Dimostrare una disuguaglianza trigonometrica con seno
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#101765
![]() Betty83 Punto | Potreste aiutarmi con questo esercizio? Sapendo che ![]() dimostra che per ogni ![]() Grazie |
#101768
![]() Ifrit Amministratore | Dobbiamo dimostrare la disuguaglianza ![]() sapendo che ![]() Per raggiungere il nostro obiettivo, useremo il principio di induzione, una tecnica che permette di provare una tesi dalla verifica di due condizioni: il passo base e il passo induttivo. Per provare il passo base, basta sostituire ![]() ottenendo la relazione ![]() che il testo del problema garantisce essere vera: il passo base è verificato. Scriviamo il passo induttivo: supponendo che sia vera la disuguaglianza per ![]() dobbiamo provare che è vera anche quella che si ottiene per ![]() A questo proposito, partiamo dall'espressione al primo membro ![]() e riscriviamola in modo che sia possibile sfruttare sia il passo base, che l'ipotesi induttiva: è la parte più delicata dell'esercizio perché richiede sia inventiva sia una buona conoscenza delle proprietà del seno. Moltiplichiamo ![]() dopodiché distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore ![]() Usando la formula di addizione del seno ![]() ricaviamo ![]() Ragionare sull'intera espressione non aiuta affatto, mentre potrebbe essere utile analizzare separatamente gli addendi per determinare per ognuno un'opportuna maggiorazione. Maggiorazione per il primo addendo Partiamo dal primo addendo ![]() e sfruttiamo l'ipotesi induttiva ![]() Se moltiplichiamo i due membri per la quantità positiva ![]() ![]() Possiamo fare di meglio! Poiché il coseno è una funzione limitata superiormente da ![]() In buona sostanza, abbiamo dimostrato che sul primo addendo vale la seguente maggiorazione: ![]() Maggiorazione per il secondo addendo Esaminiamo il secondo addendo ![]() In questo caso conviene sfruttare immediatamente la limitatezza del coseno e scrivere la relazione ![]() dopodiché moltiplichiamo i due membri per la quantità positiva ![]() ![]() Dal passo base sappiamo che ![]() per cui ![]() In definitiva, abbiamo ottenuto la seguente maggiorazione per il secondo addendo ![]() Conclusione Le precedenti osservazioni permettono di scrivere la relazione ![]() di conseguenza ![]() che è quello che volevamo dimostrare. |
Ringraziano: Betty83 |
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