Esercizio sulla segnatura di una matrice con parametro

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Esercizio sulla segnatura di una matrice con parametro #101668

avt
Plato
Punto
Ciao, un esercizio mi chiede di calcolare la segnatura di una matrice che include un parametro.

Solitamente il prof ci fa utilizzare il metodo di Jacobi, che però qui non è applicabile. Il calcolo esplicito degli autovalori è escluso.

Ho letto qui sul forum che è possibile giungere alla segnatura tramite considerazioni teoriche, ma non ho capito come.

Ecco la matrice:

A=\begin{pmatrix}0 & t & 2t\\ t & 0 & 1\\ 2t & 1 & 0\end{pmatrix}
 
 

Re: Esercizio sulla segnatura di una matrice con parametro #101669

avt
Galois
Amministratore
Siano t \in \mathbb{R} e A la seguente matrice simmetrica e parametrica di ordine 3.

A=\begin{pmatrix} 0 & t & 2t\\ t & 0 & 1\\ 2t & 1 & 0\end{pmatrix}

La segnatura di A è la terna (n_+, n_-, n_0), dove:

n_+ è il numero di autovalori positivi di A, contati con la propria molteplicità algebrica;

n_- è il numero di autovalori negativi, anch'essi riportati con la rispettiva molteplicità algebrica;

n_0 è il numero di autovalori nulli, cioè indica quante volte lo zero è autovalore di A.

Gli autovalori di A sono gli zeri del polinomio caratteristico p_A(\lambda) associato ad A.

Poiché A è una matrice simmetrica i suoi autovalori sono tutti reali e poiché siamo interessati solo al loro segno, per calcolare la segnatura di A possiamo applicare la regola di Cartesio al polinomio p_A(\lambda). Ricordiamo cosa dice:

Siano A una matrice simmetrica di ordine n a elementi reali e

p_A(\lambda)=a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0

il polinomio caratteristico associato ad A e ordinato secondo le potenze decrescenti di \lambda.

Si distinguono i seguenti casi:

1) se a_0 \neq 0, p_A(\lambda) non ha radici nulle e ammette tante radici positive, contate con la relativa molteplicità, quante sono le variazioni di segno tra un coefficiente e il successivo. Il numero delle radici negative è dato dalla differenza tra il numero di radici positive e il grado del polinomio.

2) Se a_0=0 si raccoglie a fattor comune un certo \lambda^k, con 1\le k \le n e si riscrive il polinomio come prodotto tra \lambda^k e un polinomio di grado n-k con termine noto diverso da zero.

p_A(\lambda)=\lambda^k\cdot (\mbox{polinomio di grado } n-k \mbox{ con termine noto non nullo})

In questo caso lo zero è radice di p_A(\lambda) con molteplicità k. Il numero delle sue radici positive è pari al numero delle variazioni di segno dei coefficienti non nulli del polinomio ottenuto dopo il raccoglimento e il numero delle radici negative si ricava sottraendo il numero delle radici nulle e il numero degli zeri positivi dal grado del polinomio.


Calcolo del polinomio caratteristico

\\ p_A(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3) = \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix} -\lambda & t & 2t\\ t & -\lambda & 1\\ 2t & 1 & -\lambda\end{pmatrix}=

sviluppiamo il determinante con Laplace, rispetto alla prima riga

= -\lambda \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}-\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda\end{pmatrix} - t \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}t & 1 \\ 2t & -\lambda\end{pmatrix} + 2t \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix} t & -\lambda \\ 2t & 1\end{pmatrix}=

calcoliamo i determinanti della matrici di ordine due

=-\lambda(\lambda^2-1)-t(-t \lambda - 2t) +2t (t+2t \lambda)=

svolgiamo i prodotti

=-\lambda^3 + \lambda +t^2 \lambda +2t^2 + 2t^2 +4t^2\lambda=

sommiamo i termini simili o ordiniamo secondo le potenze decrescenti di \lambda

\\ =-\lambda^3 + 5t^2 \lambda + \lambda + 4t^2= \\ \\ = -\lambda^3 + (1+5t^2) \lambda + 4t^2

In definitiva

p_A(\lambda)=-\lambda^3 + (1+5t^2) \lambda + 4t^2


Segnatura di A

Applichiamo la regola di Cartesio a p_A(\lambda). Osserviamo che:

- il coefficiente di \lambda^3 è -1, quindi è negativo.

- il coefficiente del termine successivo è 1+5t^2 che è positivo per ogni t \in \mathbb{R} (è una somma di quadrati);

- il coefficiente del termine successivo, ossia il termine noto di p_A(\lambda), è nullo se t=0 ed è positivo per ogni t \in \mathbb{R}-\{0\}.

Alla luce di ciò, se t \neq 0 vi sono una radice positiva (data dalla variazione di segno tra il coefficiente di \lambda^3 e il successivo) e 3-1=2 radici negative, dove 3 è il grado di p_A(\lambda).

In questo caso la segnatura di A è (1,2,0).

Di contro, se t=0:

p_A(\lambda)=-\lambda^3 + \lambda = \lambda (-\lambda^2+1)

e ammette:

una radice nulla;

una radice positiva (data dalla variazione di segno tra i coefficienti del polinomio -\lambda^2+1);

una radice negativa, ottenuta come differenza tra il grado di p_A(\lambda), il numero di radici nulle e quello di radici positive;

di conseguenza, per t=0 la segnatura di A è (1,1,1).

Ricapitolando, la segnatura di A è:

(1,2,0) se t \neq 0;

(1,1,1) se t = 0.

Abbiamo finito!
Ringraziano: Plato

Re: Esercizio sulla segnatura di una matrice con parametro #101670

avt
Plato
Punto
Sei stato chiarissimo, ti ringrazio!
Ringraziano: Galois
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Os