Dimostrare una disuguaglianza trigonometrica con seno

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#101765
avt
Betty83
Punto
Potreste aiutarmi con questo esercizio?

Sapendo che

sin((π)/(100)) < (π)/(100)

dimostra che per ogni n intero positivo

sin((nπ)/(100)) < (nπ)/(100)

Grazie
#101768
avt
Ifrit
Amministratore
Dobbiamo dimostrare la disuguaglianza

sin((nπ)/(100)) < (nπ)/(100) ∀ n∈N-0

sapendo che

sin((π)/(100)) < (π)/(100)

Per raggiungere il nostro obiettivo, useremo il principio di induzione, una tecnica che permette di provare una tesi dalla verifica di due condizioni: il passo base e il passo induttivo.

Per provare il passo base, basta sostituire n = 1 nella disuguaglianza

sin((nπ)/(100)) < (nπ)/(100)

ottenendo la relazione

sin((π)/(100)) < (π)/(100)

che il testo del problema garantisce essere vera: il passo base è verificato.

Scriviamo il passo induttivo: supponendo che sia vera la disuguaglianza per n = k

sin((kπ)/(100)) < (kπ)/(100)

dobbiamo provare che è vera anche quella che si ottiene per n = k+1

sin(((k+1)π)/(100)) < ((k+1)π)/(100)

A questo proposito, partiamo dall'espressione al primo membro

sin(((k+1)π)/(100)) =

e riscriviamola in modo che sia possibile sfruttare sia il passo base, che l'ipotesi induttiva: è la parte più delicata dell'esercizio perché richiede sia inventiva sia una buona conoscenza delle proprietà del seno.

Moltiplichiamo π per k+1

= sin((kπ+π)/(100)) =

dopodiché distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore

= sin((kπ)/(100)+(π)/(100)) = (•)

Usando la formula di addizione del seno

sin(α+β) = sin(α)cos(β)+sin(β)cos(α) ∀ α, β∈R

ricaviamo

(•) = sin((kπ)/(100))cos((π)/(100))+sin((π)/(100))cos((kπ)/(100))

Ragionare sull'intera espressione non aiuta affatto, mentre potrebbe essere utile analizzare separatamente gli addendi per determinare per ognuno un'opportuna maggiorazione.


Maggiorazione per il primo addendo

Partiamo dal primo addendo

sin((kπ)/(100))cos((π)/(100))

e sfruttiamo l'ipotesi induttiva

sin((kπ)/(100)) < (kπ)/(100)

Se moltiplichiamo i due membri per la quantità positiva cos((π)/(100)) (il coseno di un numero compreso tra 0 e (π)/(2), estremi esclusi, è positivo), ricaviamo la seguente maggiorazione

sin((kπ)/(100))cos((π)/(100)) < (kπ)/(100)cos((π)/(100))

Possiamo fare di meglio! Poiché il coseno è una funzione limitata superiormente da 1, possiamo scrivere la disuguaglianza

sin((kπ)/(100))cos((π)/(100)) < (kπ)/(100)cos((π)/(100)) ≤ (kπ)/(100)

In buona sostanza, abbiamo dimostrato che sul primo addendo vale la seguente maggiorazione:

sin((kπ)/(100))cos((π)/(100)) < (kπ)/(100)


Maggiorazione per il secondo addendo

Esaminiamo il secondo addendo

sin((π)/(100))cos((kπ)/(100))

In questo caso conviene sfruttare immediatamente la limitatezza del coseno e scrivere la relazione

cos((kπ)/(100)) ≤ 1

dopodiché moltiplichiamo i due membri per la quantità positiva sin((π)/(100)) (il seno di un numero compreso tra 0 e π, estremi esclusi, è positivo)

cos((kπ)/(100))sin((π)/(100)) ≤ sin((π)/(100))

Dal passo base sappiamo che

sin((π)/(100)) < (π)/(100)

per cui

cos((kπ)/(100))sin((π)/(100)) ≤ sin((π)/(100)) < (π)/(100)

In definitiva, abbiamo ottenuto la seguente maggiorazione per il secondo addendo

cos((kπ)/(100))sin((π)/(100)) < (π)/(100)


Conclusione

Le precedenti osservazioni permettono di scrivere la relazione

sin((kπ)/(100))cos((π)/(100))+sin((π)/(100))cos((kπ)/(100)) < ; < (kπ)/(100)+(π)/(100) = ((k+1)π)/(100)

di conseguenza

sin(((k+1)π)/(100)) < ((k+1)π)/(100)

che è quello che volevamo dimostrare.
Ringraziano: Betty83
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