Studio segno funzione esponenziale

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Studio segno funzione esponenziale #101885

avt
Betty83
Punto
Ho bisogno di una mano per studiare il segno di una funzione trascendente fratta. Dovrei imporre che la funzione sia maggiore di zero, ma la disequazione che ne risulta non è risolvibile elementarmente.

Studiare il segno della funzione

f(x)=\frac{1}{e^{x}-1}-\frac{4}{x-2}

Grazie.
 
 

Re: Studio segno funzione esponenziale #101889

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di studiare il segno della funzione

f(x)=\frac{1}{e^{x}-1}-\frac{4}{x-2}

ma prima occorre determinarne il dominio.


Dominio della funzione

La funzione è ben posta nel momento in cui i denominatori e^{x}-1 \ \mbox{e} \ x-2 sono contemporaneamente diversi da 0

e^{x}-1\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ x-2\ne 0

Dalla prima ricaviamo che x\ne 0, mentre dalla seconda abbiamo che x\ne 2. Il dominio della funzione è quindi

\\ \mbox{Dom}(f)=\left\{x\in\mathbb{R} \ : \ x\ne 0 \ \wedge \ x\ne 2\right\}=

e si può esprimere equivalente come la seguente unione di intervalli

=(-\infty,0)\cup (0,2)\cup (2,+\infty)


Segno della funzione

Lo studio del segno di f(x) si poggia sulla risoluzione della disequazione fratta

f(x)>0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{1}{e^{x}-1}-\frac{4}{x-2}>0

Prima di tutto esprimiamo la disequazione in forma normale, riscrivendo il primo membro a denominatore comune

\\ \frac{x-2-4(e^{x}-1)}{(e^{x}-1)(x-2)}>0 \\ \\ \\ \frac{x-2-4e^{x}+4}{(e^{x}-1)(x-2)}>0\\ \\ \\ \frac{x-4e^{x}+2}{(e^{x}-1)(x-2)}>0

dopodiché studiamo il segno del numeratore e quello del denominatore, partendo da quest'ultimo perché è quello più semplice da trattare.


Studio del segno del denominatore

Studiamo il segno del denominatore impostando la relazione

D>0 \ : \ (e^{x}-1)(x-2)>0

Essa è una tipica disequazione da risolvere con la regola dei segni.

In altri termini, studiamo i segni dei fattori F_1=e^{x}-1\ \mbox{e} \ F_2=x-2 così da ricavare quello del prodotto con la regola dei segni.

Cominciamo dalla disequazione esponenziale

\\ F_1>0\ :\ \ e^{x}-1>0\ \ \ \to \ \ \ e^{x}>1\ \ \to \\ \\ \ \to \ \ \ x>0

e continuiamo con la disequazione di primo grado

F_2>0 \ : \ x-2>0 \ \ \ \to \ \ \ x>2

Riportiamo queste informazioni nella tabella dei segni

\begin{array}{c|ccccc} &&0&&2& \\\hline &&&&&\\ e^{x}-1&---&0&+++&+&+++\\ &&&&&\\ x-2&---&-&---&0&+++\\ &&&&& \\ \hline &&&&&\\ (e^x-1)(x-2)&+++&0&---&0&+++\end{array}

e ricaviamo il segno del denominatore. Esso è:

- positivo se x<0 oppure se x>2;

- nullo se x=0 oppure se x=2 (questi due valori sono esclusi dal dominio della funzione);

- negativo se 0<x<2.


Studio del segno del numeratore

Lo studio del segno del numeratore

N \ : \ x-4e^{x}+2

si poggia invece sulla disequazione non risolvibile algebricamente

N>0 \ :\ x-4e^{x}+2>0

In queste circostanze si aprono due possibili strade: una è puramente "geometrica" e richiede la conoscenza dei metodi per tracciare il grafico intuitivo di funzioni semplici. L'altra strada è invece di tipo analitico e richiede di effettuare un velocissimo studio della funzione g(x)=x-4e^{x}+2.


Segno del numeratore: metodo grafico

Partiamo dalla disequazione

N>0 \ :\ x-4e^{x}+2>0

e riscriviamola in questo modo

x+2>4e^{x}

Parafrasando il significato della relazione, stiamo cercando i valori x per i quali il grafico di y=x+2 si trovi al di sopra del grafico di y=4e^{x}

Il grafico di y=x+2 è immediato: è la retta parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante e passante per il punto (0,2).

Il grafico di y=4e^{x} è semplice da tracciare: basta partire dal classico grafico della funzione esponenziale y=e^{x} e dilatarlo lungo le ordinate di un fattore 4.

studio segno funzione esponenziale

Dall'immagine è evidente che il grafico della funzione esponenziale giace sempre al di sopra della retta, di conseguenza

4e^{x}>x+2 \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}

e quindi, portando tutto al secondo membro

x+2-4e^{x}<0 \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}

Abbiamo scoperto che il numeratore della funzione f(x) è sempre negativo.


Studio del segno del numeratore: metodo analitico

L'altro metodo per stabilire il segno del numeratore consiste nello studio della funzione ausiliaria

g(x)=x-4e^{x}+2

Non dev'essere uno studio completo: più che altro siamo interessati ai cosiddetti intervalli di monotonia.
A questo proposito calcoliamone la derivata prima con le classiche tecniche di derivazione

g'(x)=\frac{d}{dx}[g(x)]=\frac{d}{dx}[x+2-4e^{x}]=

Se spezziamo la derivata della somma nella somma delle derivate degli addendi ricaviamo

\\ =\frac{d}{dx}[x]+\frac{d}{dx}[2]+\frac{d}{dx}[-4e^{x}]=\\ \\ \\ =1+0-4e^{x}= 1-4e^{x}

Studiamo il segno della derivata prima impostando la disequazione esponenziale

g'(x)>0 \ \ \ \to \ \ \ 1-4e^{x}>0

da cui

-4e^{x}>-1 \ \ \ \to \ \ \ e^{x}<\frac{1}{4} \ \ \ \to \ \ \ x<\ln\left(\frac{1}{4}\right)

Deduciamo quindi che la derivata prima di g(x) è:

- positiva nell'intervallo \left(-\infty,\ln\left(\frac{1}{4}\right)\right);

- nulla per x=\ln\left(\frac{1}{4}\right);

- negativa nell'intervallo \left(\ln\left(\frac{1}{4}\right),+\infty\right).

Alla luce di ciò, ricaviamo che g(x) è:

- una funzione strettamente crescente nell'intervallo \left(-\infty,\ln\left(\frac{1}{4}\right)\right);

- una funzione strettamente decrescente nell'intervallo \left(\ln\left(\frac{1}{4}\right),+\infty\right)

mentre x_0=\ln\left(\frac{1}{4}\right) è il punto di massimo assoluto per g(x), per cui deve valere la relazione

g(x)\le g\left(\ln\left(\frac{1}{4}\right)\right) \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}

ossia

\\ x-4e^{x}+2\le \ln\left(\frac{1}{4}\right)-4e^{\ln\left(\frac{1}{4}\right)}+2 \\ \\ \\ x-4e^{x}+2\le \ln\left(\frac{1}{4}\right)-4\cdot\frac{1}{4}+2\\ \\ \\ x-4e^{x}+2\le \ln\left(\frac{1}{4}\right)+1 \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}

Aiutandoci con una calcolatrice, scopriamo che \ln\left(\frac{1}{4}\right)+1 è un numero negativo, perciò deve valere la disuguaglianza

x-4e^{x}+2<0 \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}

che garantisce la negatività della funzione g(x).

Tutte le considerazioni precedenti dimostrano che g(x) è una funzione negativa nell'insieme dei numeri reali, e confermano che il numeratore è sempre negativo.


Segno della funzione f(x)

Ora che conosciamo sia il segno del denominatore sia il segno del numeratore, sfruttiamoli per capire il segno di f(x)

\begin{array}{c|ccccc}&&0&&2&\\ \hline &&&&& \\ x-4e^{x}+2&---&-&---&-&---\\ \\ \\ (e^x-1)(x-2)&+++&0&---&0&+++ \\ &&&&&\\ \hline &&&&& \\ \dfrac{x-4e^{x}+2}{(e^x-1)(x-2)}&---&\nexists&+++&\nexists&---\end{array}

Deduciamo che f(x) è:

- una funzione positiva nell'intervallo (0, 2);

- una funzione negativa nell'intervallo (-\infty,0) oppure nell'intervallo (2,+\infty).

Abbiamo finito.

Ps: mi scuso per il ritardo nella risposta.
Ringraziano: Betty83
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Os