Equazione irrazionale fratta con somma e differenza di radici

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Equazione irrazionale fratta con somma e differenza di radici #101839

avt
Gio?
Punto
Ciao a tutti avrei bisogno di un aiuto con l'equazione irrazionale che scriverò di seguito in quanto non riesco a risolverla. Vi ringrazio in anticipo.

\frac{(\sqrt{z+7}-\sqrt{z+3})^2}{\sqrt{z+7}+\sqrt{z+3}}=2
 
 

Equazione irrazionale fratta con somma e differenza di radici #101842

avt
Ifrit
Amministratore
Per risolvere l'equazione irrazionale fratta

\frac{(\sqrt{z+7}-\sqrt{z+3})^2}{\sqrt{z+7}+\sqrt{z+3}}=2

bisogna innanzitutto imporre le condizioni affinché le espressioni che la compongono abbiano senso.

Le radici quadrate sono ben definite nel momento in cui i radicandi sono maggiori o uguali a 0

\\ \bullet \ \ \ z+7\ge 0\ \ \ \to \ \ \ z\ge -7\\ \\ \bullet \ \ \ z+3\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ z\ge -3

Dobbiamo richiedere, inoltre, che il denominatore sia diverso da 0

\bullet \ \ \ \sqrt{z+7}+\sqrt{z+3}\ne 0

Per z\ge -7 \ \mbox{e} \ z\ge -3, questa disuguaglianza è certamente soddisfatta perché al primo membro abbiamo la somma di quantità positive o nulle che non si annullano per lo stesso valore di z.

Le tre condizioni devono valere contemporaneamente, perciò costituiscono il sistema di disequazioni

\begin{cases}z\ge -7\\ z\ge -3 \\ \sqrt{z+7}+\sqrt{z+2}\ne 0\end{cases}

che, alla luce di quanto detto, è soddisfatto per z\ge -3, perciò:

\mbox{C.E.} \ : \ z\ge -3

Torniamo all'equazione irrazionale e svolgiamo i passaggi che consentono di esprimerla in forma normale.

\frac{(\sqrt{z+7}-\sqrt{z+3})^2}{\sqrt{z+7}+\sqrt{z+3}}=2

Razionalizziamo il denominatore moltiplicando e dividendo il primo membro per \sqrt{z+7}-\sqrt{z+3}

\frac{(\sqrt{z+7}-\sqrt{z+3})^2 (\sqrt{z+7}-\sqrt{z+3})}{(\sqrt{z+7}+\sqrt{z+3})(\sqrt{z+7}-\sqrt{z+3})}=2

Svolgiamo i calcoli, osservando che:

- per le proprietà delle potenze

\\ (\sqrt{z+7}-\sqrt{z+3})^2(\sqrt{z+7}-\sqrt{z+3})=\\ \\ =(\sqrt{z+7}-\sqrt{z+3})^{2+1}= \\ \\ =(\sqrt{z+7}-\sqrt{z+3})^3

- per la regola sul prodotto di una somma per una differenza

\\ (\sqrt{z+7}+\sqrt{z+3})(\sqrt{z+7}-\sqrt{z+3})=\\ \\ =(\sqrt{z+7})^2-(\sqrt{z+3})^2= \\ \\ =z+7-(z+3)=4

L'equazione irrazionale diventa quindi

\frac{(\sqrt{z+7}-\sqrt{z+3})^3}{4}=2

Non conviene sviluppare il cubo, perché complicherebbe inutilmente l'espressione del primo membro; piuttosto moltiplichiamo a destra e a sinistra per 4

(\sqrt{z+7}-\sqrt{z+3})^3=8

dopodiché estraiamo la radice cubica dei due membri: ciò ci permette di semplificare il cubo al primo membro

\\ \sqrt{z+7}-\sqrt{z+3}=\sqrt[3]{8} \\ \\ \sqrt{z+7}-\sqrt{z+3}=2

Il prossimo passaggio prevede di isolare \sqrt{z+7} al primo membro così da ricondurci alla seguente equazione irrazionale

\sqrt{z+7}=2+\sqrt{z+3}

Osserviamo che il secondo membro è certamente positivo perché somma tra una quantità positiva (2) e una non negativa (\sqrt{z+3}).

Eleviamo al quadrato i due membri

(\sqrt{z+7})^2=(2+\sqrt{z+3})^2

e usiamo la regola del quadrato di binomio per esplicitare il secondo:

\\ z+7=4+(\sqrt{z+3})^2+2\cdot 2\cdot\sqrt{z+3}\\ \\ z+7=4+z+3+4\sqrt{z+3} \\ \\ z+7=z+7+4\sqrt{z+3}

Trasportiamo tutto al primo membro e sommiamo tra loro i monomi simili

-4\sqrt{z+3}=0

Dividiamo per -4

\sqrt{z+3}=0

eleviamo ancora una volta i due membri al quadrato

z+3=0

e calcoliamo la soluzione

z=-3

Poiché rispetta la condizione di esistenza, essa è soluzione dell'equazione di partenza.

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Gio?
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Os