{2\pi}{n} non dipende da x, il suo estremo superiore coincide con se stesso

\sup_{x\in[0,2\pi]}\frac{2\pi}{n}=\frac{2\pi}{n}\ \ \ \forall n\ge 5

pertanto la doppia disuguaglianza precedente diventa

0\le\sup_{x\in[0,2\pi]}\left|\sin\left(\frac{x}{n}\right)\right|\le\frac{2\pi}{n}

Abbiamo praticamente finito: se passiamo al limite i tre membri, i versi non si invertono (teorema della permanenza dei segni)

0\le\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in[0,2\pi]}\left|\sin\left(\frac{x}{n}\right)\right|\le\lim_{n\to+\infty}\frac{2\pi}{n}

Poiché il limite del terzo membro è 0, il teorema del confronto per successioni ci permette di concludere che anche il limite centrale è 0

\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in[0,2\pi]}\left|\sin\left(\frac{x}{n}\right)\right|=0


Ciò dimostra che

\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in[0,2\pi]}|f_n(x)-f(x)|=0

perciò viene rispettata la condizione che definisce la convergenza uniforme.


Ricapitolando

La successione di funzioni f_n converge puntualmente alla funzione identicamente nulla fsull'intero intervallo [0,2\pi].

Oltre a essere puntuale, la convergenza è anche uniforme perché abbiamo dimostrato che:

\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in[0,2\pi]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=0

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Luca Randa
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