Dobbiamo dimostrare la disuguaglianza
sapendo che
Per raggiungere il nostro obiettivo, useremo il
principio di induzione, una tecnica che permette di provare una tesi dalla verifica di due condizioni: il passo base e il passo induttivo.
Per provare il passo base, basta sostituire

nella disuguaglianza
ottenendo la relazione
che il testo del problema garantisce essere vera: il passo base è verificato.
Scriviamo il passo induttivo: supponendo che sia vera la disuguaglianza per
dobbiamo provare che è vera anche quella che si ottiene per
A questo proposito, partiamo dall'espressione al primo membro
e riscriviamola in modo che sia possibile sfruttare sia il passo base, che l'ipotesi induttiva: è la parte più delicata dell'esercizio perché richiede sia inventiva sia una buona conoscenza delle proprietà del
seno.
Moltiplichiamo

per
dopodiché distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore
Usando la
formula di addizione del seno
ricaviamo
Ragionare sull'intera espressione non aiuta affatto, mentre potrebbe essere utile analizzare separatamente gli addendi per determinare per ognuno un'opportuna maggiorazione.
Maggiorazione per il primo addendo Partiamo dal primo addendo
e sfruttiamo l'ipotesi induttiva
Se moltiplichiamo i due membri per la quantità positiva

(il coseno di un numero compreso tra

, estremi esclusi, è positivo), ricaviamo la seguente maggiorazione
Possiamo fare di meglio! Poiché il coseno è una
funzione limitata superiormente da

, possiamo scrivere la disuguaglianza
In buona sostanza, abbiamo dimostrato che sul primo addendo vale la seguente maggiorazione:
Maggiorazione per il secondo addendo Esaminiamo il secondo addendo
In questo caso conviene sfruttare immediatamente la limitatezza del coseno e scrivere la relazione
dopodiché moltiplichiamo i due membri per la quantità positiva

(il seno di un numero compreso tra

, estremi esclusi, è positivo)
Dal passo base sappiamo che
per cui
In definitiva, abbiamo ottenuto la seguente maggiorazione per il secondo addendo
Conclusione Le precedenti osservazioni permettono di scrivere la relazione
di conseguenza
che è quello che volevamo dimostrare.