Gradienti di funzioni composte

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Gradienti di funzioni composte #101861

avt
Ronfante Grigino
Punto
Mi viene dato il gradiente della funzione g calcolato in un punto specifico e poi mi si chiede di calcolare la derivata parziale della funzione composta f in un altro punto ancora.

Sia g:R^2 → R una funzione di classe C^1 tale che:

nabla g((√(2))/(4),(√(2))/(2)) = (13,7)

Sia f(x,y) = g(x^2·sin^3 (y), cos(y))â¡ con (x,y)∈R^2.

Calcolare 2√(2)·(partial f)/(partial y) (1, (π)/(4)).
 
 

Re: Gradienti di funzioni composte #101862

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio si risolve agilmente se si fa uso della regola della catena per funzioni di due variabili.

Riporto l'enunciato.

Siano

h:R^2 → R ; k:R^2 → R ; g:R^2 → R

funzioni differenziabili di R^2.

Sia f:R^2 → R la funzione composta così definita

f(x,y) = g(h(x,y),k(x,y))

Allora le derivate parziali del primo ordine in un punto (x_0,y_0) di f(x,y) sono date dalle seguenti relazioni:

• (partial f)/(partial x)(x_0,y_0) = nabla g(h(x_0,y_0),k(x_0,y_0))·((partial h)/(partial x)(x_0,y_0), (partial k)/(partial x)(x_0,y_0)) ; • (partial f)/(partial y)(x_0,y_0) = nabla g(h(x_0,y_0),k(x_0,y_0))·((partial h)/(partial y)(x_0,y_0), (partial k)/(partial y)(x_0,y_0))

Cerchiamo di spiegare meglio i termini che compongono le formule:

• nabla g(h(x_0,y_0),k(x_0,y_0)) rappresenta il gradiente della funzione g, valutato in (h(x_0,y_0), k(x_0,y_0));

• il punto · indica il prodotto scalare standard tra due vettori;

• (partial h)/(partial x)(x_0,y_0) e (partial k)/(partial x)(x_0,y_0) individuano le derivate parziali rispetto a x di h e k, valutate nel punto (x_0,y_0);

• (partial h)/(partial y)(x_0,y_0) e (partial k)/(partial y)(x_0,y_0) individuano le derivate parziali rispetto a y di h e k, valutate nel punto (x_0,y_0).

Ora occupiamoci del problema.

Sappiamo che g:R^2 → R è una funzione di classe C^(1) tale che

nabla g((√(2))/(4),(√(2))/(2)) = (13,7)

Inoltre f(x,y) è la funzione composta

f(x,y) = g(x^2sin^3(y),cos(y)) con (x,y)∈R^2

Avvalendoci di queste informazioni, dobbiamo calcolare il valore

2√(2)·(partial f)/(partial y)(1,(π)/(4))

Il primo passo per raggiungere la soluzione prevede di chiarire quali sono i termini che consentono di usare la regola della catena: ci serve la derivata parziale di f rispetto a y nel punto (1,(π)/(4)), pertanto esso ricopre il ruolo di (x_0,y_0)

(x_0,y_0) = (1,(π)/(4))

Sappiamo inoltre che f(x,y) è definita come composizione e la sua espressione è:

f(x,y) = g(x^2sin^3(y), cos(y)) con (x,y)∈R^2

Deduciamo, quindi, che x^2sin^3(y) e cos(y) ricoprono il ruolo delle funzioni h(x,y) e k(x,y), rispettivamente:

h(x,y) = x^2sin^3(y) e k(x,y) = cos(y)

Attenzione! Le valutazioni delle due funzioni in (x_0,y_0) = (1,(π)/(4)) sono:

h(x_0,y_0) = h(1,(π)/(4)) = 1^2·sin^3((π)/(4)) = (√(2))/(4) ; k(x_0,y_0) = k(1,(π)/(4)) = cos((π)/(4)) = (√(2))/(4)

Non a caso, sono esattamente i valori che costituiscono l'argomento del gradiente di g.

In virtù della regola della catena, la derivata parziale rispetto a y di f nel punto (x_0,y_0) = (1,(π)/(4)) è data da:

(partial f)/(partial y)(1,(π)/(4)) = nabla g(h(1,(π)/(4)),k(1,(π)/(4)))·((partial h)/(partial y)(1,(π)/(4)), (partial k)/(partial y)(1,(π)/(4))) = nabla g((√(2))/(4),(√(2))/(2))·((partial h)/(partial y)(1,(π)/(4)), (partial k)/(partial y)(1,(π)/(4)))

Di questa espressione conosciamo già il gradiente di g in ((√(2))/(4),(√(2))/(2))

nabla g((√(2))/(4),(√(2))/(2)) = (13,7)

mentre non disponiamo ancora delle derivate parziali di h e k valutate in (1,(π)/(4))


Derivata parziale di h rispetto a y

Calcoliamo la derivata parziale di h(x,y) rispetto a y, ossia

(partial h)/(partial y)(x,y) = (partial)/(partial y)[x^2sin^3(y)] =

Proprio perché stiamo derivando rispetto alla variabile y, trattiamo x alla stregua di una costante, perciò la precedente espressione diventa

= x^2(partial)/(partial y)[sin^3(y)] =

Deriviamo la potenza

= x^2·3sin^2(y)·(partial)/(partial y)[sin(y)] = 3x^2sin^2(y)cos(y)

Valutiamo la derivata nel punto (1,(π)/(4))

• (partial h)/(partial y)(1,(π)/(4)) = 3·1^2cos((π)/(4))sin((π)/(4)) = (3√(2))/(4)

Teniamo da parte questo valore e calcoliamo la derivata di k rispetto a y


Derivata parziale di k rispetto a y

La derivata di k(x,y) rispetto a y è più semplice da calcolare, perché basta ricordare la derivata del coseno

(partial k)/(partial y)(x,y) = (partial)/(partial y)[cos(y)] = -sin(y)

Valutiamola nel punto (1,(π)/(4))

(partial k)/(partial y)(1,(π)/(4)) = -sin((π)/(4)) = -(√(2))/(2)


Derivata di f rispetto a y

Disponiamo finalmente di tutti gli elementi per calcolare la derivata di f(x,y) nel punto (1,(π)/(4))

(partial f)/(partial y)(1,(π)/(4)) = nabla g((√(2))/(4),(√(2))/(2))·((partial h)/(partial y)(1,(π)/(4)), (partial k)/(partial y)(1,(π)/(4))) = (13,7)·((3√(2))/(4),-(√(2))/(2)) = 13·(3√(2))/(4)+7·(-(√(2))/(2)) = (25√(2))/(4)

Finalmente abbiamo gli elementi per determinare l'espressione

2√(2)·(partial f)/(partial y)(1,(π)/(4)) = 2√(2)·(25√(2))/(4) = 25

e per mettette un punto all'esercizio.


Nota a margine: il procedimento è lungo perché ho cercato di essere il più dettagliato possibile.

Re: Gradienti di funzioni composte #101865

avt
Ronfante Grigino
Punto
Grazie!!
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Os