Disuguaglianza triangolare e di Cauchy-Schwarz

Buongiorno,

ho una serie di domande tutte strettamente legate tra loro:

1) per i numeri reali è giusto dire che:



cioè il prodotto scalare non è uguale alla norma del prodotto scalare, mentre il quadrato di queste quantità sono uguali. Eventualmente mi potreste indicare in cosa sbaglio?

2) Sto seguendo un libro di fisica di cui non mi sono chiari i passaggi, ripeterò dunque questi passaggi.

Si disegna un triangolo tramite vettori, x è l'ipotenusa, y e z cateti. Possiamo scrivere:



Si ammette questa equazione per vera, poiché il cammino più breve fra due punti deve essere la lunghezza del vettore z. Da questa equazione si ricava con passaggi che mi sono chiari la seguente



Ora il libro dice che questa è un'altra forma della disuguaglianza triangolare.

Continuo a seguire il libro: se ora eleviamo al quadrato si ha



da cui si ricava (immagino per quanto scritto al punto 1) che



Ora il libro dice che questa è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Ora il libro dice che per i complessi i moduli valgono:



dunque se riprendiamo la disuguaglianza triangolare:



sostituiamo i valori dei moduli per i complessi, poi eleviamo al quadrato e semplifichiamo. Si ottiene:



Questa è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per i complessi.

Mi sono andato a studiare la vostra disuguaglianza di Cauchy-Schwarz]dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e mi chiedo perché i risultati sono diversi, e se le due dimostrazioni sono equivalenti.

Inoltre tutto il procedimento che ho illustrato è molto diverso da tutti i libri di algebra.

Grazie e saluti.

Rispondiamo alla prima domanda che riguarda il prodotto scalare standard tra vettori reali, ma prima mi preme sottolineare che purtroppo noto alcune incongruenze con le notazioni che hai scelto: a volte compromettono la lettura. Cercherò di uniformarle grassettando i vettori.

Siano due vettori di numeri reali, allora è vero che:



In generale il prodotto scalare tra due vettori reali non coincide con il suo valore assoluto: per verificarlo è sufficiente considerare i vettori



calcolare sia il loro prodotto scalare standard, sia il modulo di quest'ultimo:



In generale, quindi, non può sussistere l'uguaglianza, perché le due espressioni possono avere segni opposti.

D'altra parte è vera l'uguaglianza:



Dalle proprietà del valore assoluto segue infatti che



Prima di rispondere alla domanda successiva occorre mettersi d'accordo su cosa si intende con disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Universalmente con disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si intende la relazione



dove sono due vettori di uno -spazio vettoriale munito di un prodotto scalare (reale o complesso che sia).

Sebbene la disuguaglianza



sia corretta, non è propriamente quella che un matematico chiamerebbe di Cauchy-Schwarz: quella che viene proposta dall'insegnante è una relazione meno stringente.

Per verificarlo istituiamo su il prodotto hermitiano definito come segue: per ogni coppia di vettori di ,, poniamo



con sono rispettivamente il complesso coniugato di e di .

Questo prodotto induce la norma così definita:



con moduli dei numeri complessi .

Consideriamo i vettori



In base alle definizioni fornite



mentre



e



Con questi valori, la disuguaglianza



diventa



La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz



diviene invece



Entrambe le disuguaglianze sono vere, ma la seconda è più precisa.


Disuguaglianza nel caso reale

E se lavorassimo con uno spazio vettoriale munito di un prodotto scalare reale? La situazione è leggermente diversa. Se è un prodotto scalare reale, allora per ogni vale la proprietà simmetrica:



pertanto



In questa circostanza quindi la disuguaglianza



si tramuta nella disuguaglianza di Cauchy-Schwarz standard, infatti:



da cui, dividendo membro a membro per 2:




Osservazioni sulla scelta di operare in questo modo

Solitamente nei corsi di Matematica si dimostra prima la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e si sfrutta poi per provare la disuguaglianza triangolare.

Dal mio punto di vista, non è chiaro il motivo che spinge il tuo insegnante a procedere nel verso opposto.

Probabilmente è solo una questione meramente didattica: nel caso complesso la dimostrazione richiede qualche tecnicismo in più che l'insegnante ritiene inutile ai fini del corso.

Ps. La notazione non è standard: stiamo elevando al quadrato un vettore? E come è definita questa operazione?

Buongiorno,
prima di tutto vorrei ringraziarvi, le vostre risposte sono sempre chiare e attente alle esigenze dell'interlocutore. Quello che ancora mi sfugge, è se si può ottenere da quella forma meno stringente di disuguaglianza la classica disequazione di C-S per i complessi e viceversa (fors'anche in passaggi intermedi, della vostra dimostrazione).

Per quanto riguarda il quadrato di un vettore, capisco l'obiezione, su cui personalmente non avevo riflettuto. Credo che si definisca tramite forme quadratiche, cioè prodotto di matrice trasposta e matrice. ma voi ne sapete più di me...

Purtroppo per il caso complesso le relazioni



non sono equivalenti, proprio perché per un prodotto hermitiano (o prodotto scalare complesso)



Ciò è dovuto al fatto che non sussiste la simmetria per siffatti prodotti. Tutt'al più, e sono legati dalla relazione:



che si dimostra avvalendosi della disuguaglianza triangolare del modulo complesso. Non vale però la disuguaglianza duale.

Riassumendo:

- per i prodotti scalari reali,



è esattamente la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, perché è simmetrico;

- per i prodotti scalari complessi,



è una forma debole della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.