Integrale del prodotto tra esponenziale e logaritmo

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Integrale del prodotto tra esponenziale e logaritmo #101404

avt
Manuama
Punto
Ciao ragazzi, potreste aiutarmi a computare il seguente integrale, step by step, grazie!

Calcolare il seguente integrale

∫ e^xln(1+e^(-x))dx
 
 

Integrale del prodotto tra esponenziale e logaritmo #101405

avt
Ifrit
Amministratore
Per calcolare l'integrale indefinito

∫ e^(x)ln(1+e^(-x))dx = (•)

prima di tutto usiamo la definizione di potenza con esponente negativo, grazie alla quale l'argomento del logaritmo 1+e^(-x) diventa

1+e^(-x) = 1+(1)/(e^(x)) = (e^(x)+1)/(e^(x))

per cui l'integrale diventa

(•) = ∫ e^(x)ln((e^(x)+1)/(e^(x)))dx

A questo punto possiamo procedere integrando per sostituzione prima e usare la formula di integrazione per parti poi.

Usiamo la sostituzione t = e^(x) e calcoliamo il nuovo differenziale (basta derivare membro a membro rispetto alla relativa variabile)

t = e^(x) → dt = e^(x)dx

in questo modo l'integrale

∫ e^(x)ln((e^(x)+1)/(e^(x)))dx = ∫ln((e^(x)+1)/(e^(x))) (ln((t+1)/(t)))e^(x)dx (dt) =

diventa

= ∫ln((t+1)/(t))dt

A questo punto usiamo la formula di integrazione per parti

∫ f(t)g'(t)dt = f(t)g(t)-∫ f'(t)g(t)dt

dove f(t) è una funzione facile da derivare, mentre g'(t) è una funzione facile da integrare.

In questo caso la funzione facile da derivare è:

f(t) = ln((t+1)/(t))

la cui derivata è

f'(t) = (d)/(dt)[ln((t+1)/(t))] = (1)/((t+1)/(t))·(d)/(dt)[(t+1)/(t)] = (t)/(t+1)·((d)/(dt)[t+1]·t-(t+1)(d)/(dt)[t])/(t^2) = (t)/(t+1)·(t-t-1)/(t^2) = -(1)/(t(t+1))

La funzione facile da integrare è invece

g'(t) = 1

una primitiva della quale è g(t) = t.

In forza della formula di integrazione per parti, l'integrale

∫ln((t+1)/(t))dt =

diventa

= ln((t+1)/(t))·t-∫(-(1)/(t(t+1)))·t dt = tln((t+1)/(t))+∫(1)/(t+1)dt

Abbiamo praticamente finito: non ci resta che calcolare l'integrale di (1)/(t+1), il quale è un integrale immediato della forma:

∫(h'(t))/(h(t))dt = ln(|h(t)|)+c

per cui

tln((t+1)/(t))+∫(1)/(t+1)dt = tln((t+1)/(t))+ln(|t+1|)+c =

dove c è una costante additiva. Abbiamo praticamente finito: l'ultimo passaggio consiste nel ripristinare la variabile x ricordando che t è uguale a e^(x)

= e^(x)ln((e^(x)+1)/(e^(x)))+ln(|e^(x)+1|)+c =

Volendo il risultato può essere riscritto in maniera equivalente usando le opportune proprietà dei logaritmi e la definizione di valore assoluto. In particolare grazie alla regola sul logaritmo del quoziente otteniamo:

= e^(x)(ln(e^(x)+1)-ln(e^x))+ln(|e^(x)+1|)+c =

da cui

= e^(x)(ln(e^(x)+1)-x)+ln(e^(x)+1)+c = e^(x)ln(e^(x)+1)-xe^(x)+ln(e^(x)+1)+c = (e^(x)+1)ln(e^(x)+1)-xe^(x)+c

In definitiva

∫ e^(x)ln(1+e^(-x))dx = (e^(x)+1)ln(e^(x)+1)-xe^(x)+c

con c∈R.
Ringraziano: Omega, Galois
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Os