Integrale del prodotto tra esponenziale e logaritmo

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Integrale del prodotto tra esponenziale e logaritmo #101404

avt
Manuama
Punto
Ciao ragazzi, potreste aiutarmi a computare il seguente integrale, step by step, grazie!

Calcolare il seguente integrale

\int e^x\ln(1+e^{-x})dx
 
 

Integrale del prodotto tra esponenziale e logaritmo #101405

avt
Ifrit
Amministratore
Per calcolare l'integrale indefinito

\int e^{x}\ln(1+e^{-x})dx=(\bullet)

prima di tutto usiamo la definizione di potenza con esponente negativo, grazie alla quale l'argomento del logaritmo 1+e^{-x} diventa

1+e^{-x}=1+\frac{1}{e^{x}}=\frac{e^{x}+1}{e^{x}}

per cui l'integrale diventa

(\bullet)=\int e^{x}\ln\left(\frac{e^{x}+1}{e^{x}}\right)dx

A questo punto possiamo procedere integrando per sostituzione prima e usare la formula di integrazione per parti poi.

Usiamo la sostituzione t=e^{x} e calcoliamo il nuovo differenziale (basta derivare membro a membro rispetto alla relativa variabile)

t=e^{x}\ \ \ \to \ \ \ dt=e^{x}dx

in questo modo l'integrale

\int e^{x}\ln\left(\frac{e^{x}+1}{e^{x}}\right)dx=\int\overbrace{\ln\left(\frac{e^{x}+1}{e^{x}}\right)}^{\ln\left(\tfrac{t+1}{t}\right)}\overbrace{e^{x}dx}^{dt}=

diventa

=\int\ln\left(\frac{t+1}{t}\right)dt

A questo punto usiamo la formula di integrazione per parti

\int f(t)g'(t)dt=f(t)g(t)-\int f'(t)g(t)dt

dove f(t) è una funzione facile da derivare, mentre g'(t) è una funzione facile da integrare.

In questo caso la funzione facile da derivare è:

f(t)=\ln\left(\frac{t+1}{t}\right)

la cui derivata è

\\ f'(t)=\frac{d}{dt}\left[\ln\left(\frac{t+1}{t}\right)\right]=\\ \\ \\ =\frac{1}{\frac{t+1}{t}}\cdot\frac{d}{dt}\left[\frac{t+1}{t}\right]=\\ \\ \\ =\frac{t}{t+1}\cdot\frac{\frac{d}{dt}[t+1]\cdot t-(t+1)\frac{d}{dt}[t]}{t^2}=\\ \\ \\ =\frac{t}{t+1}\cdot\frac{t-t-1}{t^2}=-\frac{1}{t(t+1)}

La funzione facile da integrare è invece

g'(t)=1

una primitiva della quale è g(t)=t.

In forza della formula di integrazione per parti, l'integrale

\int\ln\left(\frac{t+1}{t}\right)dt=

diventa

\\ =\ln\left(\frac{t+1}{t}\right)\cdot t-\int\left(-\frac{1}{t(t+1)}\right)\cdot t dt= \\ \\ \\ =t\ln\left(\frac{t+1}{t}\right)+\int\frac{1}{t+1}dt

Abbiamo praticamente finito: non ci resta che calcolare l'integrale di \frac{1}{t+1}, il quale è un integrale immediato della forma:

\int\frac{h'(t)}{h(t)}dt=\ln(|h(t)|)+c

per cui

\\ t\ln\left(\frac{t+1}{t}\right)+\int\frac{1}{t+1}dt=\\ \\ \\ =t\ln\left(\frac{t+1}{t}\right)+\ln\left(|t+1|\right)+c=

dove c è una costante additiva. Abbiamo praticamente finito: l'ultimo passaggio consiste nel ripristinare la variabile x ricordando che t è uguale a e^{x}

=e^{x}\ln\left(\frac{e^{x}+1}{e^{x}}\right)+\ln\left(|e^{x}+1|\right)+c=

Volendo il risultato può essere riscritto in maniera equivalente usando le opportune proprietà dei logaritmi e la definizione di valore assoluto. In particolare grazie alla regola sul logaritmo del quoziente otteniamo:

=e^{x}\left(\ln(e^{x}+1)-\ln(e^x)\right)+\ln\left(|e^{x}+1|\right)+c=

da cui

\\ =e^{x}\left(\ln(e^{x}+1)-x\right)+\ln\left(e^{x}+1\right)+c= \\ \\ =e^{x}\ln(e^{x}+1)-xe^{x}+\ln(e^{x}+1)+c=\\ \\ =(e^{x}+1)\ln(e^{x}+1)-xe^{x}+c

In definitiva

\int e^{x}\ln(1+e^{-x})dx=(e^{x}+1)\ln(e^{x}+1)-xe^{x}+c

con c\in\mathbb{R}.
Ringraziano: Omega, Galois
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Os