Problema sulla divisione tra polinomi

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Problema sulla divisione tra polinomi #101857

avt
nefasto58
Punto
Gentilissimi, non riesco a risolvere (svolgere) il seguente problema sulla divisione tra polinomi.

Date le seguenti informazioni:

- la divisione (A(x))/(x-1) ha resto pari a 2;

- la divisione (A(x))/(x-2) ha resto pari a 1.

Quanto vale il resto della divisione polinomiale (A(x))/((x-1)(x-2))?
 
 

Re: Problema sulla divisione tra polinomi #101858

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Nefasto58 emt

Prima di occuparmi del problema, ho bisogno della conferma della traccia, perché l'ho modificata per inserire le formule matematiche.

Ho interpretato bene il testo? Grazie.

Re: Problema sulla divisione tra polinomi #101859

avt
nefasto58
Punto
Sì, il testo è corretto.
Grazie
nefasto58

Re: Problema sulla divisione tra polinomi #101860

avt
Ifrit
Amministratore
Per risolvere il problema partiamo dalle ipotesi.

Sappiamo che:

- il resto della divisione polinomiale di A(x) e il binomio x-1 è r_1 = 2;

- il resto della divisione polinomiale di A(x) e il binomio x-2 è r_2 = 1.

Grazie al teorema del resto, possiamo scrivere che:

- il resto della divisione A(x):(x-1) coincide con il valore che A(x) assume in x = 1, vale a dire

A(1) = r_1 → A(1) = 2

In altri termini conosciamo il valore del polinomio A(x) per x = 1.

- Il resto della divisione A(x):(x-2) coincide con il valore che A(x) assume in x = 2, cioè

A(2) = r_2 → A(2) = 1

di conseguenza conosciamo anche il valore che il polinomio assume in x = 2.

Teniamo da parte queste informazioni e concentriamoci sul significato della divisione tra A(x) e il polinomio di secondo grado (x-1)(x-2).

In accordo con la definizione di divisione polinomiale, dividere A(x) per (x-1)(x-2) equivale a determinare due polinomi Q(x) e R(x) tali che

A(x) = Q(x)[(x-1)(x-2)]+R(x)

dove:

• Q(x) è il polinomio quoziente;

• R(x) è il polinomio resto, ed è caratterizzato dal fatto che deve avere grado minore di quello di (x-1)(x-2), perciò dev'essere un polinomio di grado al più 1 e deve presentarsi nella forma

R(x) = ax+b

Alla luce delle precedenti considerazioni, l'espressione

A(x) = Q(x)[(x-1)(x-2)]+R(x)

diventa

A(x) = Q(x)[(x-1)(x-2)]+ax+b

Se riusciamo a ricavare i valori di a e b, abbiamo determinato il resto che ci interessa: per calcolarle sfruttiamo le uguaglianze A(1) = 2 e A(2) = 1.

Dalla relazione A(1) = 2 segue che

A(1) = Q(1)[(1-1)(1-2)]+a·1+b = 2

o equivalentemente

a+b = 2

Dalla relazione A(2) = 1 segue, invece, che

A(2) = Q(2)[(2-1)(2-2)]+a·2+b = 1

o equivalentemente

2a+b = 1

I parametri che definiscono il resto della divisione devono quindi soddisfare contemporaneamente le condizioni

a+b = 2 ; 2a+b = 1

le quali costituiscono, quindi, il seguente sistema lineare:

a+b = 2 ; 2a+b = 1

Procediamo con il metodo di sostituzione.

Dalla seconda equazione isoliamo b al primo membro

a+b = 2 ; b = 1-2a

dopodiché sostituiamo l'espressione nella prima

a+(1-2a) = 2 ; b = 1-2a → -a+1 = 2 ; b = 1-2a

Risolviamo l'equazione di primo grado nell'incognita a

a = -1 ; b = 1-2a

e sostituiamo a = -1 nella seconda

a = -1 ; b = 1-2(-1) = 3

Possiamo concludere che a = -1 e b = 3, di conseguenza il resto della divisione tra A(x) e (x-1)(x-2) è

R(x) = ax+b = (-1)x+3 = -x+3

Abbiamo finito!
Ringraziano: nefasto58
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Os