Integrale di una funzione dalla serie di potenze

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Integrale di una funzione dalla serie di potenze #101507

avt
Pippo95n
Punto
Ho bisogno di una mano per approssimare l'integrale definito di una funzione esponenziale usando la relativa serie di potenze.

Partendo dalla serie di potenze della funzione f(x)=e^{x^2} calcolare l'integrale

\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx

e approssimare il valore dell'integrale a meno di \frac{1}{10}.

Grazie.
 
 

Integrale di una funzione dalla serie di potenze #101508

avt
Ifrit
Amministratore
La traccia ci chiede di determinare l'integrale definito

\int_{0}^{\frac{1}{2}}e^{x^2}dx

avvalendoci della serie di potenze associata alla funzione esponenziale f(x)=e^{x^2} dopodiché dovremo approssimare il valore dell'integrale a meno di \frac{1}{10}


Serie di potenze associata a f(x)

Il primo passo prevede di scrivere la serie di potenze associata a f(x)=e^{x^2} e per farlo è sufficiente usare lo sviluppo in serie dell'esponenziale

e^{t}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{t^n}{n!}\ \ \ \forall t\in\mathbb{R}

dopodiché rimpiazziamo x^2 a ogni occorrenza di t, ottenendo così la serie di potenze richiesta:

\\ f(x)=e^{x^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(x^2)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n}}{n!}\ \ \ \forall x\in\mathbb{R}


Calcolo dell'integrale

Noto lo sviluppo di f(x), possiamo integrarla tra 0\ \mbox{e} \ \frac{1}{2} usando il teorema di integrazione per serie, il quale ci permette di scambiare di posizione l'operatore integrale con quello di serie.

\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}e^{x^2}dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n}}{n!}dx=

Trasportiamo l'integrale all'interno della serie

=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{2n}}{n!}dx=

Poiché il fattoriale di n non dipende da x, può tranquillamente uscire dal simbolo di integrazione

\\ =\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{\frac{1}{2}}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}\left[\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right]_{x=0}^{x=\frac{1}{2}}=\\ \\ \\ =\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}\cdot\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}}{(2n+1)}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}}{n!(2n+1)}=

Volendo potremmo migliorare l'estetica del risultato usando le proprietà delle potenze

=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^{2n+1}n!(2n+1)}


Approssimazione dell'integrale

Il secondo punto del problema richiede di determinare l'approssimazione dell'integrale a meno di \frac{1}{10}: in questa circostanza procederemo così:

- dall'uguaglianza

\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^{2n+1}n!(2n+1)}

è possibile scriverne una completamente equivalente: l'unica cosa che cambia è che abbiamo spezzato la serie nella somma tra i primi N+1 addendi (quelli che vanno da 0\ \mbox{e}\ N) e quella che si ottiene addizionando gli infiniti addendi rimanenti (quelli che vanno da N+1 a +\infty)

\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx=\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{2^{2n+1}n!(2n+1)}+\sum_{n=N+1}^{+\infty}\frac{1}{2^{2n+1}n!(2n+1)}

Se trasportiamo al primo membro la prima sommatoria, otteniamo la relazione

\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx-\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{2^{2n+1}n!(2n+1)}=\sum_{n=N+1}^{+\infty}\frac{1}{2^{2n+1}n!(2n+1)}

da cui si evince l'espressione dell'errore, dipendente da N, che si commette nel momento in cui sostituiamo il valore dell'integrale con quello della sommatoria:

R_{N}=\sum_{n=N+1}^{+\infty}\frac{1}{2^{2n+1}n!(2n+1)}

Nota: per definizione l'errore è il modulo di R_N. In questo caso però stiamo lavorando con quantità positive sicché il valore assoluto non serve.

Il nostro obiettivo è quello di determinare N in modo che R_N sia minore di \frac{1}{10}.

R_{N}<\frac{1}{10}\ \ \ \to \ \ \ \sum_{n=N+1}^{+\infty}\frac{1}{2^{2n+1}n!(2n+1)}<\frac{1}{10}

Purtroppo un resto in questa forma è del tutto inutile, perché non siamo in grado di ricavare un'espressione analitica che consenta di valutarlo. Non tutto è perduto: possiamo sempre maggiorarlo!

Poiché n! è crescente, così come lo è 2n+1, possiamo scrivere le seguenti disuguaglianze

n!\ge (N+1)! \ \, \ \ 2n+1\ge 2(N+1)+1=2N+3

valide per ogni n\ge N+1, pertanto

n!(2n+1)\ge (N+1)!(2N+3) \ \ \ \forall n\ge N+1

Nel momento in cui passiamo ai reciproci, il verso della disuguaglianza si inverte

\frac{1}{n!(2n+1)}\le\frac{1}{(N+1)!(2N+3)} \ \ \ \forall n\ge N+1

Infine, se dividiamo i due membri per 2^{2n+1} scopriamo che:

\frac{1}{2^{2n+1}n!(2n+1)}\le\frac{1}{2^{2n+1}(N+1)!(2N+3)} \ \ \ \forall n\ge N+1

Perché abbiamo fatto tutto questo? Perché questa maggiorazione ci permette di maggiorare R_N con qualcosa di più gestibile. Se applichiamo ai due membri la sommatoria che va da N+1 a +\infty ricaviamo

\overbrace{\sum_{n=N+1}^{+\infty}\frac{1}{2^{2n+1}n!(2n+1)}}^{R_N}\le\sum_{n=N+1}^{+\infty}\frac{1}{2^{2n+1}(N+1)!(2N+3)}=

Attenzione! Nella seconda serie, i termini (N+1)! e (2N+3) non dipendono da n, per cui possono abbandonare il simbolo di sommatoria

=\frac{1}{(N+1)! (2N+3)}\sum_{n=N+1}^{+\infty}\frac{1}{2^{2n+1}}=

Sempre grazie alle proprietà delle potenze possiamo infine ricondurci a una serie geometrica di ragione \frac{1}{4}.

=\frac{1}{(N+1)! (2N+3)}\sum_{n=N+1}^{+\infty}\frac{1}{2^{2n}\cdot 2}=\\ \\ \\ =\frac{1}{2(N+1)! (2N+3)}\sum_{n=N+1}^{+\infty}\frac{1}{(2^2)^{n}}=\\ \\ \\ =\frac{1}{2(N+1)! (2N+3)}\sum_{n=N+1}^{+\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^n= \\ \\ \\ =\frac{1}{2(N+1)!(2N+3)}\cdot\frac{1}{3\cdot 4^{N}}= \\ \\ \\ = \frac{1}{6\cdot 4^{N}(N+1)!(2N+3)}

In definitiva abbiamo dimostrato la seguente maggiorazione per il resto R_N

R_N\le \frac{1}{6\cdot 4^{N}(N+1)!(2N+3)}\ \ \ \forall N\ge 0

Abbiamo praticamente concluso: se determiniamo un N che realizza la disuguaglianza

\frac{1}{6\cdot 4^{N}(N+1)!(2N+3)}<\frac{1}{10}

a maggior ragione questo valore di N farà sì che sussista anche

R_{N}<\frac{1}{10}

Per trovare il valore di N, basta procedere per tentativi. Non molti a dire il vero, infatti se N=0 allora

\\ \frac{1}{6\cdot 4^{N}(N+1)!(2N+3)}=\\ \\ \\ =\frac{1}{6\cdot 4^{0} (0+1)!(2\cdot 0+3)}=\frac{1}{18}<\frac{1}{10}

Ottimo! Abbiamo determinato il numero che ci serve e che va sostituito in

\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{2^{2n+1}n!(2n+1)}

ottenendo

\sum_{n=0}^{0}\frac{1}{2^{2n+1}n!(2n+1)}=\frac{1}{2}


Conclusioni

In definitiva l'integrale approssimato a meno di \frac{1}{10} vale:

\int_{0}^{\frac{1}{2}}e^{x^2}dx\simeq\frac{1}{2}=0,5

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega

Re: Integrale di una funzione dalla serie di potenze #101510

avt
Pippo95n
Punto
Innanzitutto grazie!
Non ho capito però se c'è un'espressione generale dell'errore, come faccio a ricondurmi alla serie geometrica di ragione 1/4. Grazie ancora.

Re: Integrale di una funzione dalla serie di potenze #101511

avt
Ifrit
Amministratore
In generale, esiste una formula che consente di scrivere la somma di una serie geometrica di ragione q, il cui indice parte da un valore diverso da zero ed è questa:

\sum_{n=k}^{+\infty}q^{n}=\frac{q^k}{1-q}

Se prendiamo q=\frac{1}{4} e k=N+1, otteniamo:

\\ \sum_{n=N+1}^{+\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}=\frac{\left(\frac{1}{4}\right)^{N+1}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{4^{N+1}}}{\frac{3}{4}}= \\ \\ \\ =\frac{1}{4^{N+1}}\cdot\frac{4}{3}=\frac{1}{3\cdot 4^{N}}
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